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高二理数第2讲正弦定理和余弦定理


正弦定理和余弦定理
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数学 新课标区

适用年级 课时时长 (分钟)

高二(理) 120 分钟

1、正弦定理和正弦定理的推导 2、应用正弦定理解三角形和边角转换 3、余弦定理和余弦定理的推导 4、应用余弦定理解三角形

教学目标

1、掌握正余弦定理,并能解决一些简单的三角形(度量)变量问题. 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计 算有关的实际问题.

教学重点 教学难点

正弦定理、余弦定理的推导与应用 正弦定理、余弦定理的推导与应用

教学过程

一、知识讲解
(一) 正弦定理 1.正弦定理:在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,即:在△ABC 中,若 角 A、 B、 C、 所对的边长分别为 a、 b、 c, 则: 外接圆的半径).

a b c ? ? ? 2 R(其中 R 为△ABC sin A sin B sin C

2.正弦定理的证明:

ABC 中, SDABC 如图一:在 D
所以 ab sin C 即:

1 1 1 = ab sin C = ac sin B = bc sin A 2 2 2

= ac sin B , ac sin B = bc sin A , ab sin C = bc sin A

b c b a a c , , = = = sin B sin C sin B sin A sin A sin C
则?

ABC 内接与 ? 如图二: D AOB

O ,取 AB 的中点 M ,连结 OM 2? C 2? AOM

\ sin C = sin ? AOM

1 c 2 = c OA 2 R



c a b = 2 R ,同理可得: = 2R , = 2R sin C sin A sin B
a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A (两边及其夹角的正 2 2 2

综上所述:

3.定理的拓展与变形 (1)?ABC的面积公式:S ?ABC ?

弦值乘积的一半). (2)定理的变形: ①边化角: a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B , c ? 2 R sin C ,

a b c , sin B ? , sin C ? , 2R 2R 2R a?b?c a?b a ? ? ? 2R , ③ a : b : c ? sin A : sin B : sin C , sin A ? sin B ? sin C sin A ? sin B sin A ④大边对大角 A ? B ? a ? b ? sin A ? sin B ,
②角化边: sin A ? ⑤ sin( A ? B) ? sin C 4.正弦定理的应用 (1) 已知三角形的任意两角与一边求其他两边和一角,则选取正弦定理解三角形; (2) 已知三角形的两边与其中一边的对角,求另一边的对角,选取正弦定理解三角形;

(3) 已知条件给出的边角关系中,边关系是一次的或出现角的正弦值,选取正弦定理进 行边角代换,整理成关于边的式子或关于角的式子; (4) 利用正弦定理判断三角形的形状,求三角形的面积,周长. 5.解斜三角形的几类问题

A 为锐角
C

A 为钝角或直角
C

C

图 形
A

b

a
B
A

b

b
a
B1

a
B

C b
A

a
B

a
B2

A

关 系 式

a ? b sin A

b sin A ? a ? b

a?b

a ?b

a?b

解 的 一解 个 数 注:当 a ? b sin A 时,无解. (二)余弦定理 1.余弦定理:在 ?ABC中, ?A 、 ?B 、 ?C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,则 两解 一解 一解 无解

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC .
2.余弦定理的证明

如图,在 ?ABC中, CD ^

AB ,则有:

CD = b sin A, AD = b cos A
\ BD = c - b cos A

BDC 中, BC 在 Rt D
即: a
2

2

= BD2 + CD2

= (c - b cos A) 2 +(b sin A) 2

\ a2 = c2 -2 b c c o s A+ 2 b c o2s A + 2 b s i2n A
即: a
2

= b2 + c2 - 2bc cos A
2

同理可证: b

= a2 + c2 - 2ac cos B

c2 = a2 + b2 - 2ab cos C
3.余弦定理的变形: (1) cos A ?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 , cos B ? , cosC ? ; 2bc 2ac 2ab

