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2014届高三数学 与数列交汇的综合问题期末复习测试卷 文


与数列交汇的综合问题
(40 分钟) 一、选择题 1.(2013·阜阳模拟)已知实数 4,m,9 成等比数列,则圆锥曲线 +y =1 的离心率为 ( A. C. B. D. 或 ) )
2

2.已知{an}是等差数列,a3=6,其前 9 项和 S9=90,则经过(5,a5)与(7,a7)两点的直线的斜率为( A.B.-2 C. D.2 ,

,…,

3.(2013·海淀模拟)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 S15>0,S16<0,则 ( A. ) B. C. D.

中最大的项为

4.(2013·烟台模拟)已知函数 f(x)= 顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为( A.an= C.an=n(n-1) 5.设函数 f(x)=x B.an=n-1 D.an=2 -2 +
n

把函数 g(x)=f(x)-x 的零点按从小到大的 )

,A0 为坐标原点,An 为函数 y=f(x)图象上横坐标为

n(n∈N )的点,向量 an= 最大整数 n 是( A.2 二、填空题 B.3 ) C.4

*

,向量 i=(1,0),设θ n 为向量 an 与向量 i 的夹角,满足

tanθ k< 的

D.5

6.(2013·江西高考)某住宅小区计划植树不少于 100 棵,若第一天植 2 棵,以后每天植树的棵数是前一天的 2 倍,则需要的最少天数 n(n∈N )等于
n *

. 的前 n 项和

7. 对正整数 n, 设曲线 y=x (1-x) 在 x=2 处的切线与 y 轴交 点的纵坐标为 an, 则 是 .

-1-

8.(2013·新课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为 三、解答题 9.已知数列{an}中,a1=1,前 n 项和为 Sn 且 Sn+1= Sn+1(n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式. (2)设数列 的前 n 项和为 Tn,求满足不等式 Tn< 的 n 值.
* *

.

10.(2013·天津高考)已知首项为 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(n∈N ),且-2S2,S3,4S4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)证明 Sn+ ≤ (n∈N ). ,an+1)(n∈N )在函数 y=x +1 的图象上,
* 2 *

11.(2013·重庆模拟)已知{an}是 正数组成的数列,a1=1,且点( 数列{bn}满足 b1=0,bn+1=bn+ (n∈N ).
*

(1)求数列{an},{bn}的通项公式. (2)若 Cn=2anbncosnπ (n∈N ),求数列{Cn}的前 n 项和 Sn.
*

答案解析 1.【解析】选 D.由已知 m=±6,当 m=6 时,曲线 +y =1 为椭圆,离心率为 当 m=-6 时,曲线 +y =1 为双曲线,离心率为
2 2

=

,

=

.

2.【解析】选 D.因为{an}是等差数列且 a3=6 及 S9=90, 设此数列的首项为 a1,公差为 d, 可以得到: 解得: 由等差数列的通项公式可以得到: a5=a1+4d=2+4×2=10, a7=a1+6d=2+6×2=14, 所以(5,a5)即(5,10),(7,a7)即(7,14). 由斜率公式得斜率为 =2.
-2-

故选 D. 3.【解析】选 D.由 S15= a9+a8<0,所以 a9<0,且 d<0. 所以 a1>a2>…>a8>0>a9>…>a15,S8>S7>…>S1>0,0<S15<S14<…<S9, 所以 > >…> >0> ,从而 最大.选 D.
x

=15a8>0,得 a8>0.由 S16=

=

<0,得

4.【解析】选 B.当 x≤0 时,g(x)=2 -1-x,令 g(x)=0,得 x=0. 当 0<x≤1 时,-1<x-1≤0,g(x)=f(x-1)+1-x=2 -x,令 g(x)=0,得 x=1, 当 1< x≤2 时,0<x-1≤1,-1<x-2≤0, g(x)=f(x-1)+1-x=f(x-2)+2-x=2 +1-x, 令 g(x)=0,得 x=2. 依次类推,得到函数 g(x)的零点从小到大排列为 0,1,2,3,4,…,故选 B. 5.【解题提示】an= 【解析】选 B.由已知得 An ,则 an=(n,f(n )),从而 tanθ n= , .
x-2 x-1

又 an=

=

=

,

tanθ n=

=

=

+

,

所以

tanθ k= ,

+

=2-

验证知 n=3 符合

tanθ k< .

