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高二数学不等式单元测试题


【基本不等式】
本卷共 100 分,考试时间 90 分钟 一、选择题 (每小题 4 分,共 40 分)

1. 在面积为定值 9 的扇形中,当扇形的周长取得最小值时,扇形的 半径是 (A)3 (D) 5 2. 若 x, y 是正数,且 1 ? 4 ? 1 ,则 xy 有
x y

(B)2

(C)4

A.最大值 16

B.最小值

1 16

C.最小值 16

D.最大值

1 16

3. 如果 f(x)=mx2+(m-1)x+1 在区间 (??,1? 上为减函数,则 m 的取值 范围( A. (0, )
1? 3? ? 1 B. ?0, ? ? ? ? 3?

C. ?0, ?

1 ? 3

?

D

(0, )

1 3

4. 给出如下四个命题: ①
x ? y ? z ?| xy |?| yz |





a2 x ? a2 y ? x ? y





a ? b, c ? d , abcd ? 0 ?

a b ? c d;

1 1 ? ? 0 ? ab ? b 2 ④a b .其中正确命题的个数是(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

5. 已 知 实 数 ai , bi ? R, (i ? 1,2,....n) , 且 满 足 a1 2 ? a 2 2 ? ..... ? a n 2 ? 1 ,
b1 ? b2 ? ..... ? bn ? 1, 则 a1b1 ? a 2 b2 ? ..... ? a n bn 的最大值为(
2 2 2



A.1

B.2

C. n 2

D. 2 n )

6. 设 a ? 0 ,不等式 ax ? b ? c 的解集是 ? x ?2 ? x ? 1? , a : b : c ? (

A.1∶2∶3 D.3∶2∶1

B.2∶1∶3

C.3∶1∶2

7. 今有甲、乙、丙、丁四人通过“拔河”进行“体力”较量。当甲、 乙两人为一方,丙、丁两人为另一方时,双方势均力敌;当甲与丙对 调以后,甲、丁一方轻而易举地战胜了乙、丙一方;而乙凭其一人之 力便战胜了甲、丙两人的组合。那么,甲、乙、丙、丁四人的“体力” 由强到弱的顺序是 A.丁、乙、甲、丙 C.丁、乙、丙、甲 B.乙、丁、甲、丙 D.乙、丁、丙、甲

8. 某厂产值第二年比第一年增长 p% ,第三年比第二年增长 q% ,又 这两年的平均增长率为 S%,则 S 与 A. S ?
p?q 2 p?q 的大小关系是 2 p?q p?q CS ? DS ? 2 2

B. S ?

p?q 2

9. 已知正项等比数列 {an }满足 : a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 am 、 an 使得
am an ? 4a1 ,则

A.

3 2

1 4 ) ? 的最小值为( m n 5 25 B. C. 3 6

D.不存在

10. 买 4 枝郁金香和 5 枝丁香的金额小于 22 元,而买 6 枝郁金香和 3 枝丁香的金额和大于 24 元,那么买 2 枝郁金香和买 3 枝丁香的金 额比较,其结果是( A.前者贵 B.后者贵 ) C.一样 D.不能确定

二、填空题 (每小题 4 分,共 16 分)

11. 函数 y ? log a ( x ? 2) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线
mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

1 2 ? 的最小值为 m n

.

12. 设 a,b 是两个实数,给出下列条件:①a+b>1; ②a+b=2; ③a+b>2; ④a 2 +b 2 >2;⑤ab>1,其中能推出:“a、b 中至少有一个实数大于 1” 的条件是____________.
2 3 ? 53 ? 2 2 ? 5 ? 2 ? 5 2

13. 考察下列一组不等式: 5

2 4 ? 5 4 ? 2 3 ? 5 ? 2 ? 53 2 2 ? 5 ? 2 2 ? 5 ? 2 ? 52
5 2 1 2 1 2

将上述不等式在左右

??

两端仍为两项和的情况下加以推广, 使以上的不等式成为推广不等式 的特例,则推广的不等式为 ___。
4 A

14. 若 A , B , C 为 △ ABC 的 三 个 内 角 , 则 为 .



1 B?C

的最小值

三、解答题 (共 44 分,写出必要的步骤) 15. (本小题满分 10 分)已知 a,b,c 是全不相等的正实数, 求证:
b?c?a a ?c?b a ?b?c ? ? ? 3. a b c

16. (本小题满分 10 分) 已知 a,b,m 是正实数,且 a<b,求证: <
a b a?m b?m

(12 分)

17. (本小题满分12分)甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速 行驶到乙地,速度不得超过c千米/时。已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千 米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元. (Ⅰ)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并 指出这个函数的定义域; (Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

18. (本小题满分 12 分) 某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万 元,每生产 x ( x ? N * )千件,需另投入成本为 C (x) ,当年产量不足
80 千件时, C ( x) ?
C ( x) ? 51x ?
1 2 ;当年产量不小于 80 千件时, x ? 10 x (万元) 3

10000 ? 1450 (万元).通过市场分析,若每件售价为 500 元 .. x

时,该厂年内生产该商品能全部销售完. (1)写出年利润 L (万元)关于年产量 x (千件)的函数解析 式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润 最大?

