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四川省望子成龙学校2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题


思法数学 高中版 (高中一年级上)

周末讲义(学生版)

版权所有 翻印必究

高一数学《期末模拟试题》
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.

第Ⅰ卷 ( 选择题,共50分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,

在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 P ? ? x ? R x ? k? ?

? ?

?

? ? 1 ? ? , k ? Z ? , Q ? ? x ? R x ? k? ? , k ? Z ? ,则 P 与 Q 4 2 4 ? ? ?
C. P ? Q ( ) D.4 ) D. P ? Q

的关系是 ( D A. P ? Q 2.函数 f ? x ? ? 2 A.1

) B. Q ? P
?x

?x

2

? x ? R ? 的零点个数为
B.2

?

C. 3

m , (m ? 0) ,则 sin ? ? ( 3.角 ? 的终边上有一点 P(m,5) ,且 cos ? ? 13 5 5 12 12 12 A. B. ? C. 或? D. 13 13 13 13 13 4.已知函数 f ? x ? ? x ? sin x ,集合 A ? x f ? x ? ? 0 ,则 A 的子集有(

?

?

)

A. 1 个 B. 2个 D .8 个 C. 4个 1.2 sin1 5. 设 a ? 1.2 , b ? log sin1 1.2, c ? ? sin1? ,则 a , b , c 的大小关系为( A. a ? b ? c B .b ? a ? c D.a ? c ? b C .b ? c ? a 6. 函数 f ? x ? ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在的区间是( ) A . ? 2,3? B . ? 3, 4 ?

)

C . ? 0,1?

D . ?1, 2 ?

? ? 3? ?cos x, (? ? x ? 0) 7.设 f ( x) 是定义域为 R ,最小正周期为 的函数,若 f ( x) ? ? , 2 2 ? ? sin x, (0 ? x ? ? ) 15? 则 f (? ) ) 等于( 4 2 2 A. 1 B. C. 0 D. ? 2 2
8.同时具有以下性质: “①最小正周期是 ? ;②图象关于直线 x ? 是增函数;④一个对称中心为 (

?

?

3

对称;③在 [ ?

? ?

, ]上 6 3

?? ?? ? ? A . y ? cos ? 2 x ? ? B . y ? sin ? 2 x ? ? 6? 6? ? ? ?? ?? ? ? C . y ? cos ? 2 x ? ? D . y ? sin ? 2 x ? ? 6? 6? ? ? 1? ? 1 9.若函数 f ? x ? ? g ? x ? ? x ) ? ? 是定义域上的奇函数,则 g ( x) 可能是( ? 2 ?1 2 ? A. sin x B. tan x C. cos x D. lg(sin x ? 1 ? sin 2 x )
1

12

, 0) ”的一个函数是 (



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10.函数 f ? x ? ? ? cos x ? ln x 的部分图象大致是(



第Ⅱ卷 ( 非选择题,共100分) 二、填空题:(每小题5分,共25分) 11.函数 y ?

log 0.5 (4 ? x) 的定义域为_____________
? ?

12. 函数 f ? x ? ? A sin ? ? x ? ? ? ? x ? R , A ? 0, ? ? 0, ? ? 图象如图所示,则 f ? x ? ? __

?? ?的
2?

13.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在区间 [1,4] 上是增函数,在区间 [ 2,3] 上的最小值为 ? 1 , 最 大值为 8 ,则 2 f ( 2) ? f ( ?3) ? f (0) ? _____________ 14. 函数 f ( x) 满足对任意的实数 a, b 都有 f ( a ? b) ? f ( a ) ? f (b), 且 f (1) ? 2 , 则

f (2) f (4) f (6) f (2014) ? ? ?? ? ? f (1) f (3) f (5) f (2013)

15.给出下列命题: ①函数 y ? sin x 在第一象限内是增函数;

? 3 ? ? ? ?? , ? 内是减函数,则 ? ? ? ? , 0 ? ; ? 2 ? ? 3 4? 2 x 1 1 2 ③函数 f ( x) ? sin x ? ( ) ? 的最小值是 ? ; 3 2 2
②若 y ? 3 tan(?x) ? 1 在 ? ? ④若 f ( x) ? 2sin ? x(0 ? ? ? 1) 在区间 [0,

?

