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湖南省岳阳县一中2015届高三10月第二次月考文科数学试卷


湖南省岳阳县一中 2015 届高三 10 月第二次月考 数 学(文科)

一、选择题(下列各小题的四个答案中仅有一个是正确的,请将正确答案填入答题纸的表 格中,每小题 5 分,50 分) 1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?2, 4? ,则 (? U A) A. ?1, 2, 4? B. ?2,3, 4? C.

B为

( )

?0, 2,3, 4?
( )

D.

?0, 2, 4?
?
12

2. 函数 f ( x) ? sin(2 x ? A. (

?
3

) 的一个对称中心是
B. (

?
3

, 0)

?

π 3.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标 10 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 π A.y=sin(2x- ) 10 1 π C.y=sin( x- ) 2 10 π B.y=sin(2x- ) 5 1 π D.y=sin( x- ) 2 20 ( )

12

, 0)

C. (

?
6

, 0)

D. ( ?

, 0)

1?x ? ?? -7,x<0, ? 4.设函数 f(x)=? 2? 若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是 ? ? x,x≥0, A.(-∞,-3) C.(-3,1) B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

(

)

5.函数 f ( x) ? log a x ? 1(0 ? a ? 1) 的图像大致为 y 1 -1 O 1 A. x 1 -1 O 1 B. x -1 C. y y 1 O 1 x -1 O -1 D. y 1 x





6.以下有关命题的说法错误的是( ) A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x ? 3 x ? 2 ? 0 ”
2

B. “ x ? 1 ”是“ x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 C.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题

D.对于命题 p : ?x ? R使得x ? x ? 1 ? 0, 则?p : ?x ? R, 均有x ? x ? 1 ? 0
2 2

7. 已 知 一 元 二 次 函 数 f ( x) ? x ? bx ? c , 且 不 等 式 x 2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 为
2

? x |x <-1或x > ? ,则 f (10 x )>0 的解集为
A. ? x |x <-1或x >lg2

1 2





?

B. ? x |-1<x <lg2

?

C. ? x |x >-lg2

?

D. ? x |x <-lg2

?
( )

8.若函数 f(x)=2x2-lnx 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内至少有一个极值点,则 实数 k 的取值范围是 A.[1,+∞) 3 B.[1,2) C.[1,2) 3 [2,2)

9.锐角 ?ABC 中,a, b, c 分别是三内角 A, B, C 的对边, 且 B ? 2A , 则 A. (?2, 2) B. (0, 2) C. ( 2, 2)

b 的取值范围是 ( ) a D. ( 2, 3)

10 . 定 义 在 (0, ??) 上 的 函 数 f ( x) 满 足 条 件 f (2 x) ? 2 f ( x) , 且 当 x ? (1, 2] 时 ,

f ( x) ? 2 ? x ,若 x1 , x2 是方程 f ( x) ? a (0 ? a ? 1) 的两个实根,则 x1 ? x2 不可能是(
A.30 B.56 C.80 D.112



二.填空题:(共 35 分把答案填在答题纸相应题号后的横线上) 11.函数 y ?

x ? ln x( x ? 0) 的单调增区间为________________.

12.已知函数 f ( x) ?

1 1 ? x2
2

? ln(1 ? x) 的定义域为 M ,则 M=
y 2 O
5? 12 11? 12

13.命题 p: ?x ? R ,使 x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ,若 ?p 为假命题,则实数 a 的取值 范围是 14. 函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 解析式为

x

?
2

-2

) 的部分图象如图所示,则函数的

15.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义: f (x) 是函数 f ( x) 的
3 2 /

导函数, f ( x) 是 f (x) 的导函数,若方程 f ( x) ? 0 有实数解 x 0 ,则称点 ( x 0 , f ( x 0 )) 为
// / //

函数 y ? f ( x) 的“拐点”。某同学经研究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次 函数都有对称中心,且拐点就是对称中心。 若 f ( x) ? 一发现,求:

1 3 1 2 5 x ? x ? 3 x ? ,请你根据这 3 2 12

1 3 1 2 5 x ? x ? 3 x ? 的对称中心为__________; 3 2 12 1 2 2015 (2) f ( )? f ( )? ? f ( ) =________ 2016 2016 2016
(1)函数 f ( x) ? 三、解答题(6 小题共 75 分,写出必要的文字说明或理由) 16 . ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 △ ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, 且

a ? 2, cos B ?

(1) 若 b ? 4 , 求 sin B , sin A 的值; (2) 若△ ABC 的面积 S ?ABC ? 4, 求 b, c 的值.