6.【解析 】记第 n 天 植树的棵数为 an,则数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,解 Sn= 得 n=6. 答案:6

≥100

7. 【解析】 曲线 y=x (1-x)=x -x ,其导数为 y′=nx -(n+1)x ,所以切线斜率为 k=n2 -(n+1)2 =-(n+2)2 , 切 点 为 (2,-2 ), 所 以 切 线 方 程 为 y+2 =-(n+2)2 (x-2), 令 x=0 得 ,y+2 =(n+2)2 , 即 y=(n+1)2 , 所 以 an=(n+1)2 ,所以
n n n n-1 n n n

n

n

n+1

n-1

n

n-1

n

n-1

=2 ,则

n

是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,所以 Sn=

=2 -2.
-3-

n+1

答案:2 -2

n+1

8.【解析】由题意知:

解得 d= ,

a1=-3,所以 Sn=-3n+ 即 nSn= 则有 f′(n)=n 2

× = ,

,

,令 f(n)=

,令 f′(n)>0,得 n>

, 取得最小值,即 nSn 的最小值为

令 f′(n)<0,得 0<n< -49. 答案:-49

.又因为 n 为正整数,所以当 n=7 时,f(n)=

9.【解析】(1)由 Sn+1= Sn+1 得,当 n≥2 时 Sn= Sn-1+1, 所以,an+1= an,所以 = (n≥2),

又 a1=1,得 S2= a1+1=a1+a2, 所以 a2= ,所以 = 适合上式,

所以数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, 所以 an= .

(2)因为数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, 所以数列 是首项为 1,公比为 的等比数列,

所以 Tn=

=3

,

又因为 Sn=2· 所以由不等式 Tn< 所以 n=1 或 n=2.

-2, ,得: > ,

【误区警示】本题易错点有两处:一是忽略对

的讨论导致解题不完 整;二是最后对 n 取值时不全致误.

-4-

【变式备选】已知 f(x)=(1)求证:数列 (2)设数列{ ·

,点 Pn

在曲线 y=f(x)上且 a1=1,an>0(n∈N ).

*

为等差数列,并求数列{an}的通项公式. }的前 n 项和为 Sn,若对于任意的 n∈N ,存在正整数 t,使得 Sn<t -t- 恒成立,求最小
* 2

正整数 t 的值. 【解析】(1)因为=,

所以 所以

-

=4,

是以 1 为首项,4 为公差的等差数列.

所以

=4n-3,因为 an>0,所以 an= · = .

.

(2)设 bn= =

所以 Sn=b1+b2+…+bn = =
*

< ,
2

对于任意的 n∈N 使得 Sn<t -t- 恒成立, 所以只要 ≤t -t- , 所以 t≥ 或 t≤- ,所以存在最小的正整数 t=2 符合题意. 10.【解析】(1)设等比数列{an}的公比为 q,由-2S2,S3,4S4 成等差数列,所以 S3+2S2=4S4-S3,S4-S3=S2-S4,可得 2a4=-a3,于是 q= =- .又 a1= ,所以等比数列{an}的通项公式为 an= × =(-1) ·
n-1 2

.

(2)Sn=1-

,Sn+

=1-

+

=

当 n 为奇数时,Sn+

随 n 的增大而减小,所以 Sn+

≤S1+

=

.

-5-

当 n 为偶数时,Sn+ 故对于 n∈N ,有 Sn+
*

随 n 的增大而减小,所以 Sn+ ≤ .

≤S2+

=

.

11.【解析】(1)由 已知得 an+1=an+1,故{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 所以 an=n. 因为 bn+1-bn= =3 ,
n

所以 bn=(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)+b1 =3 +3 +…+3 +0 = ·3 - .
n 1 2 n-1

(2)Cn=2anbncosnπ = 所以当 n 为偶数时, Sn=-(3 -3)+2·(3 -3)-3(3 -3)+…+n(3 -3) =(-3 +2·3 -3·3 +4·3 -5·3 +…+n·3 )+[3-2·3+3·3-4·3+…+(-3n)] 设 Tn=-3+2·3 -3·3 +…+n·3 , 则-3Tn=3 -2·3 +…+(n-1)·3 -n·3 , 所以 4Tn=-3+3 -3 +3 +…+3 +n·3 =- + 所以 Tn= 所以 Sn= ·3 , [-3+(4n+1)·3 ], [-3+(4n+1)3 ]+
n+1 n+1 n+1 2 3 4 n n+1 2 3 n n+1 2 3 n 1 2 3 4 5 n 1 2 3 n

=

.

当 n 为奇数时, Sn=Sn-1+Cn= ,

所以 Sn=

-6-


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