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2015年高三一模汇编——函数


2015 年高三一模汇编——函数
一、填空题
? 3 4?8 x ? ? ? 2 1.(2015 奉贤一模理 12 文 12)定义函数 f ( x ) ? ? ? 1 f ( x) ? ? 2 2 在区间 ?1,8?内的所有零点的和为 .
【答案】

1? x ? 2
,则函数 g ( x) ? xf ( x) ? 6<

br />
x?2

21 2


2.(2015 黄浦一模理 2)函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的定义域是 x2 ?1
【答案】 (1, ??)

3.(2015 黄浦一模理 6)若函数 f ( x) ? 2x
【答案】 ( ??, 0]

2

?ax ?1?3a

是定义域为 R 的偶函数,则函数

f ( x) 的单调递减区间是 .

4.(2015 黄浦一模理 11)已知 m、n、?、? ? R,m ? n, ? ? ? ,若 ?、? 是函数

f ( x) ? 2( x ? m)( x ? n) ? 7 的零点,则 m、n、?、? 四个数按从小到大的顺序是
“?” (用符号 连接起来).
【答案】 a < m < n < b

5.(2015 黄浦一模文 13)已知 x ? R ,定义: A( x) 表示不小于 x 的最小整数.如

A( 3) ? 2, A(?0.4) ? 0, A(?1.1) ? ?1 . 若 A(2 x ? 1) ? 3 ,则实数 x 的取值范围是
【答案】



1 ? x ?1 2


6.(2015 黄浦一模理 13)已知 x ? R ,定义: A( x) 表示不小于 x 的最小整数.如

A( 3) ? 2, A(?0.4) ? 0, A(?1.1) ? ?1.若 A(2 x ? A( x)) ? 5 ,则正实数 x 的取值范围是
【答案】 1 ? x ?

5 4

7.(2015 嘉定一模理 2 文 2)函数 y ? lg( x ? 1) ?
【答案】 (1 , 2)

1 的定义域是________________. 2? x

8.(2015 嘉定一模理 13 文 13)若函数 f ( x ) 满足:① 在定义域 D 内是单调函数;② 存在 [a , b] ? D
( a ? b ),使 f ( x ) 在 [a , b] 上的值域为 [?b , ? a ] ,那么 y ? f ( x) 叫做对称函数.现有 是对称函数,则实数 k 的取值范围是_______________. 【答案】 ?1 ,

f ( x) ? 1 ? x ? k

? ?

5? ? 4?
5 (其中 x ? 0) ,则 x ? 4
.

9.(2015 静安一模理 7)已知 f ( x) ? x x ? 1 ? 1 , f (2 x ) ?

1

【答案】 x ? log 2

1? 2 2

10.(2015 静安一模理 12 文 13)已知实数 x 、 y 满足 x ? y ? 1,则
【答案】 [ ?2,2]

y?2 的取值范围是 x

.

11.(2015 浦东一模理 8 文 8)已知 y ? f ?1 ( x) 是函数 f ( x) ? x3 ? a 的反函数,且 f ?1 (2) ? 1 ,则实数 a ?
【答案】 1

12.(2015 浦东一模理 10 文 10)定义在 R 上的偶函数 y ? f ( x ) ,在 [0,??) 上单调递增,则不等式

f (2 x ? 1) ? f (3) 的解是
【答案】 (?1, 2)

13.(2015 普陀一模文 3)若 x ? 1 ,则函数 y ? x ?
【答案】3

1 的最小值为 x ?1

.

14.(2015 普陀一模理 3)若 x ? 1 ,则函数 y ?
【答案】3

x2 ? x ? 1 的最小值为 x ?1

.

15.(2015 普陀一模文 8)函数 f ( x) ? 1 ?
【答案】

x ? 1 ( x ? 2 )的反函数是

.

f ?1 ( x) ? x 2 ? 2x ? 2 ( x ? 0)
.

2 16.(2015 普陀一模理 8)函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ( x ? 0 )的反函数是

【答案】

f ?1 ( x) ? 1 ? x ? 1 ( x ? 2)
?loga x x ? 0
x ?a x ? 0

17.(2015 普陀一模文 13)设 a 为大于 1的常数,函数 f ( x) ? ?

,若关于 x 的方程 .

f 2 ( x) ? b ? f ( x) ? 0 恰有三个不同的实数解,则实数 b 的取值范围是
【答案】 0 ? b ? 1

18.(2015 普陀一模理 13)设 a 为大于 1的常数,函数 f ( x) ? ?

?loga x x ? 0
x ?1 x?0 ?a

,若关于 x 的方程 .

f 2 ( x) ? b ? f ( x) ? 0 恰有三个不同的实数解,则实数 b 的取值范围是 【答案】 0 ? b ? a
19.(2015 青浦一模理 7 文 7)函数 y ? f ? x ? 的反函数为 y ? f
?1

? x ? ,如果函数 y ? f ? x ? 的图像
.

? 2, ?2? ,那么函数 y ? f ?1 ? ?2x ? ?1 的图像一定过点 【答案】 ?1,3?
过点

20.(2015 青浦一模理 8 文 8)已知函数 f ( x) 对任意的 x ? R 满足 f (? x) ? f ( x) ,且当 x ≥ 0 时,
f ( x) ? x2 ? ax ? 1 .若 f ( x) 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是
【答案】 ? 2, ?? ? .

21.(2015 青浦一模理 13 文 13)设函数 y ? f ( x) 在 R 上有定义,对于任意给定正数 M ,

2

定义函数 函数

? f ( x), f ( x) ? M f M ( x) ? ? ,则称函数 f M ( x) 为 f ( x) 的“孪生函数”,若给定 ? M , f ( x) ? M
.

f ( x) ? 2 ? x 2 , M ? 1 ,则 f M (2) ?

【答案】 ?2

22.(2015 青浦一模理 14 文 14)当 x 和 y 取遍所有实数时, f ( x, y) ? ( x ? 5 ? cos y )2 ? ( x ? sin y )2 ? m
恒成立,则 m 的最小值为 【答案】 8 . .

23.(2015 松江一模理 2 文 2)已知 f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) ,且 f ?1 (?1) ? 2 ,则 f ?1 ( x) ?

?1? 【答案】 ? ? ?2?

x

24.(2015 松江一模理 12 文 12)某同学为研究函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 1 ? ?1 ? x ?
2

2

? 0 ? x ? 1? 的性质,

构造了如图所示的两个边长为 1的正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点, 设 CP ? x ,则 【答案】

f ? x ? ? AP ? PF .此时 fmax ( x) ? f min ( x) =



5 ? 2 ?1
x

25.(2015 松江一模理 13 文 13)设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,
且当 x ?

1? ?? 2,0? 时, f ( x) ? ? ? ? ?2?

? 1 .若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga ( x ? 2)(a ? 1) 在区间 ?? 2,6? 恰有 3 个


不同的零点,则 a 的取值范围是 【答案】

?

3

4 ,2

?

26.(2015 杨浦一模理 5 文 5)函数 f ?x ? ? x 2 ? 1?x ? 0? 的反函数 f
【答案】 ?

?1

?x ? ?



x ? 1 ? x ? ?1?

27.(2015 杨浦一模文 14) 如图所示,已知函数 y ? log 2 4 x 图像上的两点 A, B
和函数 y ? log 2 x 上的点 C,线段 AC 平行于 y 轴,三角形 ABC 为正三角形时, 点 B 的坐标为 【答案】

? p, q ? ,则实数 p 的值为________.

3

28.(2015 杨浦一模理 14)如图所示,已知函数 y ? log 2 4 x 图像上的两点 A、 B
和函数 y ? log 2 x 上的点 C,线段 AC 平行于 y 轴,三角形 ABC 为正三角形时, 点 B 的坐标为 【答案】 12 【答案】 ? 2

? p, q ? ,则

p 2 ? 2q 的值为________.

3


29.(2015 闸北一模文 2)若 f ( x ) 为奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 (2 ? x) ,则 f (2) ?

30.(2015 闸北一模理 2)若 f ( x ) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? log2 (2 ? x) ,则 f (0) ? f (2) ?
【答案】 ? 2



3

31.(2015 闸北一模文 3)设动点 P 在函数 【答案】 2

y?

2 图像上,若 O 为坐标原点,则 PO 的最小值为 x
x?2 ( x ? 0) 图像上,则 PA 的最小值为 x

32.(2015 闸北一模理 3)设定点 A(0,1) ,若动点 P 在函数 y ?
【答案】 2

33.(2015 闸北一模文 7)设函数 f ( x) ? 2 sin(?x) ,若存在 x0 ? R ,使得对任意的 x ? R , 都有 f ( x) ? f ( x0 ) 成立.则关于 m 的不等式 m 2 ? m ? f ( x0 ) ? 0 的解为
【答案】 (??, ?2) ? (1, ??)