答案 一、选择题 1. A2. C3. C 解析:依题意知,若 m=0,则成立;若 m≠0,则开口向上,对称轴不 小于 1,从而取并集解得 C。 4. B5. A6. B7. A8. C9. A10. A 解析:设郁金香 x 元/枝,丁香 y 元/枝,则 ?
?4 x ? 5 y ? 22 ① ,∴由不 ?6 x ? 3 y ? 24 ②

等式的可加(减)性,得 x>3,y<2,∴2x>6,3y<6,故前者贵。 二、填空题 11. 3 ? 2 2 12. ③13. a m?n ? b m? n ? a m b n ? a n b m ?a, b ? 0, a ? b, m, n ? 0? 解析:仔细观察左右两边式子结构的特点、指数的联系,便可得到。

14.

9 ? A 1 B?C

因为 A+B+C= ? , A+B+C)· 4 + 且( ( 5+ 2
4? B?C A ? A B?C

)=5+4·B ? C +
A

A B?C

≥ ,

=9, 因此 4 +
A

1 B?C

B ≥9, 当且仅当 4· ? C =

?

A

A B?C

即 A=2(B+C)时等号成立. 三、解答题 15. 证法 1: (分析法) 要证
b?c?a a ?c?b a ?b?c ? ? ?3 a b c
b c c a a b ? ?1? ? ?1? ? ?1 ? 3 a a b b c c

只需证明 即证

b c c a a b ? ? ? ? ? ?6 a a b b c c

而事实上,由 a,b,c 是全不相等的正实数 ∴ ∴ ∴
b a c a c b ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2 a b a c b c b c c a a b ? ? ? ? ? ?6 a a b b c c b?c ?a a ?c ?b a ?b?c ? ? ?3 a b c

得证.

证法 2: (综合法) ∵ a,b,c 全不相等 ∴ ∴
b a c a c b 与 , 与 , 与 全不相等. a b a c b c
b a c a c b ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2 a b a c b c a a b b c c

三式相加得 b ? c ? c ? a ? a ? b ? 6 ∴
b c c a a b ( ? ? 1) ? ( ? ? 1) ? ( ? ? 1) ? 3 a a b b c c b?c ?a a ?c ?b a ?b?c ? ? ?3 a b c




a b a?m b?m

16. 证明:由 a,b,m 是正实数,故要证 < 只要证 a(b+m)<b(a+m)

只要证 ab+am<ab+bm

只要证 am<bm, 而 m>0

只要证 a<b,

由条件 a<b 成立,故原不等式成立。 17. 解析: (Ⅰ)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为 , 全程运输成本为
y ? a ? bv 2
s v

?

s ? v ? s( a ? bv) v a v

故所求函数及其定义域为 y ? s( ? bv), v ? (0, c] . (Ⅱ)依题意知s,a,b,v都为正数,故有 当且仅当 ? bv ,即 v ? ①若 ②若
a ? c ,则当 v ? b

a s( ? bv) ? 2s ab v

a v

a 时等号成立。 b

a 时, y 取得最小值; b

a ? c ,则 a ? bc 2 , b

a a a v s ( ? bv) ? s ( ? bc) ? s[( ? ) ? (bv ? bc)] v c v c s ? (c ? v)( a ? bcv) vc

因为 c ? v ? 0 ,且 a ? bc 2 ,故有 a ? bcv ? a ? bc2 ? 0 ,
? s (c ? v)( a ? bcv) ? 0 , vc a v a c

故 s( ? bv) ? s( ? bc) ,当仅且当 v ? c 时等号成立。 综上可知,若 最小;若
a ? c ,则当 v ? b a 时,全程运输成本 b

a ? c ,当 v ? c 时,全程运输成本 y 最小. b

18. 解析: (1)当 0 ? x ? 80, x ? N * 时,
L( x ) ? 500 ?1000 x 1 2 1 ? x ? 10 x ? 250 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 10000 3 3

当 x ? 80 , x ? N * 时,
L( x ) ? 500 ? 1000 x 10000 10000 ? 51x ? ? 1450 ? 250 ? 1200 ? ( x ? ) 10000 x x

? 1 2 ? ? 3 x ? 40 x ? 250 (0 ? x ? 80, x ? N *) ? L( x) ? ? 10000 ?1200 ? ( x ? ) ( x ? 80, x ? N *) x ? 1 (2)当 0 ? x ? 80, x ? N * 时, L( x) ? ? ( x ? 60) 2 ? 950 3

?当 x ? 60 时, L(x) 取得最大值 L(60) ? 950

当 x ? 80, x ? N ,
? L( x) ? 1200 ? ( x ? 10000 10000 ) ? 1200 ? 2 x ? ? 1200 ? 200 ? 1000 , x x

?当 x ?

10000 ,即 x ? 100 时, L(x) 取得最大值 L(100 ) ? 1000 ? 950 . x


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