2 2 2 (2)在 ?ABC中, ?A 是钝角 ? b ? c ? a ,

?A 是直角 ? b 2 ? c 2 ? a 2 , ?A 是锐角 ? b 2 ? c 2 ? a 2 ;
4.余弦定理的应用 (1)已知三边的长,求各角,选取余弦定理; (2)已知三角形的两边和一个角,求第三条边和各角,选取余弦定理; (3)已知给出的边角关系中,边是以二次形式给出的,选取余弦定理; (4)利用余弦定理判断三角形的形状; (5) cos( A ? B) ? ? cosC . 5.三角形内的常考结论:

?sin( A ? B) ? sin C; cos(A ? B) ? ? cosC; tan(A ? B) ? ? tanC ? (1) ? a?b C A? B C sin ? cos ; cos ? sin ? 2 2 2 2 ?
(2) tan A ? tan B ? tan C ? tan A tan B tan C
? (3) ?ABC中,角 A, B, C 成等差数列的充要条件是, B ? 60 .

6.角平分线定理的证明: 如图,在 ?ABC中,AD 为 ?BAC 的角平分线, 求证:

AB AC . ? BD CD

B D
C

A

解: 如图, 由正弦线定理, 在 ?ABD 中, 有 在 ?ACD 中,有

BD AB BD sin ?B A D ? ; 则 . ? sin ?BAD sin ?ADB AB sin ?A D B

CD AC CD sin ?CAD ? ,则 .又因为 AD 是角平分 ? sin ?CAD sin(? ? ?ADB) AC sin ?ADB

线,即 ?BAD ? ?CAD . 所以

sin ?BAD sin ?CAD BD CD AB AC ? ? ? ,取倒数即得到 . ? sin ?ADB sin ?ADB AB AC BD CD

考点/易错点 1:应用正弦定理解三角形的多解问题 在已知三角形的两边一角( a、b、?A )应用正弦定理解三角形时,注意多解问题, 可 以 根 据 b sin A 与 a 的 大 小 关 系 来 判 断 : ?A 为 锐 角 , b si n A = a 时 , 有 一 解 ; b sin A < a < b 时, 有两解;a ? b 时, 有一解. ?A 为钝角或直角,a > b 时, 有一解;a ? b 时,无解.也可以根据三角形中大边对大角来判断. 例 : 在

A、 ?ABC 中 , 行

B 、?

C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c , 已 知

1 a = 3 , b = 1 , sB i= n,求 ?A . 2

解:由正弦定理得:

3 a b 3 1 ,即: = = ,\ sin A = sin A sin B 2 sin A 1 2

B= ?s i n

1 p ,又 a > b ,则必有 ? A ? B ,\ B = 2 6

\ ?A

p 或? A 3

2p 3

考点/易错点 2:应用正弦定理进行边角转换 在应用正弦定理进行边角转换,是根据:①边化角: a ? 2 R sin A , b ? 2 R sin B ,

c ? 2 R sin C ,②角化边: sin A ?

a b c , sin B ? , sin C ? 进行转化.只有 2R 2R 2R

保证等式的两边或分式的分子和分母是齐次时,才能直接进行边角转换. 例: (1) a cos B + b sin C

= (b + 2c)cos A ,等号左右两边是齐次式,所以可以直接进行 = (sin B + 2sin C)cos A .

边角转化得: sin A cos B + sin B sin C (2) a
2

cos B +b sin C = (b + 2c)cos A ,等号两边不是齐次式,所以不能直接进行

边角转换.

二、例题精析
【例题 1】 【题干】在 ?ABC中 ,若 b ? 5,?B ? 45? ,sin A ?

1 ,则 a = 3

.