34.(2015 闸北一模理 7)设函数 f ( x) ?

15 sin(?x) ,若存在 x0 ? (?1,1) 同时满足以下条件: 2


①对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? f ( x0 ) 成立;② x02 ? [ f ( x0 )]2 ? m2 ,则 m 的取值范围是
【答案】 (??,?2) ? (2,??)

35.(2015 长宁一模理 7 文 7)已知函数 f ( x) ? 1 ? log a x , y ? f ?1 ( x) 是函数 y ? f ( x) 的反函数,
若 y ? f ?1 ( x) 的图象过点 (2, 4) ,则 a 的值为 _________ . 【答案】 4
5

1 ? ? 36.(2015 长宁一模理 14)已知 ? x 2 ? ? 的展开式中的常数项为 T , f ( x) 是以 T 为周期的偶函数, 5 x3 ? ? 且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ,若在区间 [?1,3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的
取值范围是 【答案】 ( 0, ] .

1 4

37.(2015 崇明一模理 2 文 2)函数 f ( x) ?
【答案】

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是



?0,1?

38.(2015 崇明一模理 11 文 11)设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 ? ?1, 1? 上,

? 1≤ x ? 0 , ?ax ? 1, ?1? ?3? ? b ? R .若 f ? ? ? f ? ? ,则 a ? 3b 的值为 f ( x) ? ? bx ? 2 其中 a , , 0 ≤ x ≤1, ?2? ?2? ? ? x ?1
【答案】 ? 10



0 ? x ? ?, ?2sin x, 39.(2015 虹口一模理 7 文 7)若 f ? x ? ? ? 2 则方程 f ? x ? ? 1 的所有解之和等于 x ? 0, ?x ,
【答案】 ? ? 1

.

40.(2015 徐汇一模理 4 文 4)函数 f ( x) ? x ? 2( x ? 0) 的反函数 f
2

?1

( x) ?



【答案】 ?

x ? 2( x ? ?2)

41.(2015 徐汇一模理 13)在平面直角坐标系中,对于函数 y ? f ? x ? 的图像上不重合的两点 A, B ,
若 A, B 关于原点对称,则称点对

? A, B? 是函数 y ? f ? x? 的一组“奇点对”(规定 ? A, B? 与 ? B, A?
4

1 ? lg ? x ? 0? ? ? x 是相同的“奇点对”).函数 f ? x ? ? ? 的“奇点对”的组数是 ?sin 1 x ? x ? 0 ? ? ? 2 【答案】 3
若 A, B 关于原点对称,则称点对



42.(2015 徐汇一模文 13)在平面直角坐标系中,对于函数 y ? f ? x ? 的图像上不重合的两点 A, B ,

? A, B? 是函数 y ? f ? x? 的一组“奇点对”(规定 ? A, B? 与 ? B, A? ? ? x ? 4 ? x ? 0? ? 是相同的“奇点对”).函数 f ? x ? ? ? 1 的“奇点对”的组数是 . 2 ? x ? 2x ? x ? 0?
?2
【答案】 2

二、选择题
1.(2015 奉贤一模理 15 文 15)与函数 y ? x 有相同图像的一个函数是( A. y ?
C. y ? )

x
x x
2

B. y ? a

loga x

(a ? 0且a ? 1)
x

D. y ? loga a

(a ? 0且a ? 1)
) D. y ? tan x

【答案】D

2.(2015 奉贤一模理 16 文 16)下列函数是在 (0,1) 上为减函数的是(
A. y ? cos x 【答案】A B. y ? 2
x

C. y ? sin x
3

3.(2015 奉贤一模理 18 文 18)设 P (a, b) 是函数 f ( x) ? x 图像上任意一点,则下列各点中一定 ..
在该图像上的是( A. P 1 ( a,?b) 【答案】B ) B. P2 (?a,?b) C. P 3 (? a , b) D. P4 ( a ,?b)

4.(2015 嘉定一模理 17 文 17)定义在区间 [1 , ? ?) 上的函数 f ( x ) 满足:① f (2 x) ? 2 f ( x) ;
②当 2 ? x ? 4 时, f ( x) ? 1? | x ? 3 | ,则集合 S A. 2 【答案】C B. 4 C. 6

? {x f ( x) ? f (34)} 中的最小元素是(
D. 8



5.(2015 嘉定一模理 18 文 18)如图,圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点,角 x 的
始边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离 表示为 x 的函数 f ( x ) ,则
y 1 O y 1

y = f ( x) 在 [0 , ? ] 上的图像大致为(
y 1


y 1

π x A.

O

π x B.

O

π x C.

O

π x D.

【答案】B

6.(2015 金山一模理 17 文 17)设 k>1,f(x)=k(x–1) (x?R),在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y=f(x)的图像
5

与 x 轴交于 A 点,它的反函数 y=f –1(x)的图像与 y 轴交于 B 点,并且这两个函数的图像相交于 P 点. 已知 四边形 OAPB 的面积是 3,则实数 k 等于( (A) 3 【答案】B (B) ).

3 2

(C)

4 3

(D)

6 5
)

7.(2015 静安一模理 15 文 15)在下列幂函数中,是偶函数且在 (0,?? ) 上是增函数的是 (
A. y ? x 【答案】D
?2



B. y ? x

?

1 2



C. y ?

1 x3



D. y ?

2 x3

? 1 ?x ? , x ? 0 8.(2015 浦东一模理 19 文 19)函数 f ( x)= ? 的零点个数为( x ? ??2 ? ln x, x >0
( A) 0
【答案】C



( B) 1

(C ) 2

(D) 3

9.(2015 浦东一模理 20 文 20)某股民购买一公司股票 10 万元,在连续十个交易日内,前五个交易日,平均 每天上涨 5%,后五个交易日内,平均每天下跌 4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本,精确到元)(



( A) 赚 723 元
【答案】D

( B ) 赚 145 元

(C ) 亏 145 元

( D ) 亏 723 元

10.(2015 浦东一模理 22 文 22)如果函数 y ? f ( x) 在区间 I 上是增函数,而函数 y ?

f ( x) x

在区间 I 上是减函数,那么称函数 y ? f ( x) 是区间 I 上“缓增函数”,区间 I 叫做“缓增区间”. 若函数 f ( x ) ?

1 2 3 x ? x ? 是区间 I 上“缓增函数”,则“缓增区间” I 为 ( 2 2



( A) [1, ? ?)
【答案】D

( B ) [ 0, 3 ]

(C ) [ 0,1]
*

( D ) [1, 3]

11.(2015 青浦一模理 18 文 18)设函数 f ( x) ? n ? 1, x ? [n, n ? 1), n ? N ,函数 g ( x) ? log 2 x ,
则方程

f ( x) ? g ( x) 实数根的个数是(
(B) 2 个

). (C) 3 个
x ?b

(A) 1个 【答案】 B

(D ) 4 个 )

12.(2015 长宁一模理 16 文 17)函数 y ? a

, ? 0 ? a ? 1, ?1 ? b ? 0? 的图象为(

A 【答案】 C

B

C

D

13.(2015 崇明一模理 16 文 16)已知圆 x2 ? y 2 ? 1 及以下三个函数:① f ( x) ? x3 ;② f ( x) ? x cos x ;
③ f ( x) ? tan x .其中图像能等分圆的面积的函数个数为……………………………………………( A.3 B.2 C.1
6



D .0

【答案】

A
? ? 的值为………………………………( ?


14.(2015 崇明一模理 17 文 17)定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数.若 f ( x) 的最小
? ?? ? 5? 正周期是 ? ,且当 x ? ? 0, ? 时, f ( x) ? sin x ,则 f ? ? 3 ? 2?
A. ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

【答案】 D

15.(2015 崇明一模理 18 文 18)如图,正 ?ABC 的中心位于点 G (0, 1) ,A (0, 2) ,动点 P 从 A 点出发 ??? ? ? 沿 ?ABC 的边界按逆时针方向运动,设旋转的角度 ?AGP ? x (0 ≤ x ≤ 2? ) ,向量 OP 在 a ? (1,0) 方向的
投影为 y(O 为坐标原点),则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的图像是……………………………………(
3 2



y

y A B O C x

3 2

y

O
3 ? 2

2? 3

4? 3

2? x

O
3 ? 2

2? 3

4? 3

2? x

A.
y
2? 3

B.
y
2? 3

3 2

3 2

O
3 ? 2

4? 3

2? x

O
3 ? 2

4? 3

2? x

【答案】 C
A、α>0,b 是任意实数 C、b>0,α 是任意实数

C.
?

D.

