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1.2.2 第1课时 组合与组合数公式 学案(人教A版选修2-3)


1.2.2
第 1 课时





组合与组合数公式

【课标要求】 1.理解组合与组合数的概念. 2.会推导组合数公式,并会应用公式求值. 3.了解组合数的两个性质,并会求值、化简和证明. 【核心扫描】 1.组合的概念及组合与组合数的区别.(易错点) 2.组合数公式的推导.(难点) 3

.组合数公式的应用.(重点)

自学导引
1.组合 一般地,从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 想一想:组合与排列有什么异同点? 提示 组合与排列问题共同点是都要“从 n 个不同元素中,任取 m 个元素”;不同点是 前者是“不管顺序合成一组”,而后者要“按照一定顺序排成一列”. 2.组合数与组合数公式 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个 组合数定义 不同元素中取出 m 个元素的组合数. Cm 表示法 n n ? n - 1 ? ? ?n-m+1? 乘积形式 Cm n= m! 组合数公式 n! 阶乘形式 Cm n= m!?n-m?! 性质 备注
3 2 试一试:试求 C2 8+C8+C9的值. 3 2 3 2 3 提示 C2 8+C8+C9=C9+C9=C10= n m Cm __; n =__Cn -1 m m Cn+1=Cn +__Cm __ n ①n,m∈N*且 m≤n ②规定 C0 n=1


10×9×8 =120. 3×2×1

名师点睛
1.对组合定义的理解 (1)组合的定义包含两个基本内容: 一是“取出元素”; 二是“合成一组”. “合成一组” 表示与元素的顺序无关. (2)如果两个组合中的元素完全相同,不管它们的顺序如何,都是相同的组合,如 ab 与 ba 是两个不同的排列,但它们是同一个组合;如果两个组合中的元素不完全相同,那么这两 个组合就是不同的组合. (3)组合与排列问题的共同点都是“从 n 个不同元素中任取出 m 个元素”; 不同点: 前者 与元素的顺序无关,为“将取出的元素合成一组”,后者是“将取出的元素按照一定顺序排 成一列”. 2.组合数公式两种形式的适用范围

形式 主要适用范围 乘积形式 计算具体含数字的组合数的值 阶乘形式 含字母的组合数的有关变形及证明 n-m 3.对等式 Cm 的理解 n =Cn 从 n 个不同元素中取出 m 个元素后,剩下 n-m 个元素.因为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合,与剩下的 n-m 个元素的每一个组合一一对应,所以从 n 个不同元素 n-m 中取出 m 个元素的组合数,等于从这 n 个元素中取出 n-m 个元素的组合数.即 Cm . n =Cn m m m-1 4.对等式 Cn+1=Cn +Cn 的理解 在确定从 n+1 个不同元素中取 m 个元素的方法时,对于某一元素,只存在着取与不取 m -1 两种可能.如果取这一元素,则需从剩下的 n 个元素中再取出(m-1)个元素,所以共有 Cn m 种,如果不取这一元素,则需从剩下 n 个元素中取出 m 个元素,所以共有 Cn 种.由分类加 m m-1 法计数原理得 Cm . n+1=Cn +Cn

题型一 组合概念的理解 【例 1】 判断下列各事件是排列问题还是组合问题,并求出相应的排列数或组合数. (1)10 人相互通一次电话,共通多少次电话? (2)10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次),共进行多少场次? (3)从 10 个人中选出 3 个作为代表去开会,有多少种选法? (4)从 10 个人中选出 3 人担任不同学科的课代表,有多少种选法? [思路探索] 解答本题主要是分清取出的这 m 个元素是进行排列还是组合, 即确定与顺序 有关还是无关. 解 (1)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了一次电话,没有顺序 的区别,组合数为 C2 10=45. (2)是组合问题,因为每两支球队比赛一次,并不需要考虑谁先谁后,没有顺序的区别, 组合数为 C2 10=45. (3)是组合问题,因为 3 个代表之间没有顺序的区别,组合数为 C3 10=120. (4)是排列问题,因为 3 个人担任哪一科的课代表是有顺序区别的,排列数为 A3 10=720. [规律方法] 排列、组合问题的判断方法 (1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么,区分的标志是有无顺序. (2)区分有无顺序的方法是:把问题的一个选择结果写出来,然后交换这个结果中任意两 个元素的位置,看是否会产生新的变化,若有新变化,即说明有顺序,是排列问题;若无新 变化,即说明无顺序,是组合问题. 【变式 1】 判断下列问题是组合还是排列,并用组合数或排列数表示出来. (1)若已知集合{1,2,3,4,5,6,7},则集合的子集中有 3 个元素的有多少? (2)8 人相互发一个电子邮件,共写了多少个邮件? (3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上,有多少种不同的飞机票? 有多少种不同的飞机票价? 解 (1)已知集合的元素具有无序性,因此含 3 个元素的子集个数与元素的顺序无关,是 组合问题,共有 C3 7个. (2)发邮件与顺序有关,是排列问题,共写了 A2 8个电子邮件. (3)飞机票与起点站、终点站有关,故求飞机票的种数是排列问题,有 A2 4种飞机票;票价 2 只与两站的距离有关,故票价的种数是组合问题,有 C4种票价. 题型二 组合数公式的应用 98 【例 2】 (1)计算:C97 + C + C99 99 99 100; - - 5 n 9 n (2)求值:Cn +Cn+1; 3n+6 n-2 (3)解方程:C18 =C4 18 . [思路探索] 利用组合数公式及其性质求解. 97 99 98 99 99 2 解 (1)C99 +C98 99+C100=C100+C100=C101=C101=5 050;

