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高一数学(人教A版)必修1课件:1-3-1-1 函数的单调性


第一章
集合与函数概念

第一章
1.3 函数的基本性质

第一章
1.3.1 单调性与最大(小)值

第一章
第1课时 函数的单调性

课前自主预习

温故知新 1.函数的三要素:
定义域、值域、对应法则.
<

br />2.函数的三种表示方法: 解析法、图象法、列表法.
2 b 4ac-b 3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)顶点坐标为(-2a, 4a ) b ,对称轴为 x=-2a ,a > 0时开口向上,a < 0时开口

向下.

4.一次函数y=x的图象特征是:自左向右,图象逐渐
上升 ,y随x的增大而 增大.

5.二次函数y=x2的图象特征是:自左向右,在(-∞, 0]上,图象逐渐 下降 ,y随x的增大而 减小 ;在(0,+∞) 上,图象逐渐 上升 ,y随x的增大而 增大.

1 6.反比例函数y= 的图象特征是:自左向右,在(- x ∞,0)上,图象逐渐 下降 ,随x的增大而 减小 ,在(0,+ ∞)上,图象逐渐 下降 ,y随x增大而 减小.

新课引入 我们在初中已学过二次函数,请同学们指出 y=x2 的开口 方向,顶点坐标,对称轴方程,并在练习本上作出 y=x2 的图 象, 观察图象的变化趋势, 随 x 值的增大, 函数值 y 如何变化? 自主预习 1.观察函数 y=x2 的图象可见,当 x≥0 时,图象是上升 的,称此函数在[0,+∞)上为 增 函数,当 x≤0 时,图象是 下降的,称此函数在(-∞,0]上为 减 函数.

2.一般地,设 f(x)的定义域为 I,如果对于属于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x1<x2 时, 都有
f(x1)<f(x2) ,那么就说 f(x)在这个区间 D 上是增函数.

如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的 值 x1、x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2). 那么就说 f(x)在这个 区间 D 上为减函数.

如果函数 y=f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数,那 么就说函数 y=f(x)在区间 D 上具有 单调性. 函数 f(x)的单调区间. 区间 D 叫做

(1)如图,已知函数 y=f(x),y=g(x)的图象(包括端点), 根据图象说出函数的单调区间,以及在每一个区间上,函数 是增函数还是减函数.

[解析] [1,2].

函数 f(x)的单调区间有[-2, -1], [-1, 0], [0,1],

在区间[-2,-1],[0,1]上是减函数. 在区间[-1,0],[1,2]上是增函数. 函数 g(x)的单调区间有[-3, -1.5], [-1.5, 1.5], [1.5,3]. 在区间[-3, -1.5], [1.5,3]上是减函数, 在区间[-1.5,1.5] 上是增函数.

1 (2)我们已知反比例函数 y= 的图象如图,它在区间(- x ∞,0)和(0,+∞)都是减函数,能否说它在定义域上是减函 数?为什么?

[解析]

不能.显然 x1=-1,x2=1 时,满足 x1<x2,但

y1=-1,y2=1,y1>y2 不成立.

3.用单调性定义证明: (1)f(x)=2x+1 在 R 上为增函数. 2 (2)f(x)= 在(-∞,0)上为减函数. x 并概括用定义证明函数单调性的步骤. (1)设 x1、x2∈R,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2 +1)=2(x1-x2)<0, ∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在 R 上为增函数.

2 2 2?x2-x1? (2)设 x1<x2<0,则 f(x1)-f(x2)= - = >0,∴ x1 x2 x1x2 f(x1)>f(x2),∴f(x)在(-∞,0)上为减函数. 总结用单调性的定义证明函数的单调性的步骤为: 第一步:取值. 即设 x1、x2 是该区间内的任意两个值, ... 且 x1<x2;

第二步: 作差变形. 即作差 f(x1)-f(x2), 并通过因式分解、 ..... 配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形; 第三步:定号. 确定差 f(x1)-f(x2)的符号.当符号不确定 ... 时,分区间进行讨论; 第四步:下结论 ,根据符号作出结论. ... 即“取值——作差变形 ——定号——下结论”这四个步 骤.

4.熟悉常见的一些单调性结论 (1)一次函数 y=kx+b k<0 时单调递减. (2) 二次函数 y = ax2 + bx + c (a≠0) ,当 a>0 时,在 (k≠0),当 k>0 时单调递增,当

? ? ? b? b ?-∞,- ? 上单调递减,在 ?- ,+∞? 上单调递增, a<0 2a? ? ? 2a ?