16.(2015 宝山一模理 14 文 14)已知函数 y ? x ? b ,x∈(0,+∞)是增函数,则( B、α<0,b 是任意实数 D、b<0,α 是任意实数 ) D、b>a>1 )



【答案】A
17.(2015 宝山一模理 16 文 16)若 log a 3 ? logb 3 ? 0 ,则( A、0<a<b<1
【答案】B

B、0<b<a<1

C、a>b>1

18.(2015 宝山一模理 23 文 23)函数 y ? A、 y ? C、 y ?
【答案】D

x 2 ? 1 ? 1( x ? 0) 的反函数是(
B、 y ? ? x 2 ? 2 x ( x ? 0) D、 y ? ? x 2 ? 2 x ( x ? 2)

x2 ? 2 x ( x ? 0) x2 ? 2 x ( x ? 2)

19.(2015 虹口一模理 18 文 18)若直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ?
则实数 k 的取值范围是( A. ?? , 0, 【答案】A ). B. ?? ,

1 1 ? x ? 有四个不同交点, x x

? 1 ? 8

1? ? 8?

? 1 ? 8

1? ? 8?

C. ? , ?

? 1 ? 8

1? 8? ?

D. ? ? ,

? 1 ? 8

1? ? 8?

20.(2015 徐汇一模文 17)若函数 f ( x) ? loga ( x ? b) 的图象如左下图所示(其中 a , b 为常数),
7

则函数 g ( x) ? a

x

? b 的大致图象是(



y

y

y

y

y

1
?1 o

1
x

1 ?1

?1 o

1 ?1

x

?1

1

o ?1

1

?1
x

1

o ?1

1

x

?1 ?1

o

1 1
x

(A) 【答案】D

(B )

(C)

(D)

三、解答题
1.(2015 奉贤一模理 25 文 25)判断函数 f ( x ) ? lg
【答案】解:?

1? x 的奇偶性. 1? x
2分 3分 4分

1? x ? 0, 1 分 1? x

所以函数 f ( x ) 的定义域是 (?1,1) ,

定义域关于原点对称,

f (? x) ? lg

1 ? ( ? x) 1 ? (? x)
?1

1? x 1? x ? 1? x ? ? lg ? lg ? ? ? f ( x) , ? ? ? lg 1? x 1? x ? 1? x ?
1 1 1 1 1 , f ( ? ) ? lg 3 ,? f ( ) ? f ( ? ) , 2 3 2 2 2 所以 f ( x ) 是奇函数不是偶函数。
而 f ( ) ? lg

5分

6分 7分

2.(2015 奉贤一模理 31 文 31)设 f ( x) 是定义在 D 上的函数,若对任何实数 ? ? (0,1) 以及 D 中的
任意两数 x1 、 x 2 ,恒有 (1)证明函数

f ?? x1 ? (1? ? ) x2 ? ? ? f ( x1 ) ? (1? ? ) f ( x2 ) ,则称 f ( x) 为定义在 D 上的 C 函数.

f1 ( x) ? x2 是定义域上的 C 函数;

1 ( x ? 0) 是否为定义域上的 C 函数,请说明理由; x (3)若 f ( x ) 是定义域为 R 的函数,且最小正周期为 T ,试证明 f ( x ) 不是 R 上的 C 函数.
(2)判断函数 f 2 ( x) ? 【答案】(1)证明如下:对任意实数 x1 , x2 及 ? ?

? 0,1? ,

有 f ? x1 ? ?1 ? ? ? x2 ? ? f ? x1 ? ? ?1? ? ? f ? x2 ? ? ? x1 ? ?1 ? ? ? x2

?

?

?

?

2

? ? x12 ? ?1 ? ? ? x2 2
2

2分

? ?? ?1? ? ? x12 ? ? ?1 ? ? ? x22 ? 2? ?1? ? ? x1x2 ? ?? ?1 ? ? ?? x1 ? x2 ? ? 0 , 4 分


f ?? x1 ? ?1? ? ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? ?1? ? ? f ? x2 ? , 5 分
1 ? x ? 0 ? 不是 C 函数, x



f1 ? x ? ? x2 是 C 函数;
7分

6分

(2 ) f 2 ? x ? ?

8

说明如下(举反例):取 x1 则

? ?3 , x2 ? ?1 , ? ?

1 , 2

1 1 1 1 1 f ? ?3? ? f ? ?1? ? ? ? ? ? 0 , 2 2 2 6 2 1 即 f ?? x1 ? ?1 ? ? ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? ?1? ? ? f ? x2 ? ,∴ f 2 ? x ? ? ? x ? 0 ? 不是 C 函数; 10 分 x

f ?? x1 ? ?1 ? ? ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? ?1? ? ? f ? x2 ? ? f ? ?2 ? ?

(3)假设

f ? x ? 是 R 上的 C 函数,

11 分

若存在 m ? n 且 m, n ? (i)若 记 x1 那么

?0, T ? ,使得 f ? m? ? f ? n? 。
n?m ,则 0 ? ? ? 1 ,且 n ? ? x1 ? ?1 ? ? ? x2 , T

f ? m? ? f ? n ? ,

? m , x2 ? m ? T , ? ? 1 ?

f ? n? ? f ?? x1 ? ?1? ? ? x2 ? ? ? f ? x1 ? ? ?1? ? ? f ? x2 ?
f ? m? ? f ? n ? ,

? ? f ? m? ? ?1? ? ? f ? m ? T ? ? f ? m? ,这与 f ? m ? ? f ? n ? 矛盾;
(ii)若 记 x1 ∴

13 分

? n , x2 ? n ? T , ? ? 1 ?

n?m ,同理也可得到矛盾; T

14 分 15 分 16 分

f ? x ? 在 ?0, T ? 上是常数函数, f ? x ? 不是 R 上的 C 函数。

又因为

f ? x ? 是周期为 T 的函数,所以 f ? x ? 在 R 上是常数函数,这与 f ? x ? 的最小正周期为 T 矛盾.

所以

3.(2015 黄浦一模文 21)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.
x 已知函数 g ( x) ? 10 ? 1 , x ? R ,函数 10 x ? 1

y ? f ( x) 是函数 y ? g ( x) 的反函数.

(1)求函数

y ? f ( x) 的解析式,并写出定义域 D ;
1 ? f ( x ) ,试判断函数 y ? h( x) 在区间 (?1, 0) 上的单调性,并说明你的理由. x

(2)设函数 h( x ) ?

【答案】(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 解:(1)? g ( x) ?

2 2 10 x ? 1 2 ? 1? ? ?1 . ? 1 ? x , x ? R ,? g ( x) ? 1 .又 10x ? 1 ? 1 ,?1 ? x x 10 ? 1 0 ?1 10 ? 1 10 ? 1
1? x 1? y 1? y 10 x ? 1 x , x ? lg ,可解得 10 ? . ? f ( x ) ? lg , D ? (?1,1) . x 1? x 1? y 1? y 10 ? 1

??1 ? g ( x) ? 1 . 由 y ?

(2)答:函数 y ? h( x) 在区间 (?1, 0) 上单调递减. 理由:由(1)可知, h( x) ?

1 1 1? x 1 1? x ? f ( x) ? ? lg ? ? lg . x x 1? x x 1? x 可求得函数 h( x) 的定义域为 D1 ? (?1,0) ? (0,1) .
对任意 x ? D1 ,有 h( x) ? h( ? x) ?

1 1? x 1 1? x ? lg ? ? lg ? 0 ,所以,函数 y ? h( x) 是奇函数. x 1? x ?x 1? x
9

当 x ? (0,1) 时, 于是, lg

1 1? x 2 = ?1? 在 (0,1) 上单调递减, 在 (0,1) 上单调递减, x 1? x 1? x

1? x 在 (0,1) 上单调递减. 因此,函数 y ? h( x) 在 (0,1) 上单调递减. 1? x 依据奇函数的性质,可知, 函数 y ? h( x) 在 (?1, 0) 上单调递减.
4.(2015 黄浦一模理 21)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分.
x 已知函数 g ( x) ? 10 ? 1 , x ? R ,函数 10 x ? 1

y ? f ( x) 是函数 y ? g ( x) 的反函数.

(1)求函数

y ? f ( x) 的解析式,并写出定义域 D ;
1 ? f ( x ) ,若函数 y ? h( x) 在区间 (0,1) 内的图像是不间断的光滑曲线, x

(2)设 h( x ) ?

求证:函数

y ? h( x) 在区间 (?1, 0) 内必有唯一的零点(假设为 t ),且 ?1 ? t ? ? 1 .
2

【答案】解:(1)? g ( x) ?

10 ? 1 2 ? 1 ? x , x ? R , ? g ( x) ? 1 .又 10x ? 1 ? 1 , x 10 ? 1 10 ? 1
x

?1 ?

2 2 10 x ? 1 1? y 1? y x ? 1 ? ? ? 1 y ? , x ? lg ?? 1 ? g ( x ) ? 1 . . 由 ,可解得 10 ? . x x 10 ? 1 0 ?1 10 ? 1 1? y 1? y
1? x , D ? (?1,1) . 1? x

? f ( x ) ? lg

证明:(2)由(1)可知, h( x) ?