3 . 5

17. (本题满分 12 分)设函数 f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n 为正整数,a,b 为常数. 曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 x+y=1. (1) 求 a,b 的值; (2) 求函数 f(x)的最大值.

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos

x x x ( 3 sin ? cos ) . 2 2 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)若 f(x)=1,求 cos(

2? ? 2 x) 的值. 3

19.(本题满分 13 分) 已知集合 A ? {x ? R | 0 ? ax ? 1 ? 5} , B ? {x ? R | ?

1 ? x ? 2} 2

(1) A, B 能否相等?若能,求出实数 a 的值,若不能,试说明理由? (2)若命题 p : x ? A, 命题 q : x ? B 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围;

-2x+b 20. (本题满分 13 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a

(1)求 a,b 的值; (2)证明:函数 f(x)在 R 上是减函数; (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

21. (本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x(a ? ln x) 有极小值 ?e ?2 . (1)求实数 a 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 n ? m ? 1, (n, m ? Z ) 时,证明: mn

?

n m

? ? ?nm ? .
m n

岳阳县一中 2015 届高三第二次月考试题

文科数学参考答案
1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1, 2,3? , B ? ?2, 4? ,则 (? U A) A. ?1, 2, 4? B. ?2,3, 4? C.

B 为( D



?0, 2,3, 4?
( A )

D.

?0, 2, 4?
?
12

2. 函数 f ( x) ? sin(2 x ? A. (

?
3

) 的一个对称中心是
B. (

?
3

, 0)

?

π 3.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标 10 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是 (C ) π A.y=sin(2x- ) 10 π B.y=sin(2x- ) 5

12

, 0)

C. (

?
6

, 0)

D. ( ?

, 0)

1 π C.y=sin( x- ) 2 10

1 π D.y=sin( x- ) 2 20

1?x ? ?? -7,x<0, ? 4.设函数 f(x)=? 2? 若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是( C ) ? ? x,x≥0, A.(-∞,-3) C.(-3,1) B.(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

5.函数 f ( x) ? log a x ? 1(0 ? a ? 1) 的图像大致为( A )

6.以下有关命题的说法错误的是( C ) A.命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 则 x=1”的逆否命题为“若 x ? 1 , 则x ? 3x ? 2 ? 0 ” B. “ x ? 1 ”是“” x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的充分不必要条件 C.若 p ? q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p : ?x ? R使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 , 则?p : ?x ? R , 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0
2

7 . 已 知 一 元 二 次 函 数 f ( x) ? x ? bx ? c , 且 不 等 式 x 2 ? bx ? c ? 0 的 解 集 为
2

? x |x <-1或x >

1 2

? ,则 f (10 x )>0 的解集为(

C ) B. ? x |-1<x <lg2 D. ? x |x <-lg2

A. ? x |x <-1或x >lg2 C. ? x |x >-lg2

?

?

?

?

8. 若函数 f(x)=2x2-lnx 在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内至少有一个极值点,则 实数 k 的取值范围是 A.[1,+∞) 3 B.[1,2) (B) C.[1,2) 3 D.[2,2)

9.锐角 ?ABC 中,a, b, c 分别是三内角 A, B, C 的对边, 且 B ? 2A , 则 A. (?2, 2) B. (0, 2) C. ( 2, 2)

b 的取值范围是 (D) a D. ( 2, 3)

10 . 定 义 在 (0, ??) 上 的 函 数 f ( x) 满 足 条 件 f (2 x) ? 2 f ( x) , 且 当 x ? (1, 2] 时 ,

f ( x) ? 2 ? x ,若 x1 , x2 是方程 f ( x) ? a (0 ? a ? 1) 的两个实根,则 x1 ? x2 不可能是(C )
A.30 11.函数 y ? B.56 C.80 D.112

x ? ln x( x ? 0) 的单调增区间为________________.

[4, ??) ( (4, ??) 也对)
12. 已知函数 f ( x) ?

1 1 ? x2
2

? ln(1 ? x) 的定义域为 M ,则 M=

{x | ?1 ? x ? 1}

13.命题 p: ?x ? R ,使 x ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 ,若 ?p 为假命题,则 实数 a 的取值范围 是

(??, ?3)

(1, ??)

14.函数 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图象如图所示,则函数的解析式为

y ? 2sin(2 x ?