【答案】

5 2 3

【解析】由正弦定理得 a ? 【例题 2】

b sin A 5 2 ? sin B 3

【题干】在 ?ABC 中,已知 a 2 tan B ? b 2 tan A , 试判断 ?ABC 的形状. 【答案】等腰三角形或直角三角形 【解析】由已知的 a 2 tan B ? b 2 tan A ,由正弦定理得,

a ? 2R sin A,b ? 2R sin B ,代入化简得
sin A cos A ? sin B cos B , sin 2A ? cos 2A ,

2?A ? 2?B 或 2?A ? 2?B ? 180?

? ?A ? ?B 或 ?A ? ?B ? 90?
?ABC 等腰三角形或直角三角形
【例题 3】

ABC 中 a、b、c 对应的角分别为 A、B、C ,已知 a 【题干】在 D
1 cos C = . 4

= 1, b = 2 ,

ABC 周长; (1)求 D
(2)求 cos(A ? C )的值. 【答案】(1) 5 【解析】(1)? c
2

(2)

11 16

? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 4

?c ? 2
? ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 5
(2)? cos C ?

1 ,? sin C ? 4

15 4

? sin A ?

15 8

? a ? c ,A ? C ,故 A 为锐角

? cos A =

7 8

? cos (A-C) =
【例题 4】

11 16

ABC 中 a、b、c 对应的角分别为 A、B、C ,且 【题干】在 D
(1)求 ?B 的大小; (2)若 b ? 【答案】(1)

cos B b ? ? cos C 2a ? c

ABC 的面积. 13,a ? c ? 4,求 D
(2)
3 3 4

2? 3

【解析】(1)由余弦定理知: cos B ?

a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 ,cos C ? 2ac 2ab

将上式代入

cos B b 2 2 2 ? ? ,得 a ? c -b ? ?ac cos C 2a ? c
?ac 1 2? ? ? ? ?B ? 2ac 2 3
2 c ? 4 ,所以(a ? c ) ? a 2 ? 2ac ? c 2 ? 4

? cos B ?
(2)因为 a ? 即a 又b 将a
2

? c 2 ? 4 ? 2ac ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? c 2 ? 4 ? 2ac , b ?
13,cos B ? ? 1 2

2

2

三、课堂运用
【基础】 1. 在△ABC 中,若 a=8,∠B=60°,∠C=75°则 b= 【答案】 4 6 .

【解析】由正弦定理得

a b ? sin A sin B
? 7?5 , ? ? A
? ? 4 5

? ? ?B ? 6 0 ,? C

?b ? 4 6
2. 在△ABC 中,若 b ? 4,c ? 8,?B ? 30 ,求 ?C ,?A,a .
?

【答案】 ?C ? 90 ; ?A ? 60 ; a ? 4 3
? ?

【解析】由正弦定理得 sin C ? 1 又? 30? ? C ? 150? ? ?C ? 90?

?A ? 180? ? 90? ? 30? ? 60?

a ? c sin A ? 8 ?
3. 在 ?ABC 中,已知 a 【答案】 120 【解析】?
?

3 ? 4 3 2

? 7,b ? 3,c ? 5 ,求这三角形最大角的度数.

a ? b ? b ,? ?A 为最大角
b2 ? c2 ? a2 1 ? ? 2bc 2

由余弦定理得 cos A =

? ? ? 又? 0 ? ?A ? 180 ? ?A ? 120

即这三角形最大角为 120? . 4. 在 ?ABC 中,已知(b 三角形的形状. 【答案】钝角三角形 【解析】 b ? c ? 4k;c ? a ? 5k; a ? b ? 6k 则 a ? 3.5k;b ? 2.5k;c ? 1.5k(k ? 0)

? c ) : (c ? a ) : (a ? b ) ? 4 : 5 : 6,不解三角形判断

? a 边最长,? ?A 最大

b2 ? c2 ? a2 1 ? ? ? 0 , ?ABC 为钝角三角形 由余弦定理得 cos A = 2bc 2

【巩固】 1. 在 ?ABC ,a、b、c 所对应的角分别为 A、B、C, 且 判断 ?ABC 的形状. 【答案】等边三角形 【解析】由正弦定理得, a ? 2R sin A,b ? 2R sin B ,c ? 2R sin C ,

a
cos A

?