1 1 1? x 1 1? x ? f ( x) ? ? lg ? ? lg . x x 1? x x 1? x 可求得函数 h( x) 的定义域为 D1 ? (?1,0) ? (0,1) .
1 1? x 1 1? x ? lg ? ? lg ? 0 ,所以,函数 y ? h( x) 是奇函数. x 1? x ?x 1? x 1 1? x 2 = ?1? 当 x ? (0,1) 时, 在 (0,1) 上单调递减, 在 (0,1) 上单调递减, x 1? x 1? x 1? x 于是, lg 在 (0,1) 上单调递减. 因此,函数 y ? h( x) 在 (0,1) 上单调递减. 1? x 依据奇函数的性质,可知,函数 y ? h( x) 在 (?1, 0) 上单调递减,且在 (?1, 0) 上的图像也是不间断的光滑曲线.
对任意 x ? D1 ,有 h( x) ? h( ? x) ? 又 h(? ) ? ?2 ? lg 3 ? 0, h( ?

1 2

99 100 100 )?? ? lg199 ? 2 ? ? 0, 100 99 99
1 . 2

所以,函数 y ? h( x) 在区间 (?1, 0) 上有且仅有唯一零点 t ,且 ?1 ? t ? ?

5.(2015 嘉定一模理 22 文 22)(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5
分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数

f ( x) ? 2x ? k ? 2? x ( x ? R ).

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)设 k ? 0 ,问函数 f ( x ) 的图像是否关于某直线 x ? m 成轴对称图形,如果是,求出 m 的值;
10

如果不是,请说明理由;(可利用真命题:“函数 g ( x) 的图像关于某直线 x ? m 成轴对称图形”的 充要条件为“函数 g (m ? x) 是偶函数”) (3)设 k ? ?1 ,函数 h( x) ? a ? 2 ? 2
x 1? x

4 ? a ,若函数 f ( x) 与 h( x) 的图像有且只有一个公共点, 3

求实数 a 的取值范围. 【答案】解:(1)

f (? x) ? 2? x ? k ? 2x ,
?x

若 f ( x ) 是偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ,即 2 所以 (k

? k ? 2 x ? 2 x ? k ? 2? x , …………(1 分)
…………………(2 分)

? 1)(2x ? 2? x ) ? 0 对任意实数 x 成立,所以 k ? 1 ;
?x

若 f ( x ) 是奇函数,则 f (? x) ? ? f ( x) ,即 2 所以 (k

? k ? 2x ? ?2x ? k ? 2? x ,………(3 分)

? 1)(2x ? 2? x ) ? 0 对任意实数 x 成立,所以 k ? ?1 。 …………………(4 分)
……………………………(5 分)

综上,当 k ? 1 时, f ( x ) 是偶函数;当 k ? ?1 时, f ( x ) 是奇函数; 当 k ? ?1 时, f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数。 (2)当 k ? 0 时,若函数 f ( x ) 的图像是轴对称图形,且对称轴是直线 x ? m, 则函数 f (m ? x) 是偶函数,即对任意实数 x , f (m ? x) ? f (m ? x) , ………………(1 分) 故2
m? x

? k ? 2 ?( m? x ) ? 2 m? x ? k ? 2 ?( m? x ) ,化简得 (2 x ? 2 ? x )(2 m ? k ? 2 ?m ) ? 0 , …(3 分)
m ?m

1 log 2 k . ………………(4 分) 2 1 所以,函数 f ( x ) 的图像是轴对称图形,其对称轴是直线 x ? log 2 k . …………(5 分) 2 4 4 x ?x 2x x (3)由 f ( x) ? h( x) 得, (a ? 1) ? 2 ? 2 ? a ? 0 ,即 (a ? 1) ? 2 ? a ? 2 ? 1 ? 0 ,……(2 分) 3 3
因为上式对任意 x ? R 成立,所以 2 ? k ? 2

? 0, m ?

此方程有且只有一个实数解. 令 t ? 2 ,则 t ? 0 ,问题转化为:方程 ( a ? 1)t ?
x

2

4 at ? 1 ? 0 有且只有一个正数根.(3 分) 3

①当 a ? 1 时, t ? ? ②当 a ? 1 时,

3 ,不合题意. 4

…………………………………………………(4 分)

(i) 若△ ? 0 ,则 a ? ?3 或 若a ?

3 1 ,若 a ? ?3 ,则 t ? ,符合题意; 4 2

3 ,则 t ? ?2 ,不合题意. ……………………………………(6 分) 4 3 (ii) 若△ ? 0 ,则 a ? ?3 或 a ? ,由题意,方程有一个正根和一个负根, 4 ?1 ? 0 ,解得 a ? 1 . 即 ……………………………………(7 分) a ?1 综上,实数 a 的取值范围是 { ? 3 } ? (1 , ? ?) . ……………………………………(8 分)

11

6.(2015 金山一模理 23 文 23)(本小题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6
分,第 3 小题满分 8 分. 设函数 f(x)=2kax+(k–3)a–x (a>0 且 a?1)是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值; (2)若 f(2)<0,试判断函数 f(x)的单调性,并求使不等式 f(x2–x)+f(tx+4)<0 恒成立的 t 的取值范围; (3)若 f(2)=3,且 g(x)=2x+2 –x – 2mf(x)在 [ 2,+∞ ) 上的最小值为–2,求 m 的值. 【答案】解(1) 因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数,所以 f(0)=0, 所以 2k+(k–3)=0,即 k=1,检验知,符合条件……………………………………… 4 分 (2) f(x)=2(ax–a –x) (a>0 且 a?1) 因为 f(2)<0, a ?
2

1 <0,又 a>0 且 a?1,所以 0<a<1 a2

因为 y=ax 单调递减,y=a –x 单调递增,故 f(x)在 R 上单调递减。……………………7 分 不等式化为 f(x2–x)<f(–tx–4) 所以 x2–x >–tx–4,即 x2+(t–1)x+4>0 恒成立, 所以 Δ=(t–1)2–16<0,解得–3<t<5.…………………………………………………… 10 分 (3) 因为 f(2)=3,所以 2( a ?
2

1 4 2 2 ……………12 分 2 )=3,即 2a – 3a – 2=0,所以 a= a
x 2 x 2

所以 g(x)=2 +2 –4m( 2 – 2
x –x

x 2

?

)=( 2 – 2
x ? 2

x 2

?

x 2 2

) -4 m ( 2 – 2

x 2

?

x 2

)+2.

令 t= 2 – 2

x 2

x ? 2

,由(1)可知 t= 2 – 2

令 h(t)=t2-4mt+2=(t–2m)2+2–4m2 若 m≥

3 为增函数,因为 x≥2,所以 t≥ , 2 3 (t≥ )…………………………………………15 分 2

3 ,当 t=2m 时,h(t)min=2-4m2=–2,∴m=1 4 3 25 3 3 17 若 m< ,当 t= 时,h(t)min= -6m=–2,解得 m= > ,舍去 2 4 4 24 4
综上可知 m=1.…………………………………………………………………………18 分

7.(2015 静安一模理 20 文 20)(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 某地的出租车价格规定:起步费 a 元,可行 3 公里,3 公里以后按每公里 b 元计算,可再行 7 公里;超过 10 公里按每公里 c 元计算(这里 a 、 b 、 c 规定为正的常数,且 c ? b ),假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的
费用,也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定. (1)若取 a ? 14 , b ? 2.4 , c ? 3.6 ,小明乘出租车从学校到家,共 8 公里,请问他应付出租车费多少元? (本小题只需要回答最后结果) (2)求车费 y (元)与行车里程 x (公里)之间的函数关系式 y ? f ( x) . 【答案】(1)他应付出租车费 26 元;……………………………( 4 分)

(0 ? x ? 3) ?a, ? (2) y ? ?bx ? a ? 3b (3 ? x ? 10) ?cx ? a ? 7b ? 10c ( x ? 10) ?

, 

??????( 6 分) ??????( 10 分) ??????(1 4 分)

8.(2015 静安一模理 22 文 22)(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,
第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) (其中 a ? 1 ).
12

(1)判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f
?1

( x) ;
?1

(3)若两个函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上恒满足 F ( x) ? G( x) ? 2 ,则称函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间

[ p, q ] 上是分离的. 试判断 y ? f ( x) 的反函数 y ? f
求出实数 a 的取值范围;若不分离,请说明理由.