时相反.

k (3)y= (k≠0),当 k>0 时,在(-∞,0)和(0,+∞)上都 x 单调递减.当 k<0 时,在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递增. (4)若 f(x),g(x)都是增函数,h(x)是减函数,则①在定义 域的交集(非空)上, f(x)+g(x)单调递增, f(x)-h(x)单调递增. ② 1 -f(x)单调递减,③ 单调递减(f(x)≠0). f?x?

5.对于函数值恒正(或恒负)的函数 f(x),证明单调性时, f?x1? 也可以作商 与 1 比较. f?x2?

思路方法技巧

1

利用图象求函数的单调区间

学法指导:函数单调区间的求法及表示方法 (1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的 方法,对于较复杂的函数的单调区间,可利用一些基本函数 的单调性或根据函数单调性的定义来求.

(2)单调区间必须是一个区间,不能是两个区间的并,如 1 不能写成函数y= x 在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数,而只 能写成在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数.

(3)区间端点的写法;对于单独的一点,由于它的函数值 是唯一确定的常数,没有增减变化,所以不存在单调问题, 因此写单调区间时,可以包括端点,也可以不包括端点,但 对于某些点无意义时,单调区间就不包括这些点.

[例1] 单调区间.

如图为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,指出它的

[解析]

函数的单调增区间为[-1.5,3),[5,6),单调减区

间为[-4,-1.5),[3,5)[6,7].

据下列函数图象,指出函数的单调增区间和单调减区 间.

[解析]

由图象(1)知此函数的增区间为(-∞,2],[4,

+∞),减区间为[2,4]. 由图象(2)知,此函数的增区间为(-∞,-1]、[1,+ ∞),减区间为[-1,0)、(0,1].

2

证明函数的单调性

学法指导:函数单调性的证明方法 证明或判断函数单调性的方法主要是定义法(在解决选 择或填空题时有时可用图象法),利用定义法证明或判断函 数单调性的步骤是:

[例2] [分析]

1 证明函数f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. x 证明的关键是对f(x1)-f(x2)进行变形,尽量变形

成几个最简单因式乘积的形式.

[证明] x1<x2,

设x1,x2是定义域(0,1)上的任意两个实数,且

1 1 则f(x1)-f(x2)=(x1+x )-(x2+x ) 1 2 x2-x1 1 1 =(x1-x2)+(x -x )=(x1-x2)+ x x 1 2 1 2 ?x1-x2??x1x2-1? = . x1x2 ∵0<x1<x2<1,

∴x1-x2<0,x1x2-1<0,x1x2>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 1 ∴f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. x

规律总结:证明函数单调性的常用方法是利用函数单 调性的定义,其步骤为(1)取值(注意x1,x2的任意性);(2)作 差变形(目的是例于判断符号);(3)判断差的符号;(4)写出结 论.

(1)用单调性定义证明函数f(x)=2x2+4x在(-∞,-1]上 是单调减函数. 2x (2)用定义证明,函数y= 在(-1,+∞)上为增函 x+1 数.

[证明]

(1)设x1<x2≤-1,则

2 f(x1)-f(x2)=(2x2 1+4x1)-(2x2+4x2) 2 =2(x2 - x 1 2)+4(x1-x2)

=2(x1-x2)(x1+x2+2). ∵x1<x2≤-1,∴x1-x2<0,x1+x2+2<0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(-∞,-1]上是减函数.

(2)设x1>x2>-1, 2?x1-x2? 2x1 2x2 y1-y2= - = >0, x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1? 2x ∴y1>y2,∴函数y= 在(-1,+∞)上为增函数. x+1

探索延拓创新

3

函数和、差的增减性

学法指导:通过定义可以证明以下结论 增函数+增函数为增函数 减函数+减函数为减函数 增函数-减函数增增函数 减函数-增函数为减函数

[例3]

已知y=f(x)与y=g(x)在区间A上均为增函数,判

断下列函数在区间A上的增减性. (1)y=-2f(x) (2)y=f(x)+g(x) [分析] 利用函数单调性的定义判断

[解析]

(1)对任意x1,x2∈A,设x1<x2,

∵f(x)为增函数,∴f(x1)-f(x2)<0. ∴-2f(x2)-[-2f(x1)]=2f(x1)-2f(x2) =2[f(x1)-f(x2)]<0. ∴-2f(x2)<-2f(x1),∴y=-2f(x)是减函数.

(2)在区间A内任取两个值x1、x2,设x1<x2, ∵y=f(x),y=g(x)为增函数, ∴f(x2)-f(x1)>0,g(x2)-g(x1)>0, ∴[f(x2)+g(x2)]-[f(x1)+g(x1)] =[f(x2)-f(x1)]+[g(x2)-g(x1)]>0. ∴f(x2)+g(x2)>f(x1)+g(x1), ∴y=f(x)+g(x)是增函数.