? ?0≤5-n≤n, (2)由组合数定义知:? ?0≤9-n≤n+1, ? ∴4≤n≤5,又∵n∈N*,∴n=4 或 5. -n 9-n 1 5 当 n=4 时,C5 n +Cn+1=C4+C5=5; 5-n 9-n 0 当 n=5 时,Cn +Cn+1=C5+C4 6=16. (3)由原方程及组合数性质可知 3n+6=4n-2,或 3n+6=18-(4n-2), ∴n=2,或 n=8,而当 n=8 时, 3n+6=30>18,不符合组合数定义,故舍去. 因此 n=2. [规律方法] n?n-1??n-2???n-m+1? Am n (1)公式 Cm = = ,一般用于求值计算; n Am m! m n! (2)公式 Cm (m,n∈N*,且 m≤n),一般用于化简证明.在具体选择公式 n= m!?n-m?! 时要根据题目特点正确选择. n-m m m -1 (3)根据题目特点合理选用组合数的两个性质 Cm ,Cm ,能起到简化 n =Cn n+1=Cn +Cn 运算的作用,需熟练掌握. 98 【变式 2】 (1)计算:C100 +C199 200; 38-n 3n (2)求 C3n +C21+n的值; n (3)证明:Cm Cm- . n= n-m n 1 100×99 98 2 1 (1)解 C100 +C199 +200=4 950+200=5 150. 200=C100+C200 = 2 (2)解 由组合数定义知: 19 ≤n≤38, ?0≤38-n≤3n, 2 ? ? 即 21 ? ?0≤3n≤21+n. 0≤n≤ . 2 19 21 ∴ ≤n≤ ,∵n∈N*,∴n=10, 2 2 30×29 -n 3n 28 30 2 1 ∴C38 +31=466. 3n +C21+n=C30+C31=C30+C31= 2×1 ?n-1?! n! n n (3)证明 Cm- = · = =Cm n. n-m n 1 n-m m!?n-1-m?! m!?n-m?! 题型三 组合的简单应用 【例 3】 一个口袋里装有 7 个白球和 1 个红球,从口袋中任取 5 个球. (1)共有多少种不同的取法? (2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法? (3)其中不含红球,共有多少种不同的取法? 审题指导 先把实际问题化归为组合问题,再利用组合数公式计算. 5 3 8×7×6 [规范解答] (1)从口袋里的 8 个球中任取 5 个球,不同取法的种数是 C8 =C8 = = 3×2×1 56.(4 分) (2)从口袋里的 8 个球中任取 5 个球,其中恰有一个红球,可以分两步完成: 第一步,从 7 个白球中任取 4 个白球,有 C4 7种取法; 1 第二步,把 1 个红球取出,有 C1种取法. 故不同取法的种数是: 4 1 3 C7 · C1=C4 7=C7=35.(8 分) (3)从口袋里任取 5 个球,其中不含红球,只需从 7 个白球

? ? ?

中任取 5 个白球即可,不同取法的种数是 C57=C27=

7×6 =21.(12 分) 2×1

【题后反思】 基本组合问题的解法: (1)判断是否为组合问题; (2)是否分类或分步; (3)根据组合相关知识进行求解. 【变式 3】 现有 10 名教师,其中男教师 6 名,女教师 4 名. (1)现要从中选 2 名去参加会议,有多少种不同的选法? (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师去外地学习的选法有多少种? (3)现要从中选出男、女老师各 2 名去参加会议,有多少种不同的选法? 解 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数,就是从 10 个不同元素中取出 2 个 10×9 元素的组合数,即 C2 =45(种). 10= 2×1 (2)可把问题分两类情况: 第一类,选出的 2 名是男教师有 C2 6种方法; 第二类,选出的 2 名是女教师有 C2 4种方法. 2 根据分类加法原理,共有 C2 + C = 15+6=21 种不同选法. 6 4 2 (3)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C2 6种,从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C4种,根据 6×5 4×3 2 分步乘法计数原理,共有选法 C2 × =90(种). 6×C4= 2×1 2×1 误区警示 重复计算出错 【示例】 从 4 台甲型电视机和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台, 其中至少有甲型和乙型 电视机各 1 台,则不同的取法有多少种? [错解] 先保证各 1 台,再从剩下的电视机中任取一台,即分三步: 第一步,从甲型电视机中取一台,有 C1 4种取法; 第二步,从乙型电视机中取一台,有 C1 5种取法; 第三步,从剩下的七台电视机中取一台,有 C1 7种取法,根据分步乘法计数原理. 共有 C1 C1 C1 4· 5· 7=140 种取法. 设甲型电视机中有 a、b 两台电视机,乙型电视机中有 A、B 两台电视机,根 据上述选法,其中有一种取法可以是“先选 a,再选 A,再选 b”,另外一种取法是“先选 b, 再选 A,再选 a”.而很明显,上述两种取法是同一种结果,出现重复,究其原因是本题使 用的是分步乘法计数原理.而分步必然有先有后,也就有顺序,跟排列有关.本题中无论是 取两台甲型电视机还是乙型电视机,对于这两台电视机而言,没有先后顺序的差别,即与顺 序无关,是组合问题. [正解]根据结果分类: 第一类,两台甲型机,有 C2 C1 4· 5=30; 1 2 第二类,两台乙型机,有 C4· C5=40. 1 2 根据分类加法计数原理,共有 C2 C1 C5=70. 4· 5+C4· 区分排列、组合问题的关键点:排列问题与选取元素的顺序有关,组合问题 与选取元素的顺序无关.


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