( x) 与 g ( x) ? a x 在闭区间 [1, 2 ] 上是否分离?若分离,

【答案】(1)因为 x 2 ? 1 ? x ? x ? x ? 0 ,所以函数 y ? f ( x) 的定义域为实数集 R ;………………( 1 分)
又 f ( x) ? f (?x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x 2 ) ? 0 , 所以函数 y ? f ( x) 是奇函数.…………………………(4 分) (2)由

x 2 ? 1 ? x ? 0 且当 x ? ?? 时 x 2 ? 1 ? x ? 0 ,当 x ? ?? 时 x 2 ? 1 ? x ? ??
?1

得 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 的值域为实数集。解 y ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 得 f (3 )

1 1 ( x) ? a x ? x , x ? R (8 分) 2 2a

1 x 1 1 1 a ? x ? a x ? 2 在区间 [1, 2 ] 上恒成立,即 a x ? x ? 2 , 2 2 2a a

1 ? 4 在区间 [1, 2 ] 上恒成立,…………………………( 11 分) ax 1 1 1 令ax ? t 因为 a ? 1 , a x ? t ?[a, a 2 ] , t ? 在 t ?[a, a 2 ] 递增,所以 (t ? ) min ? a ? ? 4 , t t a
或 ax ? 解得 a ? 2 ? 3 ;所以, a ? (2 ? 3,??) .…………………………( 16 分)

9.(2015 静安一模理 22)(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小
题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) (其中 a ? 1 ). (1)判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由;

f (m) ? f (n) (其中 m, n ? R 且 m ? n ? 0 )的正负号,并说明理由; m?n (3)若两个函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上恒满足 F ( x) ? G( x) ? 2 ,则称函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间
(2)判断

[ p, q ] 上是分离的. 试判断 y ? f ( x) 的反函数 y ? f
求出实数 a 的取值范围;若不分离,请说明理由. 【答案】(1)因为

?1

( x) 与 g ( x) ? a x 在闭区间 [1, 2 ] 上是否分离?若分离,

x 2 ? 1 ? x ? x ? x ? 0 ,所以函数 y ? f ( x) 的定义域为实数集 R ;……………( 1 分)

又 f ( x) ? f (?x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x 2 ) ? 0 , 所以函数 y ? f ( x) 是奇函数.…………………………(4 分) (2)因为 a ? 1 ,所以 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 在 [0,?? ) 上递增,以下给出证明:任取 0 ? x1 ? x 2 , 设 u1 ?

x1 ? 1 ? x1 , u 2 ? x 2 ? 1 ? x 2 ,则 u1 ? u 2 ?

2

2

x1 ? x 2
2

2

2 2

x1 ? 1 ? x 2 ? 1

? ( x1 ? x 2 )

= ( x1 ? x 2 )(

x1 ? x2 x1 ? 1 ? x2 ? 1
2 2

? 1) ? 0 ,所以 0 ? u1 ? u 2 ,即 0 ?
13

u1 u ? 1 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? log a 1 ? 0 .( 6 分) u2 u2

又 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 为奇函数,所以 f (?n) ? ? f (n) 且 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 在 (??,?? ) 上递增. 所以 m ? n ? m ? (?n) 与 f (m) ? f (n) ? f (m) ? f (?n) 同号, 所以,当 a ? 1 时,

f (m) ? f (n) ?0. m?n

f (m) ? f (n) ? 0 .……( 8 分) m?n 1 1 (3) f ?1 ( x) ? a x ? , x ? R …………………………( 10 分) 2 2a x 1 x 1 1 1 1 a ? x ? a x ? 2 在区间 [1, 2 ] 上恒成立,即 a x ? x ? 2 ,或 a x ? x ? 4 在区间 [1, 2 ] 上恒成立,( 12 分) 2 2 2a a a
令 a x ? t 因为 a ? 1 , a x ? t ?[a, a 2 ] , t ?

1 1 1 在 t ?[a, a 2 ] 递增,所以 (t ? ) min ? a ? ? 4 ,解得 a ? 2 ? 3 ; t t a

所以, a ? (2 ? 3,??) .…………………………( 16 分)

10.(2015 浦东一模理 31 文 31)(本题满分 10 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 6 分)
设函数 f ( x ) ?

sin x ? ( 0 ? x ? ). x 2

(1)设 x ? 0, y ? 0 且 x ? y ?

?
2

,试比较 f ( x ? y ) 与 f ( x ) 的大小;

(2)现给出如下 3 个结论,请你分别指出其正确性,并说明理由. ① 对任意 x ? (0,

?
2

] 都有 cos x ? f ( x) ? 1 成立;

② 对任意 x ? ? 0,

? ?

??
3?

? 都有 f ( x) ? 1 ?

x 2 x 4 x6 x8 x10 成立; ? ? ? ? 3! 5! 7! 9! 11 !
2 ] 有解,则 k 的取值范围是 ( ,?? ) .

③ 若关于 x 的不等式 f ( x) ? k 在 (0,

?
2

?

【答案】解:(1)方法一(作商比较):显然 f ( x) ? 0 , f ( x ? y ) ? 0 , 于是

f ( x ? y ) sin(x ? y ) x x sin x cos y ? x cos x sin y ? ? ? . ………1 分 f ( x) x? y sin x x sin x ? y sin x

因为

0 ? cos y ? 1? ? ? 0 ? x sin x cos y ? x sin x .……………………………2 分 x sin x ? 0 ?



0 ? sin y ? y ? ? ? 0 ? x cos x sin y ? y sin x .……3 分 0 ? x ? tan x ? 0 ? x cos x ? sin x?
f ( x ? y) ? 1 ? f ( x ? y ) ? f ( x) .…………………………………………4 分 f ( x)

所以 0 ? x sin x cos y ? x cos x sin y ? x sin x ? y sin x . 即

方法二(作差比较): 因为

0 ? cos y ? 1? ? ? x sin x(cos y ? 1) ? 0 .…………………………………1 分 x sin x ? 0 ?
14



0 ? sin y ? y ? ? ? x cos x sin y ? y sin x ? 0 .……2 分 0 ? x ? tan x ? 0 ? x cos x ? sin x?
x sin(x ? y ) ? ( x ? y ) sin x x sin x(cos y ? 1) ? ( x cos x sin y ? y sin x) ? ?0. ( x ? y) x ( x ? y) x

f ( x ? y ) ? f ( x) ?

即 f ( x ? y ) ? f ( x) .………………………………………………………………4 分 (2)结论①正确,因 0 ? x ?

?
2

. ? 0 ? sin x ? x ? tan x ? 1 ?

x 1 ? . sin x cos x

? cos x ? f ( x) ? 1 .………………………………6 分
结论②错误,举反例: 设 g ( x) ? 1 ?

x 2 x 4 x6 x8 x10 .(利用计算器) ? ? ? ? 3! 5! 7! 9! 11 !

f (0.5) ? g (0.5) ? 3.309313576 ?10?14 ? 0 等………………………………8 分 f (0.6) ? g (0.6) ? 3.493766163 ?10?13 ? 0 , f (1) ? g (1) ? 1.598273549 ?10?10 ? 0 ,
f (0.7) ? g (0.7) ? 0, f (0.8) ? f (0.8) ? 0, f (0.9) ? g (0.9) ? 0 均可).
结论③正确,由 f ( x ? y ) ? f ( x) 知 f ( x ) ?

? sin x 在区间 (0, ] 上是减函数. 2 x 2 sin x ? 2 所以 f ( x) ? f ( ) ? f ( x) ? ,又 f ( x) ? 1 ,所以 f ( x ) ? 的值域为 [ ,1) . ? x 2 ? ? 2 要使不等式 f ( x) ? k 在 (0, ] 有解,只要 k ? 即可.………………………10 分 2 ?

11.(2015 普陀一模文 23)(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第
(3)小题 8 分 已知函数 y ? f ( x) ,若在定义域内存在 x 0 ,使得 (1)若 a ? R 且 a ? 0 ,证明:函数 (2)若函数 (3)若函数

f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) 成立,则称 x 0 为函数 f ( x) 的局部对称点.

f ( x) ? ax2 ? x ? a 必有局部对称点;

f ( x) ? 2 x ? b 在区间 [ ?1,2] 内有局部对称点,求实数 b 的取值范围;

f ( x) ? 4 x ? m ? 2 x?1 ? m 2 ? 3 在 R 上有局部对称点,求实数 m 的取值范围.
f ( x) ? ax2 ? x ? a 得 f (? x) ? ax2 ? x ? a ……1 分

【答案】解:(1)由

代入 f (? x) ? f ( x) ? 0 得,
2

?ax

2

? x ? a ? ax2 ? x ? a ? 0 ,

? ?

?