b
cos B

?

c
cos C

,试

代入

a
cos A

?

b
cos B

?

c
cos C

中得:

sin A sin B sin C ? ? cos A cos B cos C

? tan A ? tan B ? tan C

? A ? B ? C 则为等边三角形
2. 在 ?ABC 中, b=a sin C ,c ? a cos B ,判断三角形形状. 【答案】等腰或直角三角形 【解析】 cos B ?

a2 ? c2 ? b2 c ,又 ? cos B = 2ac a

2 2 2 2 化简得: a ? c ? b ? 2c 2 2 ? 代入化简: 1 ? sin C ? cos B ? C ? B 或 C ? B ? 180

? ?ABC 为等腰或直角三角形
3. 在△ABC 中, ,a、b、c 对应的角分别为 A、B、C, 若 A ? 60 ,c ? 3b.求:
?

(1)

c 的值; a
1 1 ? 的值. tan B tan C
7 3
(2)

(2)

【答案】 (1)

1 1 14 3 ? ? tanB tanC 9

【解析】 (1)由余弦定理得

1 1 7 ?1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? ? c ? ? c 2 ? 2 ? c ? c ? ? c 2 , 3 2 9 ?3 ?


2

a 7 ? . c 3

(2)

cos B sin C ? cos C sin B 1 1 ? = = sin B sin C tan B tan C
sin( B ? C ) sin A ? , sin B sin C sin B sin C
由正弦定理和(Ⅰ)的结论得

7 2 c sin A 1 a2 2 14 14 3 9 ? · ? · ? ? . sin B sin C sin A bc 9 3 1 c· 3 3 c 3



1 1 14 3 ? ? tanB tanC 9 .

【拔高】

(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 2 cos A sin B ? sin C ,试三角形判 1.在 ?ABC 中,已知
断三角形的形状. 【答案】等边三角形 【解析】? 2 cos A sin B ? sin C ? cos A ?

c 2b

又由余弦定理得 cos A =

b2 ? c2 ? a2 ,代入的 2bc

2 ? (a+b+c)(a+b-c)=3ab, ? (a+b) ? c 2 ? 3ab

?b ? c
? a ? b ? c ,所以三角形为等边三角形.
2. 在

D ABC 中 a、b、c 对 应 的 角 分 别 为 A、B、C , 已 知
2C c oc s ?a ? 2

c o A s? cos B

b

(1)求

sin C 的值; sin A
1 , ?ABC 的周长为 5 ,求 b 的长. 4

(2)若 cos B ?

【答案】 (1) 2 ; (2) b ? 2 【解析】 (1)由正弦定理,设

a b c ? ? ? k, sin A sin B sin C



2c ? a 2k sin C ? k sin A 2 sin C ? sin A ? ? , b k sin B sin B

所以

cos A ? 2 cos C 2 sin C ? sin A ? . cos B sin B

即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简可得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ). 又 A? B ?C

? ? ,所以 sin C ? 2sin A 因此

sin C ? 2. sin A

(2)由

1 sin C ? 2 得 c ? 2a. 由余弦定得及 cos B ? 得 4 sin A

b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 1 ? a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? 4 2 ? 4a .
所以 b ? 2a. 又 a ? b ? c ? 5, 从而 a 3. 在 △ ABC 中 ,

? 1, 因此 b=2.
A、B、C , 且

a、 、 b

c 应 的 角 分 别 为 对

B ?C 8 s 2i n ? 2

2A c ? o s 2

7

(1) 求角 A 的大小; (2) a ? 【答案】 (1) 60
?

3,b ? c ? 3,求 b 和c 的值.

(2) b ? 1,c ? 2或b ? 2,c ? 1

【解析】 (1)? A ? B ? C ? 180? , ?

B ?C
2

? 90? ?

