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高一数学必修四综合测试题


大值是( 一、选择题 1.若 tan ? ? 3 , tan ? ? (A) ?3

) B.

4 ,则 tan(? ? ? ) 等于( 3 1 (B) ? (C) 3 3
)

) (D)

A.1

1? 3 2

C.

3

2


D.1+ 3

1 3

7.若 cos a ? 2 sin a ? ? 5 , 则 tan a =( A.

2.已知点 P(tan ? , cos ? ) 在第三象限,则角 ? 是(

A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3. 一个半径为 R 的扇形,它的周长为 4R ,则这个扇形所含弓形的面积是( ) A. D. R
2

1 2

B.2

C. ?

1 2

D. ? 2

8. 在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, 若 AB ? (2, 4) ,AC ? (1,3) ,则 BD ? ( ) A. (-2,-4) B. (-3,-5) C. (3,5) D. (2,4) )

??? ?

????

??? ?

1 (2 ? sin1cos1) R 2 2

B.

1 2 R sin1cos1 2

C.

1 2 R 2

? sin1cos1R2
? ? π? ? 的图像,只需将函数 y ? sin 2 x 的图像( ) 3?
B.向右平移

9. 在三角形 ABC 中, AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ?CB ,则 △ABC 是( C (A)正三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)钝角三角形

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

4.为得到函数 y ? cos ? 2 x ?

5π 个长度单位 12 5π C.向左平移 个长度单位 6
A.向左平移

5π 个长度单位 12 5π D.向右平移 个长度单位 6

10.在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点, AE 的 延长线与 CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? ( ) A.

????

??? ?

??? ?

4 . 已 知 函 数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的 一 部 分 图 象 如 下 图 所 示 , 如 果

1 1 a? b 4 2

B.

2 1 a? b 3 3

C.

1 1 a? b 2 4

D. a ?

1 3

2 b 3

A ? 0, ? ? 0, ? ?
A. A ? 4 C.

?
2

,则(

)

y
4

二、填空题 11.cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为

__________

B. ? ?

?
6

? ? ? 13.关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题:
x
? 6
5? 12
1

? ?1

D. B ? 4

2 O

b = a? c ,则 b ? c .②若 a ? (1,k ),b ? (?2, 6) , a ∥ b , ①若 a ?
则 k ? ?3 .

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

2 5.函数 f ( x) ? sin x ?

?? ? ? 3 sin x cos x 在区间 ? , ? 上的最 ?4 2?

③ 非 零 向 量 a 和 b 满 足 | a |? |b ? | a | ?b , | 则 a 与 a ? b 的 夹 角 为 60? . ④

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ?? (a? b)c ? a(b? c)
其中真命题的序号为 _____. (写出所有真命题的序号)

13. 已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x)sin x , x ? R ,则 f ( x) 的最小正周期是

? 14. 设 a = (3, 4),a⊥b 且 b 在 a ? (1,0) 上的投影为 2,则 b=

三、解答题 15. 已知函数 f ( x) ? 2cos ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ? R, ? ? 0 )的最小值正
2

17











f ( x) ?

cos 4 x ? 1 2 cos( ? 2 x) 2

? 周期是 . 2
(1)求 ? 的值; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并且求使 f ( x) 取得最大值的 x 的集 合.

?

? cos2 x ? sin 2 x.

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递减区 间; (2)在所给坐标系中画出函数在区间

? 4? [ , ] 的图象 3 3
(用五点法作图).

16.已知 cos ? ?

13 1 ? 求: (1)tan 2? ; (2) ,cos(? ? ? ) ? ? ,0 ? ? ? ? ? ? ? , 14 7 2
? ?

?
2

18.设向量 a, b 都是单位向量,且满足 3a ? 2b ?

?

?

7

(1) 求 a 与 b 的夹角的大小;(2) 求 3a ? b 的值;(3)若 (ka ? 3b ) ? (a ? kb ), 求k

?

?

?

?

?

?

?

?

20.已知 A(3,0),B(0,3),C( cos? , sin? ) . (1)若 AC ? BC ? ?1, 求 sin(? ?

?
4

)的值;

| OA ? OC |? 13 , 且? ? (0, ? ),求OB与OC 的夹角. (2) 若 O 为坐标原点,

19.已知向量 m=(sinA,cosA),n= ( 3, ?1) ,m·n=1,且 A 为锐角. (1) 求角 A 的大小; (2) 求函数 f ( x) ? cos 2 x ? 4cos A sin x( x ? R) 的值域.

必修 4 综合试题 (参考答案)
一、选择题

DBDAB
二、填空题 11. ?

CBBCB
12.②

1 2

13. ?

3 14. (2 , ? ) 2

三、解答题 15. 解: (1) f ? x ? ? 2 ?
3

1 ? cos 2? x ? sin 2? x ? 1 2

? sin 2? x ? cos 2? x ? 2

? ?? ? ? 2 ? sin 2? x cos ? cos 2? x sin ? ? 2 4 4? ?

?c o ? ?s ? ( ?

) ? ?? 0 ,? ?