得到关于 x 的方程 ax ? a ? 0 ( a ? 0 ),……2 分 其中 ? ? 4a ,由于 a ? R 且 a ? 0 ,所以 ? ? 0 恒成立……3 分
2

所以函数
x

f ( x) ? ax2 ? bx ? a ( a ? 0 )必有局部对称点。……4 分
?x

(2)方程 2 ? 2
x

? 2m ? 0 在区间 [ ?1,2] 上有解,于是 ? 2m ? 2 x ? 2 ? x ……5 分

1 1 ? t ? 4 ,……6 分 ? 2m ? t ? ……7 分 2 t 1 17 17 ? m ? ?1 ……10 分 其中 2 ? t ? ? ……9 分 所以 ? t 4 8
设 t ? 2 ( ? 1 ? x ? 2 ), (3 )

f (? x) ? 4 ? x ? m ? 2 ? x?1 ? m 2 ? 3 ,……11 分
15

由于 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,所以 4 于是 (4 令2 ?2
x ?x

?x

? m ? 2 ? x?1 ? m2 ? 3 ? ?(4 x ? m ? 2 x?1 ? m2 ? 3) ……13 分

x

? 4 ? x ) ? 2m(2 x ? 2 ? x ) ? 2(m 2 ? 3) ? 0 ……(*)在 R 上有解……14 分
2 2

? t ( t ? 2 ),则 4 x ? 4 ? x ? t 2 ? 2 ,……15 分

所以方程(*)变为 t ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 在区间 [2,??) 内有解,需满足条件:

?? ? 4m 2 ? 8(m 2 ? 4) ? 0 ? ……16 分 ? 2m ? 4(8 ? m 2 ) ?2 ? 2 ?

即?

? ?? 2 2 ? m ? 2 2 ,化简得 1 ? 3 ? m ? 2 2 ……18 分 ? ?1 ? 3 ? m ? 2 2

12.(2015 普陀一模理 23)(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第
(3)小题 8 分 已知函数 y ? f ( x) ,若在定义域内存在 x 0 ,使得 (1)若 a 、 b ? R 且 a ? 0 ,证明:函数 (2)若函数 (3)若函数

f (? x0 ) ? ? f ( x0 ) 成立,则称 x 0 为函数 f ( x) 的局部对称点.

f ( x) ? ax2 ? bx ? a 必有局部对称点;

f ( x) ? 2x ? c 在区间 [ ?1,2] 内有局部对称点,求实数 c 的取值范围;

f ( x) ? 4x ? m ? 2x ?1 ? m2 ? 3 在 R 上有局部对称点,求实数 m 的取值范围.
f ( x) ? ax2 ? bx ? a 得 f (? x) ? ax2 ? bx ? a ……1 分

【答案】解:(1)由

代入 f (? x) ? f ( x) ? 0 得,
2

?ax

2

? bx ? a ? ax2 ? bx ? a ? 0 ,

? ?

?

得到关于 x 的方程 ax ? a ? 0 ( a ? 0 ),……2 分 其中 ? ? 4a ,由于 a ? R 且 a ? 0 ,所以 ? ? 0 恒成立……3 分
2

所以函数
x

f ( x) ? ax2 ? bx ? a ( a ? 0 )必有局部对称点。……4 分
?x

(2)方程 2 ? 2
x

? 2c ? 0 在区间 [ ?1,2] 上有解,于是 ? 2c ? 2 x ? 2 ? x ……5 分

1 1 ? t ? 4 ,……6 分 ? 2c ? t ? ……7 分 2 t 1 17 17 ? c ? ?1 ……10 分 其中 2 ? t ? ? ……9 分 所以 ? t 4 8
设 t ? 2 ( ? 1 ? x ? 2 ), (3 )

f (? x) ? 4 ? x ? m ? 2 ? x?1 ? m 2 ? 3 ,……11 分
?x

由于 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,所以 4 于是 (4 令2 ?2
x ?x

? m ? 2 ? x?1 ? m2 ? 3 ? ?(4 x ? m ? 2 x?1 ? m2 ? 3) ……13 分

x

? 4 ? x ) ? 2m(2 x ? 2 ? x ) ? 2(m 2 ? 3) ? 0 ……(*)在 R 上有解……14 分
2 2

? t ( t ? 2 ),则 4 x ? 4 ? x ? t 2 ? 2 ,……15 分

所以方程(*)变为 t ? 2mt ? 2m ? 8 ? 0 在区间 [2,??) 内有解,需满足条件:

?? ? 4m 2 ? 8(m 2 ? 4) ? 0 ? ……16 分 ? 2m ? 4(8 ? m 2 ) ?2 ? 2 ?

即?

? ?? 2 2 ? m ? 2 2 ,化简得 1 ? 3 ? m ? 2 2 ……18 分 ? ?1 ? 3 ? m ? 2 2

13.(2015 青浦一模理 23 文 23)(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第
(3)小题 6 分.

16

已知函数

(1)指出

1 1 | ? | x ? |. x x 1 1 f ( x) ?| x ? | ? | x ? | 的基本性质(结论不要求证明)并作出函数 f ( x) 的图像; x x f ( x) ?| x ?
2

(2)关于 x 的不等式 kf (3)关于 x 的方程

( x) ? 2kf ( x) ? 6(k ? 7) ? 0 恒成立,求实数 k 的取值范围;

f 2 ( x) ? m f ( x) ? n ? 0 ( m, n ? R )恰有 6 个不同的实数解,求 n 的取值范围.

【答案】解:(1)解: D ?

? ??,0? ? ? 0, ???

? 2 ? ? x x ? ? ??, ?1? ? ? ?2 x x ? ? ?1, 0 ? f ( x) ? ? ……………1 分 ? 2 x x ? ? 0,1? ?2 ? x ? ?1, ?? ? ?x
在区间

f ( x) 是偶函数…………2 分

? ??, ?1? 和 ? 0,1? 上单调递增,在区间 ? ?1,0? 和 ?1, ??? 上单调递减…3 分

f ( x) 的最大值是 2 ,无最小值,值域为 (0, 2] …………………………………4 分
(说明:在端点 ?1和 1处可开可闭,在 0 处必须是开的,两个区间可以 用“和”连接,但不能用“ ? ”连接;写对值域给分) (作图如下:)…………………………6 分 (2)因为关于 x 的不等式 kf 即不等式 k (t 当t?
2

2

( x) ? 2kf ( x) ? 6(k ? 7) ? 0 恒成立,令 f ( x) ? t ,则 t ? ? 0, 2? ……………7 分
42 t ? 2t ? 6 ……………10 分
2

2

? 2t ? 6) ? 42在t ? ? 0,2? 上恒成立…………………………………………8 分
?k ? ?k ?

2 ? 0, 2? 时,?t ? 2t ? 6 ??5,6? ………………9 分

42 42 ? 42 ? ? ? ?7, ? 2 又 t ? 2t ? 6 (t ? 1) ? 5 ? 5 ? …………11 分
(3)关于 x 的方程

42 5 ………………12 分

f 2 ( x) ? m f ( x) ? n ? 0 ( m, n ? R )恰有 6 个不同的实数解即

f 2 ( x) ? mf ( x) ? n ? 0 有 6 个不同的解,…………………………………………13 分
数形结合可知必有

f1 ( x) ? 2 和 f 2 ( x) ? t , t ? ? 0, 2? ………………………………14 分
2

令 u ? f ( x) ,则关于 u 的方程 g (u) ? u

? mu ? n ? 0 有一根为 2,另一根在 ? 0, 2 ? 间…15 分

? 2m ? n ? 4 ? 0 ? g ?0? ? 0 ? ? ? n ? (0, 4) …………………………………………………18 分 ? m ?- 2 ? (0, 2) ? 2 ? ? m ? 4n ? 0
14.(2015 松江一模理 20 文 20)(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分
17

已知函数

f ( x) ? a

x ?b

(a ? 0, a ? 1, b ? R) .

(1)若 f ( x ) 为偶函数,求 b 的值; (2)若 f ( x ) 在区间

? 2, ?? ? 上是增函数,试求 a 、 b 应满足的条件.
x ? b ? ?x ? b ……………4 分
得 b ? 0 。……………6 分

【答案】解:(1)? f ( x ) 为偶函数,∴对任意的 x ? R ,都有 f (? x) ? f ( x) ,……………2 分 即a
x ?b

?a

? x ?b

(2)记 h( x) ?

? x ? b x ? ?b ,……………8 分 x?b ? ? ?? x ? b x ? ?b

① 当 a ? 1 时, f ( x ) 在区间

? 2, ?? ? 上是增函数,即 h( x) 在区间 ? 2, ?? ? 上是增函数,
? 2, ?? ? 上是增函数,即 h( x) 在区间 ? 2, ?? ? 上是减

∴ ?b ? 2 , b ? ?2 ……………10 分 ② 当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间 但 h( x) 在区间

??b, ??? 上是增函数,故不可能……………12 分 ∴ f ( x ) 在区间 ? 2, ?? ? 上是增函数时, a 、 b 应满足的条件为 a ? 1 且 b ? ?2 ……14 分
已知函数 f ? x ? ?