A
2

? sin

B ?C
2

? cos

A
2

由 8 sin

2

B ?C
2

? 2 cos 2A ? 7,得 2 cos2

A
2

? 2 cos 2A ? 7

?4 (1 ? cos A) ? 2 (2 cos2 A ? 1) ? 7,即(2 cos A ? 1)2 ? 0
? cos A ?
(2)? a ?

1 ? 0? ? A ? 180? ,? A ? 60? 2

3,A ? 60? 由余弦定理知 a2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

? bc ? 2 ,又 b ? c ? 3,? b ? 1,c ? 2 或 b ? 2,c ? 1

课程小结
本节课所讲重点内容: 1、正弦定理的定义和证明方法及变形 2、正确应用正弦定理解三角形和边角转换进行化简求值 3、余弦定理和余弦定理的证明及变形 4、正确应用余弦定理解三角形和求周长、面积的最值问题

课后作业
【基础】 1 . 已 知 △ ABC 中 , ?A, ?B, ?C 的 对 边 分 别 为 a, b, c 若 a ? c ?

6? 2 且

?A ? 75o ,则 b ? (
A.2 【答案】A B.4+ 2 3

) C.4 ? 2 3 D. 6 ? 2

【解析】 sin A ? sin 750 ? sin(300 ? 450 ) ? sin 300 cos 450 ? sin 450 cos 300 ? 由a ? c ?

2? 4

6

6 ? 2 可知, ?C ? 75 ,所以 ?B ? 30 , sin B ? 1
0
0

2

由正弦定理得 b ? 2. 在 △ ABC

a ? sin B ? sin A

2? 6 1 ? ? 2 ,故选 A. 2? 6 2 4



a、b、c 对 应 的 角 分 别 为 A、B、C , 若

a ? 6,?A ? 45?,?C ? 60? ,求 b ,c 和 ?B
【答案】 3

.

6

【解析】? ?A ? ?B ? ?C ? 180? , ?A ? 45? , ?C ? 60?

? ?B ? 180? ? ?A ? ?C ? 75?
? a b c ? ? sin A sin B sin C

sin B sin 75? sin 45? cos 30? ? cos 45? ? sin 30? ?b ? ?a ? ?a ? ?a sin A sin 45? sin 45?
? 1? 3 ?6 ? 3?3 3 2

c?

sin C ?a ? sin A

3 2 ?6 ? 3 6 2 2

3. 在 ?ABC 中,若 c=150,?B ? 30? ,b ? 50 3,判断三角形的形状. 【答案】直角三角形或等腰三角形 【解析】由正弦定理 又? b ?

b
sin B

?

c
sin C

? 2R ,得 sin C ?

3 2

c,? ?C ? 60? 或 ?C ? 120?

? ? 当 ?C ? 60 时, ?A ? 90 ,此时 ?ABC 为直角三角形 ? ? 当 ?C ? 120 时, ?A ? 30 ,此时 ?ABC 为直角三角形

【巩固】 1. 在 a、b、c 是△ABC 的三边,若 a= 3,b= 2,?B ? 45? ,求 A、 C 和 c .

c ? 【答案】A ? 60?,C ? 75? ,
【解析】?

6 ? 2

2

c ? 或 A ? 120?,C ? 15? ,

6 ? 2 2

B ? 45? ? 90? ,且 a sin B ? b ? a ? ?ABC 有两个解

由正弦定理得 sin A =
?

3 则 A 为 60? 或 120?. , 2
?

① A ? 60 时,C ? 75

c ?

b sin C ? sin B
?

6 ? 2
?

2

② A ? 120 时,C ? 15

c ?
2.

b sin C ? sin B
中 , a,

6 ? 2
b,

2

在 △ ABC

c

分 别 为 内 角

A,

B,

C

的 对 边 , 且

2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C.
(1)求 A 的大小; (2)求 sin B ? sin C 的最大值. 【答案】(1) A

? 120?