?
2

? ?

?

?

? sin(? ? ? ) ? ? 1 ? cos 2 (? ? ? ) ? ?

?? ? ? 2 sin ? 2? x ? ? ? 2 4? ?
由题设,函数 f ? x ? 的最小正周期是 (2)由(Ⅰ)知, f ? x ? ?

4 3 ,于是 7

cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
? 13 1 3 3 4 3 1 ? (? ) ? ? (? )?? 14 7 14 7 2
.
1 ? 2 sin 2 2 x ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 sin 2 x

2? ? ? ,可得 ? ,所以 ? ? 2 . 2? 2 2

?? ?

?? ? 2 sin? 4 x ? ? ? 2 . 4? ?

2? 3

?? k? 当 4 x ? ? ? 2k? ,即 x ? ?k ? Z ? 时, sin? ? ? 4 x ? ? 取得最大 4? 4 2 16 2 ?

?

?

?

17.解: f ( x) ? 1) T ?

2 sin(2 x ?

?
4

).

值 1, 所 以 函 数 f ?x ? 的 最 大 值 是 2 ? 2 , 此 时 x 的 集 合 为

2? ?? 2 ? ? 3 令 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? , k ? Z ,
2 4 2

? k? ? ? ? ,k ? Z?. ?x | x ? 16 2 ? ?
13 3 3 13 ? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ( ) 2 ? 16. 解:(1) 由 cos ? ? , 0 ? ? ? 得, 14 14 14 2
? tan ? ? sin ? 3 3 14 3 3 ? ? ? cos ? 14 13 13
, 于 是

2k? ?

5 ? 2 x ? 2k? ? ? , k ? Z 4 4 ? 5 kx ? ? x ? k? ? ? , k ? Z . 8 8

?

∴函数 f ( x) 的单调递减区间为 [k? ? (2)

?

5 , k? ? ? ], (k ? Z ) 8 8

2x ?
x

?
4

?
3? 8
0

2 ? 3133 2 tan ? 39 3 tan 2? ? ? ? 2 3 3 2 1 ? tan ? 1 ? ( 13 ) 71
( 2 ) 由

3 ? 2 5? 8
- 2

2?

7? 8
0

5 ? 2 9? 8
2

0 ??

?

f ( x)
, ? ? 得

? 2

? ?

??

??

?0 ? , ? 又
4

(2)由(Ⅰ)知 cos A ?

1 , 2
所 以

1 3 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x ? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin s ? ?2(sin x ? ) 2 ? . 2 2 1 3 因为 x∈R,所以 sin x ? ? ?1,1? ,因此,当 sin x ? 时,f(x)有最大值 . 2 2
当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3,所以所求函数 f(x)的值域是 ? ?3, ? . 2

? ?

3? ?

18.解: (1)设 a 与 b 的夹角的夹角为 ? ( ? ? ? 0, ? ? ) ∵ 3a ? 2b 则 a ?b ?

?

?

20.解: (1)? AC ? (cos? ? 3, sin ? ), BC ? (cos? , sin ? ? 3)

?

?

?

?

2

? ? ?2 ?2 ? ? ? 7, ∴ 9 a ? 4 b ? 12a ? b ? 7, 而 a ? b ? 1,

? AC ? BC ? (cos? ? 3) cos? ? sin ? (sin ? ? 3) ? ?1
得 cos ? ? sin ? ? 3(cos? ? sin? ) ? ?1
2 2

? ?

? 3

? ? ? ? 1 1 1 ,? a ? b cos ? ? , cos ? ? ,故 a 与 b 的夹角的大小为 2 2 2

? cos? ? sin ? ?
(2) 3a ? b (3)

?2 ? ? ?2 ? ? ? 9 a ? 6a ? b ? b ? 9 ? 3 ? 1 ? 13, 3a ? b ? 13 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (ka ? 3b ) ? (a ? kb ),? (ka ? 3b ) ? (a ? kb ) ? 0 ?

?

? ?

?

? 2 2 , ? sin(? ? ) ? 4 3 3

2

| OA ? OC |? 13 (2)?

? (3 ? cos? ) 2 ? sin 2 ? ? 13,? cos? ?
?? ? (0, ? ),?? ?

? ? ? ? ka 2 ? (k 2 ? 3)a ? b ? kb 2 ? 0 ? k 2 ? 4k ? 3 ? 0 ? k ? 2 ? 7
19.解: (1)

1 , 2
1 3 ? C (? , ), 2 2

?
3

, sin ? ?

3 , 2

n ? 3 sin A ? cos A ? 1, 2sin( A ? ) ? 1,sin( A ? ) ? 由题意得 m?
由 A 为锐角得 A ?

? ? ? ? ,A? . 6 6 3

? 6

? 6

1 . 2

? OB ? OC ?

3 3 , 设OB与OC的 夹 角 为 ? 2

5

3 3 OB ? OC 3 ? 2 ? 则 cos? ? , 3 2 | OB || OC |
求。

?? ? (0, ? ) ?? ?

?
6

即为所

6


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