?
3

)
3 2 /

15.对于三次函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,给出定义: f (x) 是函数 f ( x) 的 导函数, f ( x) 是 f (x) 的导函数, 若方程 f ( x) ? 0 有实数解 x 0 , 则称点 ( x 0 , f ( x 0 ))
// / //

为函数 y ? f ( x) 的“拐点”。某同学经研究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一 个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心。

1 3 1 2 5 x ? x ? 3 x ? ,请你根据这一发现, 3 2 12 1 1 5 求: (1)函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 3 x ? 的对称中心为__________; 3 2 12 1 1 2 2015 (2) f ( (1)( ,1)(2)2015 )? f ( )? ? f ( ) =________ 2 2016 2016 2016
若 f ( x) ? 16. (本题满分 12 分) 已知△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a ? 2, cos B ?

3 . 5

(1) 若 b ? 4 , 求 sin B , sin A 的值;(2) 若△ ABC 的面积 S ?ABC ? 4, 求 b, c 的值. 解: (1)∵ cos B ?

3 ? 0, 且0 ? B ? ? , 5

∴ sin B ? 1 ? cos 2 B ? 由正弦定理得

4 . 5

??2分

a b , ?? 3分 ? sin A sin B 4 2? a sin B 5 ? 2 . ???? 6分 ∴ sin A ? ? b 4 5 1 1 4 (2)∵ S ?ABC ? ac sin B ? 4, ∴ ? 2 ? c ? ? 4 .?? 9分 2 2 5 ∴ c ? 5. ??10分
由余弦定理得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,?? 11分 ∴ b?

a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 2 2 ? 5 2 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 . ??12 分 5

17.设函数 f(x)=axn(1-x)+b(x>0),n 为正整数,a,b 为常数. 曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 x+y=1. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的最大值. 解:(1)因为 f(1)=b,由点(1,b)在 x+y=1 上, 可得 1+b=1,即 b=0. 因为 f′(x)=anxn 1-a(n+1)xn,所以 f′(1)=-a.


又因为切线 x+y=1 的斜率为-1, 所以-a=-1,即 a=1.故 a=1,b=0. (2)由(1)知,f(x)=xn(1-x)=xn-xn 1,


n - f′(x)=(n+1)xn 1?n+1-x?. ? ?

令 f′(x)=0,解得 x=

n , n+1

n 即 f′(x)在(0,+∞)上有唯一零点 x0= . n+1 n 在?0,n+1?上,f′(x)>0,故 f(x)单调递增;

?

?

n 而在?n+1,+∞?上,f′(x)<0,f′(x)单调递减.

?

?

n ? n ? n ? ? n ?? 故 f(x)在(0,+∞)上的最大值为 f n+1 = n+1 n 1-n+1 = ? ? ? ?? ? (n+1)

n

n+1.

18.本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos

x x x ( 3 sin ? cos ) . 2 2 2

(1)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间;

(2)若 f(x)=1,求 cos( 解: (1) f ( x) ? cos

2? ? 2 x) 的值. 3

x x x 3 1 ? 1 ( 3 sin ? cos ) ? sin x ? (1 ? cos x) ? sin( x ? ) ? . 2 2 2 2 2 6 2
4分

所以函数 f(x)的最小正周期为 T=2π . 令 2k ? ?

?
2

? x?

?
6

? 2k ? ?

?
2

, k ? Z ,得 2k? ?

函数 y=f(x)的单调递增区间为 [2k? ? (2) f ( x) ? sin( x ?

2? ? , 2k? ? ], (k ? Z) . 3 3

2? ? ? x ? 2k ? ? , k ? Z 3 3
6分

?
6

)?

1 ? 1 ? 1, 即sin( x ? ) ? 2 6 2,
12 分

cos(

2? ? ? ? 1 ? 2 x) ? cos 2( ? x) ? 2 cos 2 ( ? x) ? 1 ? 2sin 2 ( x ? ) ? 1 ? ? 3 3 3 6 2 1 ? x ? 2} 2

19.(本题满分 13 分) 已知集合 A ? {x ? R | 0 ? ax ? 1 ? 5} , B ? {x ? R | ?

(1) A, B 能否相等?若能,求出实数 a 的值,若不能,试说明理由? (2)若命题 p : x ? A, 命题 q : x ? B 且 p 是 q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围;

1 ? 1 ? ?? ? ? 1 4? ? a 2 (1)当 a ? 0 时 A ? ? x ? ? x ? ? ? ? ?a?2 a a? ? 4 ? ?2 ? ? a
当 a ? 0 时 A ? ?x

? 4 1? ? x ? ? ? 显然 A ? B a? ? a

故 A ? B 时, a ? 2 (2) p ? q ? A ? B
?