15.(2015 杨浦一模文 21)(本题满分 14 分)第一小题 3 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分.

ax 2 ? 1 是奇函数( a , b, c 为常数) bx ? c

(1)求实数 c 的值; (2)若 a, b ? N ,且
*

f ?1? ? 2, f ? 2? ? 3 ,求 f ? x ? 的解析式;
ax2 ?1 ax2 ?1 ?? ?bx ? c bx ? c

(3)对于(2)中的

f ? x ? ,若 f ? x ? ? m 有正数解,求实数 m 的取值范围。
…………1 分 …………3 分

【答案】解:(1)? f ? ? x ? ? ? f ? x ? ,?

??bx ? c ? ?bx ? c

…………2 分

?c ? 0

?a ?1 ?2 ? ? b (2)? f ?1? ? 2, f ? 2? ? ?3 , ? ? ? 4a ? 1 ? 3 ? ? 2b
?a ? 1 ? 2b 4a ? 1 ? ? ? 4a ? 1 ? ? 3 ? ?1 ? a ? 2 a ?1 ?3 ? ? 2b

…………4 分

…………5 分

? a ? N* ? a ? 1

…………6 分

?b ? 1
(3)? f

…………7 分

? f ? x? ?

x2 ? 1 x

…………8 分 …………10 分 …………12 分 …………14 分

? x ? ? m 有正数解,

?x?

1 ? m ? x ? 0 ? 有解 x

? x ? 0时,x ?
?m ? 2

1 ? 2 ,当且仅当 x ? 1 时等号成立 x

18

16.(2015 杨浦一模理 21)(本题满分 14 分)第一小题 3 分,第二小题 5 分,第三小题 6 分.
已知函数 f ? x ? ? (1)求实数 c 的值; (2)若 a, b ? Z ,且

ax 2 ? 1 是奇函数, a , b, c 为常数 bx ? c

f ?1? ? 2, f ? 2? ? 3 ,求 f ? x ? 的解析式;

(3)对于(2)中的 f ? x ? ,若 【答案】解:(1)? f

f ? x ? ? m ? 2x 对 x ? ? 0, ?? ? 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2 2

ax ?1 ? ? ax ?1 ? ?x? ? ? f ? x? ,? ? bx ? c bx ? c
…………2 分

…………1 分 …………3 分

??bx ? c ? ?bx ? c

?c ? 0

?a ?1 ?2 ? ? b (2)? f ?1? ? 2, f ? 2 ? ? ?3 , ? ? ? 4a ? 1 ? 3 ? ? 2b
?a ? 1 ? 2b 4a ? 1 ? ? ? 4a ? 1 ? ? 3 ? ?1 ? a ? 2 a ?1 ?3 ? ? 2b

…………4 分

…………5 分 …………6 分 …………7 分

? a ? Z, ? a ?0 或1
当 a ? 0 时, b ?

1 (舍) 2
x2 ? 1 x

当 a ? 1 时, b ? 1 ,? f ? x ? ? (3)? f ? x ? ? x ?

…………8 分

1 x

?x ?

1 1 ? m ? 2 x ? m ? 3x ? 对 x ? ? 0, ?? ? 恒成立 x x

? 3x ?

1 3 3 1? ? ? 2 3 ,当且仅当 x ? 时等号成立 即 x ? 时, ? 3 x ? ? ?2 3 x 3 3 x ?min ?

?m ? 2 3
17.(2015 闸北一模理 13 文 13)(本题满分 18 分,第(1)小题 9 分,第(2)小题 9 分)
请仔细阅读以下材料: 已知 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数.
? 求证:命题“设 a, b ? R ,若 ab ? 1 ,则 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ”是真命题.

1 a

1 b

? 证明:因为 a, b ? R ,由 ab ? 1 得 a ?

1 ? 0 . 又因为 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数, b 1 1 于是有 f ( a ) ? f ( ) . ① 同理有 f (b ) ? f ( ) . ② b a 1 1 由① + ②得 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) . a b
19

故,命题“设 a, b ? R ,若 ab ? 1 ,则 f (a ) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ”是真命题. 请针对以上阅读材料中的 f ( x ) ,解答以下问题:
? (1)试用命题的等价性证明:“设 a, b ? R ,若 f (a) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ,则: ab ? 1 ”是真命题;

?

1 a

1 b

1 a

1 b

(2)解关于 x 的不等式

f (a x?1 ) ? f (2x ) ? f (a1? x ) ? f (2? x ) (其中 a ? 0 ).
1 a 1 b

【答案】 解:(1)原命题与原命题的逆否命题是等价命题.
? 原命题的逆否命题:设 a, b ? R ,若 ab ? 1 ,则: f (a) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) ……4 分

下面证明原命题的逆否命题为真命题:
? 因为 a, b ? R ,由 ab ? 1 得: 0 ? a ?

1 , b

…………………………1 分

又 f ( x ) 是定义在 (0, ??) 上的单调递增函数

1 ) …………(1) …………1 分 b 1 1 由(1)+(2)得: f (a) ? f (b) ? f ( ) ? f ( ) a b
所以 f (a ) ? f ( 所以原命题的逆否命题为真命题 (2)由(1)的结论有: a ①当 2a ? 1 时,即 a
x ?1

同理有: f (b) ? f (

1 ) ……(2) …………1 分 a

…………………………1 分

所以原命题为真命题. ………………………1 分 ………………………3 分

? 2 x ? 1 ,即: (2a) x ? a

1 ……………2 分 ? 时,不等式的解集为: (log2a a, ? ?) 2 1 ②当 0 ? 2a ? 1 时,即 0 ? a ? 时,不等式的解集为: ( ? ? , log 2 a a) ………2 分 2 1 ③当 2a ? 1 时,即 a ? 时,不等式的解集为: R ……………2 分 2
18.(2015 长宁一模文 22)(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)
已知函数

f ( x) ?| 2x?1 ?1| , ( x ? R) .

(1)证明:函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上为增函数,并指出函数 f ( x ) 在区间

? ?? ,1? 上的单调性.

(2)若函数 f ( x ) 的图像与直线 y ? t 有两个不同的交点 A(m, t ) , B(n, t ) ,其中 m ? n , 求 mn 关于 t 的函数关系式. (3)求 mn 的取值范围. 【答案】解:(1)证明:任取 x1 ? (1, ??) , x2 ? (1, ??) ,且 x1

? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ?1 ? 1 ? 2 x2 ?1 ? 1 ? (2 x1 ?1 ? 1) ? ? 2 x2 ?1 ? 1? ?

1 x1 (2 ? 2 x2 ) ,………………2 分 2

? x1 ? x2 ,?2x1 ? 2x2 ,?2x1 ? 2x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) .

? ?? ,1? 上为减函数. ………………4 分 (2)解:因为函数 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上为增函数,相应的函数值为 (0, ??) ,在区间 ? ?? ,1? 上为减函数,
所以 f ( x ) 在区间 (1, ??) 上为增函数. 函数 f ( x ) 在区间
20

相应的函数值为 (0,1) ,由题意函数 f ( x ) 的图像与直线 y ? t 有两个不同的交点,故有 t ? (0,1) , …………6 分 易知 A(m, t ) , B(n, t ) 分别位于直线 x ? 1 的两侧,由 m ? n ,得 m ? 1 ? n ,故 2 又 A , B 两点的坐标满足方程 t ? 2
x ?1

m ?1

? 1 ? 0 , 2n ?1 ? 1 ? 0 ,

? 1 ,故得 t ? 1 ? 2m?1 , t ? 2n?1 ? 1 ,………………8 分
故 mn ? log2 (2 ? 2t ) ? log 2 (2 ? 2t ) .…………10 分

即 m ? log 2 (2 ? 2t ) , n ? log 2 (2 ? 2t ) ,…………9 分 (3)当 0 ? t ?

1 时, 0 ? m ? 1,1 ? n ? log2 3 ,,故 0 ? mn ? log2 3 ,………………12 分 2
2 2 1 1 2 ? ? log 2 (4 ? 4t 2 ) ? ? ? log 2 4 ? ? 1 ,因此 0 ? mn ? 1 ;…………14 分 ? ? 4 4

? m ? n? 又 mn ≤
4


1 ? t ? 1 时, m ? 0 , 0 ? log2 3 ? n ? 2 ,从而 mn ? 0 ; ……………16 分 2 综上所述, mn 的取值范围为 (??,1) . ………………18 分
19.(2015 长宁一模理 22)(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分)
已知函数 f ( x) ? ax ?
2

1 x ? c ( a 、 c ? R ),满足 f (1) ? 0 ,且 f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立. 2

(1)求 a 、 c 的值;

3 2 b 1 x ? bx ? ? ,解不等式 f ( x) ? h( x) ? 0 ; 4 2 4 (3)是否存在实数 m ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? m x在区间 [m , m ? 2] 上有最小值 ? 5 ?若存在, 请求出 m 的值;若不存在,请说明理由. 1 【答案】解:(1)由 f (1) ? 0 ,得 a ? c ? ,………………1 分 2 1 1 因为 f ( x) ? 0 在 x ? R 时恒成立,所以 a ? 0 且△ ? ? 4ac ? 0 , ac ? ,…………2 分 4 16
(2)若 h( x) ?