[探究]

在此题的基础上请同学们继续探究.

若f(x)、g(x)均为减函数,则y=f(x)+g(x)的增减性; 若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则y=f(x)-g(x),y=g(x) -f(x)的增减性并证明.

4

利用解析式作出函数图象求单调区间

学法指导:(1)作出函数的图象,利用图形的直观性能 快速判断函数的单调区间,但要注意图象一定要画准确. (2)记住常用函数的单调性,有利于我们快速判断. (3)函数的单调区间是函数定义域的子集,在求解的过 程中不要忽略了函数的定义域.

[例4]

画出函数(1)y=-x2+2|x|+3,(2)y=|-x2+2x+

3|的图象,并指出函数的单调区间. [分析] 函数解析式中含有绝对值号,因而需先去掉绝

对值号写成分段函数形式,然后,逐段画图.根据图象指出 单调区间.

[解析]

(1)y=-x2+2|x|+3 ?x≥0? ?x<0?

2 2 ? - x + 2 x + 3 =- ? x - 1 ? +4 ? =? 2 2 ? - x - 2 x + 3 =- ? x + 1 ? +4 ?

函数图象如图所示. 函数在(-∞,-1],[0,1]上是增函数; 函数在[-1,0],[1,+∞)上是减函数. 所以函数的单调增区间是(-∞,-1]和[0,1],单调减区 间是[-1,0]和[1,+∞).

(2)y=|-x2+2x+3|
2 2 ? - x + 2 x + 3 ? - x +2x+3≥0? ? =? 2 2 ? x - 2 x - 3 ? - x +2x+3<0? ? 2 ? ?-x +2x+3 ?-1≤x≤3? =? 2 ? ?x -2x-3 ?x>3或x<-1?

函数图象如图所示: 函数在(-∞,-1)、(1,3)上是减函数,在(-1,1)、(3, +∞)上是增函数. 所以函数增区间为(-1,1)和(3,+∞),减区间是(- ∞,-1)和(1,3).

[探究]

若设f(x)=-x2+2x+3,则y=-x2+2|x|+3=

f(|x|),y=|-x2+2x+3|=|f(x)|,两函数图象均可由y=f(x)变 化得来,即有如下规律: ①y=|f(x)|,作出y=f(x)的图象,将图象位于x轴下方的 部分以x轴为对称轴翻折到上方; ②y=f(|x|),作出y=f(x)在y轴右边的部分图象,以y轴为 对称轴将其翻折到左边得y=f(|x|)在y轴左边的部分的图象.

画出下列函数的图象,并指出它们的单调区间: (1)y=|x|-1; (2)y=|x2-1|.

[解析]

(1)如图(1),函数的单调减区间是(-∞,0],单

调增区间是[0,+∞).

2 ? ?x -1 (2)y=? 2 ? ?-x +1

?x<-1,或x>1? ?-1≤x≤1?.

函数的图象如图(2)所示. 函数y=|x2-1|在(-∞,-1],[0,1]上都是减函数,在 [-1,0],[1,+∞)上都是增函数.

5

利用单调性求参数的取值范围

学法指导:1.单调性的判定有多种方法,如图形、定 义,用已知函数的单调性以及应用运算和结论等,但单调性 的证明只能用定义证明.讨论函数的单调性及单调区间图象 法是最基本的方法. 2.对于二次函数一定要注意开口方向和对称轴.它确 定了函数的增减情况.

[例5]

已知f(x)=x2+2(1-a)x+2在(-∞,4]上是减函

数,求实数a的取值范围. [分析] 二次函数是我们最熟悉的函数,只要遇到二次

函数就画图象,也可以不将图象画出,而在脑海中出现,这 样会给我们研究问题带来很大方便.对于不熟悉的函数,可 以利用单调函数的定义去研究与单调性有关的问题.

[解析]

要使f(x)在(-∞,4]上是减函数,由二次函数的

-2?1-a? 图象可知,只要对称轴x= ≥4即可,解得a≥5. 2

规律总结:(1)关于二次函数的问题要注意三点:①开 口方向;②对称轴;③顶点坐标. (2)关于单调性的问题,当我们感觉太陌生、不熟悉时, “回到单调函数的定义去”往往给我们带来“柳暗花明又一 村”的感觉.

(2012~2013安阳一中月考试题)已知函数f(x)=2x2-mx +3,当x∈(-2,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,-2)时是 减函数,则f(1)等于( A.-3 C.7 ) B.13 D.由m决定的常数

[答案] B

[解析]

m m 由f(x)=2x -mx+3,得对称轴x= ,∴ =- 4 4
2

2,即m=-8,代入f(x)=2x2-mx+3,有f(x)=2x2+8x+3.将 x=1代入f(x)=2x2+8x+3,得f(1)=13.

