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人教版高中数学必修5笔记本练习题.doc文件(解三角形、数列、不等式)


高中数学必修 5 练习题

[高中数学]练习题

[必修 5]

第1页

高中数学必修 5 练习题

高中数学练习题 (必修 5)

第一部份 [解三角形]练习题 .......................................................................................................... 2 第二部份 [数列]练习题 .................................................................................................................. 6 第三部份 [不等式]练习题 .............................................................................................................. 7

第一部份

[解三角形]练习题
?

1、在 ?ABC 中,已知 a ? 60 ㎝, c ? 34 ㎝, A ? 41 ,解三角形(角度精确到 1? ,边长精 确到 1 ㎝) 。 解:根据余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A = 602 ? 342 ? 2 ? 60? 34? cos41?
所以 a ? 41 (㎝)

? 3600 ? 1156 ? 4080 ? 0.7547 ? 1676 .82
根据正弦定理

sin C?

c s i nA 34? sin 41? 34? 0.656 ? ? ? 0.5440 a 41 41

? 因为边长 c 不是三角形中最大的边,所以 C 是锐角,利用计算器可得 C ? 33

B ? 180? ? ? A ? C ? ? 106?

2、在 ?ABC 中,已知 A ? 32.0 , B ? 81.8 , a ? 42 .9 ㎝,解三角形。
? ?

解: 未定精度, 则精度按题中所示确定。C ? 180? ? ? A ? B? ? 180? ? 32.0? ? 81.8? ? 66.2?

?

?

a ? sin B 42.9 ? sin 81.8? b? ? ? 80.1 (㎝) sin A sin 32.0? c? a ? sin C 42.9 ? sin 66.2? ? ? 74.1 (㎝) sin A sin 32.0?

3、已知下列条件,求三角形的面积: (1)已知 a ? 14.8 ㎝, c ? 23.5 ㎝, B ? 148.5 ; (2)
?

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高中数学必修 5 练习题

已知 B ? 62.7 , C ? 65.8 , b ? 3.16 ㎝; (3)已知三条边长分别为 a =41.4 ㎝, b =27.3
? ?

㎝, c =38.7 ㎝。

1 ac ? sin B ? 90 .9 ( cm 2 ) 2 b sin C ? ? (2) A ? 180 ? ?B ? C ? ? 51.5 , c ? sin B 1 1 sin C sin A S ? bc ? sin A ? b 2 ? 4.0 ( cm 2 ) 2 2 sin B
解: (1) S ? (3) cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 41.42 ? 38.72 ? 27.32 = ? 0.7697 2ac 241.4 ? 38.7

2 sin B ? 1? cos2 B ? 1 ? 0.7697 ? 0.6384

S?

1 ac ? sin B ? 511 .4 ( cm 2 ) 2

4、在 ?ABC 中,求证:

a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B ? c2 sin 2 C

证明: 根据正弦定理, 设

a b b ? ? ?k, a ? k sin A , b ? k sin B c ? k sin C 则: sin A sin B sin C

a 2 ? b2 k 2 sin 2 A ? k 2 sin 2 B sin 2 A ? sin 2 B ? ? c2 k 2 sin 2 C sin 2 C
5、在 ?ABC 中,求证: a ? b ? c ? 2?bc ? cos A ? ca ? cos B ? ab? cosC ?
2 2 2

证明:根据余弦定理: 2bc ? cos A ? b ? c ? a , 2ac ? cos B ? a ? c ? b ,
2 2 2 2 2 2

2ab ? cosC ? a 2 ? b2 ? c 2 ,则三式相加得上式成立。

?a ? b ? cosC ? c ? cos B ? 6、在 ?ABC 中,求证: ?b ? a ? cosC ? c ? cos A ?c ? a ? cos B ? ?b cos A ?
(提示) : b ? cos C ? c ? cos B ? b ? 即

a 2 ? b2 ? c 2 a 2 ? c 2 ? b2 ?c? ? a, 2ab 2ac

a ? b ? cos C ? c ? cos B ,同理可证明另外两个。

7、在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 4 : 5 : 6 ,求 cos A : cos B : cos C 。
第3页

高中数学必修 5 练习题

解:根据正弦定理, a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? 4 : 5 : 6 令

a ? 4k , b ? 5k , c ? 6k ?k ? 0? ,则根据余弦定理有:
1 9 25k 2 ? 36k 2 ? 16k 2 3 ? ,同理, cos B ? , cos C ? ,则 8 16 2 ? 5k ? 6k 4

cos A ?