0 ? ax ? 1 ? 5 ? ?1 ? ax ? 4
1 ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 1 4? ? 2 或? a 2 解得 a ? 2 当 a ? 0 时, A ? ? x ? ? x ? ? 则 ? a ? 4 4 a a ? ? ? ? ?2 ?2 ? a ? a 1 ?4 ?? ? 4 1 ? ?a 2 ? a ? ?8 当 a ? 0 时, A ? ? x ? x ? ? ? 则 ? 1 a ? ?? ? 2 ? a ? a
综上 p 是 q 的充分不必要条件,实数 a 的取值范围是 a ? 2, 或 a ? ?8

-2x+b 20.(13 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)证明:函数 f(x)在 R 上是减函数; (3)若对任意的 t∈R,不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 恒成立,求 k 的取值范围.

(1)解 因为 f(x)是 R 上的奇函数, -1+b -2x+1 故 f(0)=0,即 =0,解得 b=1, 从而有 f(x)= x+1 . 2+a 2 +a 1 -2+1 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2. 4+a 1+a 1?1-2 ? ∴f(x)=2? x ?. ?2 +1? (2)证明 设 x1<x2, 1-2x1 1-2x2 (1-2x1)(1+2x2)-(1-2x2)(1+2x1) f(x1)-f(x2)= - = 2(2x1+1) 2(2x2+1) 2(2x1+1)(2x2+1) = 2x2-2x1 . (2x1+1)(2x2+1) 故 f(x)是 R 上的减函数. 4分
x

∴a=2,b=1.

4分

∵x1<x2,则 2x2-2x1>0,∴f(x1)>f(x2).

(3)解 由(2)知 f(x)在 R 上为减函数,又因为 f(x)是奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于 f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因为 f(x)是 R 上的减函数,由上式推得 t2-2t>- 2t2+k. 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0 恒成立, 4分

1 从而 Δ=4+12k<0,解得 k<-3.

21.已知函数 f ( x) ? x(a ? ln x) 有极小值 ?e ?2 . (1)求实数 a 的值; (2)若 k ? Z ,且 k ?

f ( x) 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值; x ?1

(3)当 n ? m ? 1, (n, m ? Z ) 时,证明: mn

?

n m

? ? ?nm ? .
m n

解析(Ⅰ) 令 故

f ?( x) ? a ? 1 ? ln x ,

f ?( x) ? 0 ? x ? e ? a ?1 ,令 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e ? a ?1

f ( x) 的极小值为 f (e ? a ?1 ) ? ?e ? a ?1 ? ?e ?2 ,得 a ? 1.

4分

(Ⅱ)当 x ? 1 时,令 g ( x) ?

x ? 2 ? ln x f ( x) x ? x ln x ,? g ' ( x) ? ? 2 x ?1 x ?1 ? x ? 1?
1 x ?1 ? ? 0 ,故 y ? h( x) 在 (1, ??) 上是增函数 x x

令 h( x) ? x ? 2 ? ln x ,? h ' ( x) ? 1 ?

由于 h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0 ,? 存在 x0 ? ? 3,4 ? ,使得 h( x0 ) ? 0 . 则 x ? ?1, x0 ? , h( x) ? 0 ,知 g ( x) 为减函数; x ? ? x0 , ?? ? , h ( x) ? 0 ,知 g ( x) 为增函数.
'

? g ( x) min ? g ( x0 ) ?

x0 ? x0 ln x0 ? x0 x0 ? 1
9分

? k ? x0 , 又 x0 ? ? 3,4 ? , k ? Z ,所以 kmax =3.
(Ⅲ)要证 mn n 即证

?

? ? ? nm ?
m

m n

即证 m ln m ? nm ln n ? n ln n ? nm ln m

x ? 1 ? ln x n ln n m ln m x ln x 令 ? ( x) ? 得 ? ?( x) ? ? 2 , , n ?1 m ?1 x ?1 ? x ? 1?

令 g ( x) ? x ? 1 ? ln x, g '( x) ? 1 ?

1 ? 0, ( x ? 1) ? g ( x) 为增函数, x

又 g (1) ? 0, g ( x) ? x ? 1 ? ln x ? 0 ,所以 ? ' ( x) ? 0

?

y ? ? ( x) 是增函数,又 n ? m ? 1 =?

?mn ? ? ?nm ? .
n m m n

13 分


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