名师辩误做答

误用“∪”连结具有相同单调性的不同区间 [例6] [错解] 1 写出函数y= 的单调区间. x+1 1 函数y= 的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+ x+1

∞).∵y在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,+∞)上也是减 1 函数,∴函数y= 的单调减区间是(-∞,-1)∪(-1,+ x+1 ∞).

[错因分析] 错误地将函数的两个减区间“并”起来 了,不符合单调性定义.

[思路分析] 判断函数的两个具有相同单调性的区间能 否合并,可结合图象或者进一步利用单调性定义证明.不能 合并时,将两个区间分开写,中间用逗号隔开即可.

[正解]

1 函数y= 的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+ x+1

∞).∵y在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,+∞)上是减函 1 数,所以函数y= 的单调区间是(-∞,-1),(-1,+ x+1 ∞).

基础巩固训练

1.(2012~2013冠县武训的高中月考试题)设函数f(x)= (2a-1)x+b是R上的减函数则有( 1 A.a> 2 1 C.a≥2 1 B.a≤ 2 1 D.a<2 )

[答案] D

[解析] f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数满足2a-1<0 1 即a<2,故选D.

2.已知函数f(x)=8+2x-x2,那么下列结论正确的是 ( ) A.f(x)在(-∞,1]上是减函数 B.f(x)在(-∞,1]上是增函数 C.f(x)在[-1,+∞)上是减函数 D.f(x)在[-1,+∞)上是增函数

[答案] B

[解析]

由二次函数f(x)=8+2x-x2=-(x-1)2+9的图

象知B对,故选B.

3.函数f(x)=2在[-2,4]上的单调性为( A.减函数 C.先减后增 B.增函数 D.不具备单调性

)

[答案] D

4.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( A.y=3-x 1 C.y= x B.y=x2+1 D.y=-|x|

)

[答案] B

5.(2012~2013南阳市一中月考试题)若在[1,+∞)上函 数y=(a-1)x +1与y= ( ) A.a>0 C.0≤a≤1 B.a>1 D.0<a<1
2

a x

的单调递减,则a的取值范围是

[答案] D

[解析]

? ?a-1<0 由于两函数在(1,+∞)上递减应满足 ? ? ?a>0

∴0<a<1.故选D.

6.写出下列函数的单调区间. (1)y=|x|+1________________. (2)y=-x2+ax________________. (3)y=|2x-1|________________. 1 (4)y=- ________________. x+2

[答案]

(1)增区间[0,+∞),减区间(-∞,0];(2)增区

a a 1 间(-∞, 2 ],减区间[ 2 ,+∞);(3)增区间[ 2 ,+∞),减区 1 间(-∞, ];(4)增区间 (-∞,-2)和(-2,+∞),无减区 2 间.

7.若函数y=-2x2+mx-3在[-1,+∞)上为减函数, 则m的取值范围是________.

[答案]

m≤-4

[解析]

m 由条件知- ≤-1,∴m≤-4. 2×?-2?

1 8.利用单调性的定义证明函数f(x)= 2 在(-∞,0)上是 x 增函数.

[解析]

欲利用单调性定义证明函数在(-∞,0)上是增

函数,只需设任意x1、x2∈(-∞,0),且x1<x2,证明f(x1)< f?x1? f(x2),或f(x1)-f(x2)<0,或 <1即可. f?x2?

证法一:对于任意的x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则
2 2 1 1 x2-x1 ?x2-x1??x2+x1? f(x1)-f(x2)=x2-x2= x2x2 = . 2 2 x x 1 2 1 2 1 2 2 2 ∵x1<x2<0,∴x2-x1>0,x1+x2<0,x1 x2>0.

∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 1 ∴函数f(x)= 2在(-∞,0)上是增函数. x

证法二:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2, 1 f?x1? x2 x2 1 2 则 = = 2.∴x1-x2<0,x1+x2<0. f?x2? 1 x1 x2 2
2 ∴(x1-x2)(x1+x2)>0,即x1 -x2 2>0. 2 x f?x1? 2 2 2 ∴x1>x2>0.∴ 2<1.∴ <1. x1 f?x2?

1 1 又∵f(x1)= 2>0,f(x2)= 2>0,∴f(x1)<f(x2). x1 x2 1 ∴f(x)= 2在(-∞,0)上是增函数. x

[规律总结] 利用定义证明函数的单调性,作差与作商 都是常用方法,关键是变形后尽量化为几个最简因式乘积的 形式.


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