3 9 1 cos A : cos B : cos C = : : ? 12 : 9 : 2 4 16 8
8、在 ?ABC 中,已知 ?a ? c ? cos B?? sin B ? ?b ? c ? cos A?? sin A ,试判断该三角形的形状。 解:由正弦定理和余弦定理,原式可化为 ? ?a ? c?

? ?

? a 2 ? c 2 ? b2 ? b2 ? c 2 ? a 2 ? ? ? ? ? b ? b ? c ? ? ? ??a 2ac 2bc ? ? ?

整理得: a ? b
2
2 2

?

2

??a

2

? b2 ? c2 ? 0 ,所有有: ?a2 ? b2 ? ? 0 或 a 2 ? b2 ? c2 ? 0

?

?

?

2 2 2 即 a ? b ,或 a ? b ? c

所以,该三角形为等腰三角形或直角三角形。 9、求半径是 R 的圆内接正 n 边形的面积。

10、 ?ABC 的三条边分别为 a , b, c , BC, CA, AB 上的中线分别记为 ma , mb , mc ,应用余弦 定理证明: ma ?

1 1 1 2 b 2 ? c 2 ? a 2 , mb ? 2 a 2 ? c 2 ? b 2 , mc ? 2 a 2 ? b2 ? c 2 2 2 2

?

?

?

?

?

?

11、在 ?ABC 中,求证: c?a ? cos B ? b ? cos A? ? a ? b 。
2 2

12、已知三角形的三边 a , b, c ,设 p ?

1 ?a ? b ? c ? ,求证: S ? p? p ? a?? p ? b?? p ? c? 2 1 ?a ? b ? c ? , r 为三角形的内切圆半径,求证: 2

13、已知三角形的三边 a , b, c ,设 p ?

r?

? p ? a?? p ? b?? p ? c?
p
1 ?a ? b ? c ? ,求证三边的高分别为: 2

14、已知三角形的三边 a , b, c ,设 p ?

第4页

高中数学必修 5 练习题

2 2 p? p ? a ?? p ? b ?? p ? c ? , ha ? a b 2 ha ? p? p ? a ?? p ? b ?? p ? c ? c ha ?
证明:

p? p ? a ?? p ? b ?? p ? c ? ,

15、测量仪高度为 h 米, 二处测量点相距 l 米, 二次测量的仰角分别为 ? , ? , 求塔的高度 H。 解:在 ?ABC 中,BC= l , ?A ? ? ? ? ,根据正弦定理, A

AC BC BC ? sin ? l ? sin ? ? ,所以 AC ? ? sin ? sin A sin A sin ?? ? ? ?
又 H ? AO ? h ? AC ? sin ? ? h ,即 B

?

C

?

O

H?

l ? sin ? ? sin ? ?h sin ?? ? ? ?
2

l

16、(P3)已知方程 x -(bCOSA)x + aCOSB = 0 的二根之积等于二根之和,且 A,B 为三角 形 ABC 的内角,a,b 为 A,B 的对边,试判断该三角形的形状。 17、(P4)在 ?ABC 中,设 BC ? a , CA ? b , AB ? c ,且 a ? b ? b ? c ? c ? a , a ? 1 ,试 判断 ?ABC 的形状,并求 ?ABC 的面积。

a ? c cos C sin B ? 。 b ? c cos A sin A 1 19、(P4)在 ?ABC 中,已知 cos 2C ? ? ,其中 C 为锐角。 (1)求 sin C 的值; (2) a ? 2 , 9
18、(P4)在 ?ABC 中,求证:

2 sin C ? 5 sin A 时,求 c 的值。
20、(P5)在 Rt ?ABC 中,BC 为斜边,D 为斜边 BC 上的一点,且 AB=AD。设 ?CAD ? ? ,

?ABC ? ? , (1)求证: sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2)若 AC ? 3DC ,求 ? 的值。
A

?
B 21、(P5)在 ?ABC 中, a cos C ?

?
D

C

1 c ? b ,(1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的 2

周长 l 的取值范围。 22、

第5页

高中数学必修 5 练习题

第二部份

[数列]练习题

1、等差数列 ?an ? 的首项为 a ,公差为 d ;等差数列 ?bn ? 的首项为 b ,公差为 e 。如果

cn ? an ? bn ?n ? 1? ,且 c1 ? 4, c2 ? 8 ,求数列 ?cn ? 的通项公式。
解:按题意, an ? a ? ?n ? 1?d , bn ? b ? ?n ?1?e ,则 cn ? an ? bn = a ? b ? ?n ? 1??d ? e? 则 c1 ? a ? b ? 4 , c2 ? a ? b ? d ? e ? 8 ,解得 d ? e ? 4 ,则数列 ?cn ? 的通项式为:

cn ? 4 ? ?n ? 1?? 4 ? 4n
2、已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ? n ?
2

1 n ,则(1)求通项公式; (2)判断该数列是等差 2

公式吗?如果是,求出首项和公差。 解:当 n ? 1 时, an ? sn ? sn?1 = ? n ?
2

? ?

1 ? ? 1 1 ? 2 n ? ? ??n ? 1? ? ?n ? 1?? = 2n ? 2 ? ? 2 2 ?

1 3 1 3 a1 ? s1 ? 12 ? ? 1 ? 当 n ? 1 时, 2 2 ,也满足上式即 a1 = 2 ? 1 ? ? 2 2
所以数列 ?an ? 的通项式为: an ? 2 n ? (2) an ? an?1 ? ? 2n ?

1 2

? ?

1? ? 1? ? ? ?2?n ? 1? ? ? =2,是一个常数 2? ? 2?

所以数列 ?an ? 是一个等差数列,公差为 2。

2 4 , 3 , ? ? ? 的前 n 项和为 s n ,求使得 s n 最大的序号 n 的值。 7 7 5 解:由题得,该等差数列的首项为 a1 ? 5 ,公差为 d ? ? , 7
3、已知等差数列 5, 4 则 sn ? na1 ?

n?n ? 1? n?n ? 1? ? 5 ? 5 ? 15 ? 1125 ? d = 5n ? ??? ?= ? ?n ? ? ? 2 2 2? 56 ? 7 ? 14 ?
2

所以,当 n 取与

15 最接近的数即 7 或 8 时, s n 最大。 2

23、求(1)正整数列前 n 个偶数的和; (2)正整数列前 n 个奇数的和; (3)在三位正整数 的集合中, 有多少个数是 5 的倍数?求出它们的和; (4) 在正整数集合中, 有多少个三位数? 求它们的和。 解:

第6页

高中数学必修 5 练习题

4、在小于 100 的正整数中,有多少个数被 7 除余 2?求这些数的和。

5、一个多边形的周长等于 158 ㎝,所有各边的长成等差数列,最大边的长等于 44 ㎝,公差 等于 3 ㎝,求多边形的边数。 解: 6、有二个等差数列 2,6,10, ? ? ? ,190 及 2,8,14, ? ? ? ,200,由这二个等差数列的公共 项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这二个新数列的各项的和。 解: 7、已知等差数列 ?an ? 的公差为 d ,求证: 证明: 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、

am ? an ?d m?n

第三部份
1、行 2、

[不等式]练习题

第7页


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