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圆的切线方程教案


第 9-10 课时
教学题目:§8.4.4 直线与圆的位置关系 2-3—圆的切线方程 教学目标: 1、能熟练的通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆相切;
2 2、会求经过圆 C1 : x2 ? y 2 ? r 2 , C2 : ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 上一点的切线方程; 2 2 2 3、会求经过圆 C1 : x2 ? y 2 ? r 2 , ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 外一点的切线方程. 2 2

教学内容: 1、通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆相切;
2 2、求经过圆 C1 : x2 ? y 2 ? r 2 , C2 : ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 上一点的切线方程; 2 2 2 3、求经过圆 C1 : x2 ? y 2 ? r 2 , ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 外一点的切线方程. 2 2

教学重点:求圆的切线方程. 教学难点:直线与圆相交时所得的弦长有关的问题; 教学方法:讲授法、练习法. 教学过程: 一、设置情境 导入新课
2 直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : ? x ? a ? ? ? y ? b ? ? r 相切时,直线 l 到圆 C 的距离 2 2

d 与圆的半径 r 相等.即: d ? r .
二、师生协作 探究新知 (一) 、经过圆 x2 ? y 2 ? r 2 上一点 P ? x0 , y0 ? 的切线方程: x0 x ? y0 y ? r 2 . ( 二 )、 经 过 圆

? x ? a?

2

? ? y ? b ? ? r 2 上 点 M ? x0 , y0 ? 的 切 线 方 程 为
2

? x0 ? a?? x ? a? ? ? y0 ? a ?? y ? a? ? r 2 .
(三) 、经过圆上一点与圆相切的直线有一条;故:切线方程有且只有一个;经过圆外一点 与圆相切的直线有两条;故:切线方程有两个. 三、典型例题讲解 例 1、过点 P ?1, ?1? 作圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线,试求切线方程. 分析:求切线方程的关键是求出切线的斜率 k ,可以利用圆心到切线的距离等于半径的条 件来确定 k . 解法一:待定系数法:圆心到切线的距离与半径相等,即 d ? r . 设所求切线的斜率为 k ,则切线方程为: y ? 1 ? k ? x ?1? ,即: kx ? y ? ? ?1 ? k ? ? 0 ,
2 2 ∵圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的标准方程为: ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 ,
2 2

∴圆心为点 C ?1,1? ,半径 r ? 1 ,作出圆及其过点 P 的两条切线.

∴圆心到切线的距离为: d? 即d ? r, ∴

k ? 1 ? ? ?1 ? k ? k 2 ? ? ?1?
2

?

2 k 2 ?1

, ∵圆心到切线的距离与半径相等,

2 k 2 ?1

? 1 ,∴ k ? ? 3 ,∴所求圆的切线方程为 y ? ? ?1? ? ? 3 ? x ? 1? ,
即:

3x ? y ? 3 ?1 ? 0 或 3x ? y ? 3 ?1 ? 0 .
2 2

解法二:切线垂直于过切点的半径. ∵圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的标准方程为: ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 , ∴圆心为点 C ?1,1? ,半径 r ? 1 , 设切线为 l ,设切线为 l 与圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 1 相切于点 M ? x0 , y0 ? ,
2 2

设点 PM 所在直线即为切线 l ,斜率为 k ,设点 PC 所在直线 l1 ,斜率为 k1 ,则直线 l1 即为过切点 M ? x0 , y0 ? 的半径所在的直线. ∴ l ? l1 , ∴ k ? k1 ? ?1 , ∵切线 l 过点 P ?1, ?1? 、 M ? x0 , y0 ? ,∴ k ?

y0 ? 1 , x0 ? 1 y0 ? 1 , x0 ? 1

∵直线 l1 过点 C ?1,1? 、 M ? x0 , y0 ? ,∴ k1 ?