1 1 1 1? ?1 ? 1 ? ? 0 , ? a ? ? ? 0 ,所以 a ? c ? .……………4 分 ? a? ? , a2 ? a ? 2 16 4 4? ?2 ? 16 ? 1 2 1 1 (2)由(1)得 f ( x) ? x ? x ? ,由 f ( x) ? h( x) ? 0 , 4 2 4
即 a? 得 x ? ?b ?
2

2

? ?

1? b 1? ? ? x ? ? 0 ,即 ( x ? b)? x ? ? ? 0 ,………………7 分 2? 2 2? ?
1 1 1 1 时,原不等式解集为 (b , ) ;当 b ? 时,原不等式解集为 ( , b ) ; 2 2 2 2
………………10 分 ………………11 分

所以,当 b ? 当b ?

1 时,原不等式解集为空集 . 2

(3 ) g ( x )

?

1 2 ?1 1 ? x ? ? ? m?x ? , 4 4 ?2 ?

g ( x) 的图像是开口向上的抛物线,对称轴为直线 x ? 2m ? 1 .
假设存在实数 m ,使函数 g ( x) 在区间 [m , m ? 2] 上有最小值 ? 5 .
21

① 当 2m ? 1 ? m ,即 m ? ?1 时,函数 g ( x) 在区间 [m , m ? 2] 上是增函数,所以 g (m) ? ?5 ,

7 1 2 ?1 1 ? m ? ? ? m ?m ? ? ?5 ,解得 m ? ?3 或 m ? ,因为 m ? ?1 ,所以 m ? ?3 ; …………13 分 3 4 4 ?2 ? ② 当 m ? 2m ? 1 ? m ? 2 ,即 ? 1 ? m ? 1 时,函数 g ( x) 的最小值为 g (2m ? 1) ? ?5 ,


1 21 1 21 1 1 ?1 ? 或m ? ? ? ,均舍去;…15 分 (2m ? 1) 2 ? ? ? m ?(2m ? 1) ? ? ?5 ,解得 m ? ? ? 2 2 2 2 4 4 ?2 ? ③ 当 2m ? 1 ? m ? 2 ,即 m ? 1 时, g ( x) 在区间 [m , m ? 2] 上是减函数,所以 g (m ? 2) ? ?5 ,
即 即

1 1 ?1 ? (m ? 2) 2 ? ? ? m ?(m ? 2) ? ? ?5 ,解得 m ? ?1 ? 2 2 或 m ? ?1 ? 2 2 , 4 4 ?2 ?

因 m ? 1 ,所以 m ? ?1 ? 2

2.

………………17 分

综上,存在实数 m , m ? ?3 或 m ? ?1 ? 2

2 时,函数 g ( x) 在区间 [m , m ? 2] 上有最小值 ? 5 .……18 分

20.(2015 崇明一模理 21 文 21)(本题 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分)
某工厂因排污比较严重,决定着手整治,一个月时污染度为 60 ,整治后前四个月的污染度如下表; 月 数 污染度 1 60 2 31 3 13 4 0 …… ……

污染度为 0 后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始 工厂的污染模式: f ( x) ? 20 x ? 4 ( x ≥1) , g ( x) ?

20 ( x ? 4)2 ( x ≥1) , h( x) ? 30 log2 x ? 2 ( x ≥1) ,其中 3

x 表示月数, ?an ? 分别表示污染度.
(1)问选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由; (2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过 60. 【答案】解:(1)计算各函数对应各月份污染度得下表: 月数( x ) 污染度 1 60 60 60 60 2 31 40 26.7 30 3 13 20 6 .7 12.45 4 0 0 0 0 6分 8分 2分 6分 …… ……

f ( x)

g ( x)
h( x )
(每个 数正确得 2 分)

从上表可知,函数 h( x) 模拟比较合理,故选择 h( x) 作为模拟函数。 (2) 30 log 2 ? 2 ? 60
x

解得 1 ? x ? 16 ,所以,整治后 16 个月的污染度不超过 60。

21.(2015 宝山一模理 28 文 28)(本题满分 10 分)本题共有 2 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分. 已知函数 f(x)=

x?a (x∈R). x2 ? 2

(1)写出函数 y=f(x)的奇偶性;

22

(2)当 x>0 时,是否存在实数 a,使 y=f(x)的图像在函数 g(x)= 若不存在,说明理由.
【答案】解:(1)因为 y=f(x)的定义域为 R,所以

2 图像的下方,若存在,求 a 的取值范围; x

x 是奇函数; ????2 分 x ?2 x?a 当 a≠0 时,f(x)= 2 (x∈R)是非奇非偶函数????4 分 x ?2 2 x?a 2 4 (2)若 y=f(x)的图像在函数 g(x)= 图像的下方,则 2 < ,化简得 a< +x 恒成立, ??6 分 x x ?2 x x 4 2 因为 ( x ? ) …4 , ??8 分 所以,当 a<4 时,y=f(x)的图像都在函数 g(x)= 图像的下方??10 分 x x
当 a=0 时,f(x)=
2

22.(2015 宝山一模理 30 文 30)(本题满分 8 分) 有根木料长为 6 米,要做一个如图的窗框,已知上框架与下框架的高的比为 1∶2, 问怎样利用木料,才能使光线通过的窗框面积最大(中间木档的面积可忽略不计).
【答案】解:如图设 x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 ?7x,

6 ? 7x 6 ? 7x 6 ??2 分 即窗框的面积 y = 3x· =?7x2 + 6x(0 <x< )??5 分 3 3 7 3 2 9 6 配方:y = ?7( x ? ) ? (0<x< )??7 分 7 7 7 3 3 6 ∴当 x= 米时,即上框架高为 米、下框架为 米、宽为 1 米时,光线通过窗框面积最大 ??8 分 7 7 7
∴窗框的高为 3x,宽为

23.(2015 虹口一模理 21 文 21)(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分
已知函数 f ( x) 和 g ( x) 的图像关于原点对称,且 f ( x) ? x2 ? x (1)求函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)若 h( x) ? g ( x) ? m ? f ( x) ? 3 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 m 的取值范围. 【答案】 解:(1)设 P ( x, y ) 是函数 y ? g ( x) 的图像上任意一点, 则它关于原点的对称点 Q 的坐标为 (? x, ? y ). 由点 Q 在函数 y ? f ( x) 的图像上,得 ? y ? f (? x) ? (? x)2 ? (? x) ? x2 ? x, 即 y ? ? x 2 ? x, 故 g ( x) ? ? x2 ? x. (2)由已知,得 h( x) ? g ( x) ? m ? f ( x) ? 3 ? ?(m ? 1) x ? (m ?1) x ? 3.
2

??2 分 ??4 分 ??6 分 ??8 分 ??10 分

① 当m ? ?1 时, h( x) ? 2 x ? 3 在 ? ?1, 1? 上是增函数,所以 m ? ?1 ; ② 当m ? ?1 时,抛物线 y ? h( x)的对称轴为 x ? ?

m ?1 , 2(m ? 1)

(i) 当m ? ?1 时,抛物线 y ? h( x)的 开口向上,要使函数 h( x)在? ?1, 1? 上是增函数, 必须使 ?

m ?1 剟?1, 解得 ? 3 2(m ? 1)

m ? ?1;
23

(ii) 当m ? ?1 时,抛物线 y ? h( x)的 开口向下,要使函数 h( x)在? ?1, 1? 上是增函数, 必须使 ? m ? 1 厔1, 解得 ? 1 ? m 2(m ? 1) 综上, 实数 m 的取值范围为 ? ?3, ? ? . ? 3?

1 ? . 3
??14 分

1

?

?

24.(2015 徐汇一模理 20 文 20)(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分.

f ( x) ? 2x ? k ? 2? x (k ? R) . (1)若函数 f ( x) 为奇函数,求 k 的值;
已知函数 (2)若函数 f ( x) 在 【答案】 解:(1)

? ??, 2? 上为减函数,求 k 的取值范围.
f ( x) ? f (? x) ? (k ? 1)(2x ? 2? x ) ? 0 对一切的 x ? R 成立,……..4’
所以 k ? ?1 …..6’

(2)若 k ? 0 ,则函数 f ( x) 在 则函数 g (t ) ? t ? 所以

? ??, 2? 单调递增(舍)……..8’

当 k ? 0 时,令 t

? 2x ? ? 0, 4? ,………..9’

k 在 ? 0, 4? 上单调递减……………………..10’ t
即 k ? 16 ……………………..14’

k ? 4 ,……………………..13’

24


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