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静安区2012学年高三年级第一学期期末教学质量检测 数学试卷(理科)


静安区 2012 学年高三年级第一学期期末教学质量检测 数学试卷(理科)
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2013.1
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 4 分,否则一律得零分.

1 2? sin( 2ax ? ) 的最小正周期为 4? ,则正实数 a = 2 7 1 1 2.等比数列 ?an ? ( n ? N * )中,若 a 2 ? , a 5 ? ,则 a12 ? 16 2
1.已知函数 f ( x) ? 3.两条直线 l1 : 3x ? 4 y ? 9 ? 0 和 l 2 : 5x ? 12y ? 3 ? 0 的夹角大小为 4.设圆过双曲线

. . .

x2 y2 ? ? 1 的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双曲线中心的距离 9 16

是 . 5. 某旅游团要从 8 个风景点中选两个风景点作为当天上午的游览地, 在甲和乙两个风景点中至少需选一个, 不考虑游览顺序,共有 种游览选择.
1 2 3 n 6.求和: Cn = ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn

.( n ? N * )

7.设数列 ?an ? 满足当 an ? n 2 ( n ? N * )成立时,总可以推出 an?1 ? (n ? 1) 2 成立.下列四个命题: (1)若 a3 ? 9 ,则 a4 ? 16 . (2)若 a3 ? 10 ,则 a5 ? 25 .
开始

(3)若 a5 ? 25 ,则 a4 ? 16 . (4)若 an ? (n ? 1) 2 ,则 an?1 ? n 2 . 其中正确的命题是 .(填写你认为正确的所有命题序号)

n←0,a←1/9, s←0 s←s+a a←3*a n←n+1

8.已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? .若以极点为原点,极轴为 x
N

轴的正
s>100 Y 输出 s 结束

?x ? 2 ? t, 半轴建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参 ?y ? 3 ?t ? 2
此直线 l 被曲线 C 截得的线段长度为 9.请写出如图的算法流程图输出的 S 值 . .

数) ,则

北 理第 N9 题

10.已知 ? 、 ? 为锐角,且

1 ? sin ? ? cos? 1 ? sin ? ? cos ? ? ? 2, sin ? sin ?

A O B S
南 理第 11 题



C

tan? tan? =

.

11.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”.如图所示, “海宝”从圆心 O 出发,先沿北偏西

arcsin

12 方向行走 13 米至点 A 处,再沿正南方向行走 14 米至点 B 处,最后沿正东方向行走至点 C 处,点 13 B 、 C 都在圆 O 上.则在以圆心 O 为坐标原点,正东方向为 x 轴正方向,正北方向为 y 轴正方向的直角坐
.

标系中圆 O 的方程为

12.过定点 F (4,0) 作直线 l 交 y 轴于 Q 点,过 Q 点作 QT ? FQ 交 x 轴于 T 点,延长 TQ 至 P 点,使

QP ? TQ ,则 P 点的轨迹方程是

.

13.已知直线 (1 ? a) x ? (a ? 1) y ? 4(a ? 1) ? 0 (其中 a 为实数)过定点 P ,点 Q 在函数 y ? x ? 上,则 PQ 连线的斜率的取值范围是 .

1 的图像 x

14.在复平面内,设点 A、P 所对应的复数分别为 ? i 、 cos( 2t ? 当t 由

?
3

) ? i sin( 2t ?
.

?
3

) ( i 为虚数单位) ,则

??? ? ? ? 连续变到 时,向量 AP 所扫过的图形区域的面积是 12 4

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编 号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.若复数 z1 z 2 ? 0 ,则 z1 z 2 ? z1 z 2 是 z 2 ? z1 成立的( (A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 ) (D) 必要不充分条件 )

(C) 充分不必要条件

16. 等差数列 {an } 中, 已知 3a5 ? 7a10 , 且 a1 ? 0 , 则数列 {an } 前 n 项和 S n (n? N *) 中最小的是 ( (A) S 7 或 S8 (B) S12 (C) S13 (D) S14

x 2 ? 6 x ? 12 ( x ? [3,5]) 的值域为( 17.函数 f ( x) ? x?2
(A) [2,3] (B) [2,5] (C) [ ,3]

) (D) [ , 4 ]

7 3 cos B cos C AB ? AC ? 2m ? AO , 18. 已知 O 是△ ABC 外接圆的圆心, A 、B 、C 为△ ABC 的内角, 若 sin C sin B
则 m 的值为 ( (A) 1 ) (B) sin A (C) cos A (D) tan A

7 3

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必 要的步骤 . 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 5 分. 某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设
D M N C G

A

E (理 19 题)

B

施.该设施的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米,BC=1 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的 中点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风) ,MN 是可以沿设施边框上下滑 动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方米)表示成关于 x 的函数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知 a,b,c 分别为△ ABC 三个内角 A 、 B 、 C 所对的边长,a,b,c 成等比数列. (1)求 B 的取值范围; (2)若 x = B,关于 x 的不等式 cos2x?4sin(

?
4

?

x ? x )sin( ? )+m>0 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2 4 2

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知数列 {an } 的各项均为非零实数,且对于任意的正整数 n ,都有
3 3 3 (a1 ? a2 ? ? ? an ) 2 ? a1 ? a2 ? ? ? an .

(1)当 n ? 3 时,求所有满足条件的三项组成的数列 a1 、 a2 、 a3 ; ( 2 )试求出数列 {an } 的任一项 an 与它的前一项 a n ?1 间的递推关系 . 是否存在满足条件的无穷数列

{an } ,使得 a2013 ? ?2012?若存在,求出这样的无穷数列 {an } 的一个通项公式;若不存在,说明理由.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分.

x2 y2 2 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 的两个焦点为 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0) , c 是 a 与 b 的等差中项,其中 a 、 b 、 c a b
都是正数,过点 A(0,?b) 和 B(a,0) 的直线与原点的距离为 (1)求椭圆的方程; (2)点 P 是椭圆上一动点,定点 A1 (0,2) ,求△ F1 PA 1 面积的最大值; (3)已知定点 E (?1,0) ,直线 y ? kx ? t 与椭圆交于 C 、 D 相异两点.证明:对任意的 t ? 0 ,都存在 实数 k ,使得以线段 CD 为直径的圆过 E 点.

3 . 2

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 函数 y ? f ( x) , x ? D ,其中 D ? ?.若对任意 x ? D , f ( x ) ? f ( x) ,则称 y ? f ( x) 在 D 内为对 等函数. (1)指出函数 y ?

x , y ? x3 , y ? 2 x 在其定义域内哪些为对等函数;

(2)试研究对数函数 y ? loga x ( a ? 0 且 a ? 1 )在其定义域内是否是对等函数?若是,请说明理由; 若不是,试给出其定义域的一个非空子集,使 y ? loga x 在所给集合内成为对等函数; (3)若 ?0? ? D , y ? f ( x) 在 D 内为对等函数,试研究 y ? f ( x) ( x ? D )的奇偶性.


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