∴ k ? k1 ?
2

y0 ? 1 y0 ? 1 ? ? ?1①, x0 ? 1 x0 ? 1
2

∵ ? x0 ? 1? ? ? y0 ? 1? ? 1 ②,联立①、②构成方程组:

? y0 ? 1 y0 ? 1 ? x ? 1 ? x ? 1 ? ?1 , 0 ? 0 ? x ?1 2 ? y ?1 2 ? 1 ?? 0 ? ? 0 ?
∴ 由 ① 得 :

? x0 ? 1?
2

2 y0 ?1

2

2 ? ?1 ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ?1 ③ , 将 ③ 带 入 ② 中 得 : 2

2 ? y0 ? 1 ? ? y0 ? 1? ? 1 ④,

由④得: y0 ?

1 1 ,将 y0 ? 代入①式得: (解方程组的过程可舍去) 2 2

? 2? 3 ? 2? 3 x0 ? x0 ? ? ? ? ? 2 或 2 ,∴切点 M 的坐标为 ? 2 ? 3 , 1 ? 或 ? 2 ? 3 , 1 ? . ? ? ? ? ? ? ? 2 ? 2? 2? ? ? ? 2 ? ?y ? 1 ?y ? 1 0 0 ? ? ? 2 ? 2
当切点 M 的坐标为 ?

? 2? 3 1? ? 2 ,2? ? 时,∵切线 l 过点 P ?1, ?1? ,∴由直线的两点式方程得: ? ?

切线 l 的方程为:

y ? ? ?1? x ?1 ,即 3x ? 3 y ? 3 ? 3 ? 0 ? 3x ? y ? 3 ?1 ? 0 . ? 1 2 ? 3 ? ? ?1? ?1 2 2
当切点 M 的坐标为 ? 切线 l 的方程为:

? 2? 3 1? ? 2 ,2? ? 时,∵切线 l 过点 P ?1, ?1? ,∴由直线的两点式方程得: ? ?

y ? ? ?1? x ?1 ,即 3x ? 3 y ? 3 ? 3 ? 0 ? 3x ? y ? 3 ? 1 ? 0 . ? 1 ? ? ?1? 2 ? 3 ? 1 2 2
综上所述:所求直线方程为: 3x ? y ? 3 ?1 ? 0 或 3x ? y ? 3 ? 1 ? 0 . 例 2:求过圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 1 外一点 p(2, 4) 的切线方程.
2 2

师生解析:过圆外一点有两条切线,分两种情况讨论 (1)若切线的斜率存在,设切线的方程为: y ? 4 ? k ( x ? 2) 即 kx ? y ? 4 ? 2k ? 0 由 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 1 知圆心为 (1, 2)
2 2

半径 r ? 1

于是圆心 (1, 2) 到直线 kx ? y ? 4 ? 2k ? 0 的距离为: 于是: 切线方程为 3x ? 4 y ? 10 ? 0 (2)若切线的斜率不存在,切线的方程为: x ? 2

d?

k ? 2 ? 4 ? 2k ) k 2 ? 12

? r ?1

k?

3 4

综合(1) (2)知:所求的切线方程为: 3x ? 4 y ? 10 ? 0 或 x ? 2 四、课堂训练情景 练习:直线 x sin100 ? y cos100 ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 2 的位置关系(
2 2



A、相交

B、相切

C、相离

D 不确定

解析:由圆心 (0, 0) 到直线的距离为 故:选 B 五、课堂小结、板书设计

d?

? 2 sin 2 10 ? cos 2 10

? 2

与半径 2 相等

圆 的 一、圆的切线方程: 1 、经过圆 x2 ? y 2 ? r 2 上一点 P( x0 , y0 ) 的切线方程: x0 x ? y0 y ? r
2

切 线

方 程

二、例题解析 例 1 过点 p (1, ?1) 作圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线,试求切线方程; 解析:

例 2 :求过圆 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 外一点 2、 经过圆上一点与圆相切的直线有 p(2, 4) 的切线方程. 一条; 故: 切线方程有且只有一个; 经过圆外一点与圆相切的直线有两条; 解析: 故:切线方程有两个. 六、布置作业 课本 p70 页第 2 题;课本 p72 页第 3、4、5 题,


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