(2) B

? 30? 时, sin B ? sin C 取得最大值 1

【解析】 (1)由已知,根据正弦定理得 2a 2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即
a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc

由余弦定理得 故
cos A ? ?

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

1 ,A 2

? 120?

(2)由(Ⅰ)得:

sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B )
3 1 cos B ? sin B 2 2 ? sin(60? ? B) ?
故当 B 3. 在△ABC 中,角

? 30? 时, sin B ? sin C 取得最大值 1.
2 5

A, B, C

所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos A ? 2 5 , AB ? AC ? 3 . (2)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

??? ? ????

(1)求 ?ABC 的面积; 【答案】 (1) 2 (2)

2 5

【解析】 (1)因为 cos A ? 2 5 ,? cos A ? 2 cos 2 A ? 1 ? 3 ,sin A ? 4 , 2 5 5 2 5 又由 AB ? AC ? 3 得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ? 1 bc sin A ? 2 2 (2)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由余弦定理得 a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5 【拔高】

??? ? ????

1. 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 已知

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b

(1)求

1 sin C 的值; (2)若 cos B ? , b ? 2 ,求△ABC 的面积 S. 4 sin A
(2) S ?

【答案】 (1) 2

15 4

【解析】 (1)有正弦定理,设

a b c ? ? ? k ,则 sin A sin B sin C

2c ? a

b

?

2k sin C ? k sin A 2 sin C ? sin A ? ,所以 k sin B sin B

cos A ? 2 cos C 2 sin C ? sin A ? .即 cos B sin B
(cosCA ? cosC ) sin B ? (2 sin C ? sin A) cos B ,化简可得 sin( A ? B) ? 2 sin(B ? C ) .又 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? 2 sin A .
因此

sin C ? 2. sin A

( 2 )由

sin C ? 2 得 c ? 2a ,由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,及 sin A
1 1 ,b ? 2 ,得 4 ? a 2 ? 4a 2 ? 4a 2 ? .解得 a ? 1 ,从而 c ? 2 . 4 4
1 , 且 0 ? B ? ? . 所 以 sin B ? 15 . 因 此 4 4

cos B ?

又 因 为 cos B ?

S?

1 1 ac sin B ? ? 1 ? 2 ? 2 2

15 . 4

2. 在△ABC 中, BC 根, 2 cos(A 【答案】

? a ,AC ? b ,并且 a,b 是方程 x 2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个
的长.

? B ) ? 1 ,求 AB

10

【解析】? cos? A ? B ? ? 1 , 2

? cos C ? cos ?? ? ? A ? B ?? ? ? cos ? A ? B ? ? ?
又由题意知 a ? b ? 2 由余弦定理得

1 2

3, ab ? 2

AB 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ab cos C ?

?a

? b ? ? ab ? 10
2

? AB ?

10
? 0.

3. 在△ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,且 (2a ? c) cos B ? b cos C (1)求角 B 的值; (2)若 a ? c ? 4 ,求 ?ABC 面积 S 的最大值. 【答案】 (1) B ? 2π (2) 3 3 【解析】 (1)由正弦定理得 (2 sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C
?0,

即 2 sin A cos B ? sin C cos B ? cos C sin B ? 0 得 2 sin A cos B ? sin( B ? C ) ? 0 ,因为 A ? B ? C ? π , 所以 sin( B ? C ) ? sin A ,得 2 sin A cos B ? sin A ? 0 ,因为 sin A ? 0 , 所以 cos B ? ? 1 ,又 B 为三角形的内角,所以 B ? 2π 2 3 (2) S ? 1 ac sin B ,由 B ? 2π 及 a ? c ? 4 2 3 得 S ? 1 a (4 ? a ) sin 2? 2 3
? 3 3 (4a ? a 2 ) ? [4 ? ( a ? 2) 2 ] , 4 4

又 0 ? a ? 4 ,所以当 a ? 2 时, S 取最大值 3 .


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