3

] 上的最大值是 2 ,则 ? ?

3 . 4

其中正确的命题序号是 三、解答题:(共 75 分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

3? 7? ) ? sin( ??) 2 2 16. (本题满分 12 分)已知 f (? ) ? . sin(?? ? ? ) 1 ? 1 5? ? ? ) 的值. (1)若 f (? ) ? ,求 tan ? 的值; (2)若 f ( ? ? ) ? ,求 f ( 3 6 3 6 cos(? ?

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17.(本题满分 12 分)若函数 y ? lg 3 ? 4 x ? x

?

? 的定义域为 M .当 x ? M 时,求函数

f ? x ? ? 2 x ? 2 ? 3 ? 4 x 的值域.

18. (本题满分 12 分)已知函数 y ? 3sin ? 2 x ? (1) 求函数的单调区间、对称轴及对称中心;

? ?

??

?, x ? R . 6?

(2) 怎样由 y ? sin x 的图象得到 y ? 3sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象? 6?

19.(本题满分 12 分)受日月引力作用,海水会发生涨落,在通常情况下,船在涨潮时驶进 航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,某港口水的深度 y (m) 是时间 t (0 ? t ? 24) (单 位: h )的函数,记作 y ? f (t ) ,下面是该港口在某季节每天的水深的数据: T(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 Y(m) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长期观察, y ? f (t ) 曲线可以近似地看做函数 y ? A sin ?t ? B 的图象. (1)根据以上数据画出散点图,求出函数 y ? f (t ) 的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5m 及其以上认为是安全的(船舶停靠时, 船底只需不碰海底即可),某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5m .如果该船在同一天内 安全进出港,问它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港时间)?

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20.(本题满分 13 分)给定函数 f ? x ? ?

x ?1 . x

(1)设 r , s 是方程 f ? x ? ? k ? k ? R ? 的两个实根,且 0 ? r ? s ,求 k 的取值范围

1 1 ? 的值; r s (2) 是否存在正实数 a, b ,使得 f ? x ? 的定义域为 ? a, b ? ,值域为 ? ma, mb ? ,若不 存在,请说明理由,若存在,求出 m 的范围.


21. (本题满分 14 分)如果一个函数的定义域是值域的真子集,那么称这个函数为“思法” 函数. (Ⅰ) 判断正弦函数 y ? sin x 和正切函数 y ? tan x 是否为思法函数,并简述理由; (Ⅱ) 判断幂函数 y ? x
?

(Ⅲ) 已知 f t ? x ? ? ln x 2 ? 2 x ? t 是思法函数,且不等式 2t ?1 ? 3t ?1 ? k 2t ? 3t 对所有 的 f t ? x ? 都成立,求实数 k 的取值范围.

?

?? ? Q ? 是否为思法函数,并证明你的结论;

?

?

?

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高一数学《期末模拟试题》 参考答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11. ?3, 4 ? ; 三、解答题 12. 2sin(? x ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

D

C

A

B

C

A

B

D

C

A

?
6

);

13. ? 10 ;

14. 2014;

15. ②③④.

(? sin ? ) ? (? cos ? ) 1 ? cos ? , f (? ) ? cos ? ? . sin ? 3 sin ? 2 2 ?2 2; 当 ? 为第一象限角时, sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? , tan ? ? cos ? 3 sin ? 2 2 ? ?2 2 . 当 ? 为第四象限角时, sin ? ? ? 1 ? cos 2 ? ? ? , tan ? ? cos ? 3 ? ? 1 (2) f ( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? , 6 6 3 5? 5? ? ? 1 f ( ? ? ) ? cos( ? ? ) ? cos[? ? ( ? ? )] ? ? cos( ? ? ) ? ? . 6 6 6 6 3
16.解: (1) f (? ) ? 17.解: 3 ? 4 x ? x ? 0 ? x ? 1 或 x ? 3 ,? M ? ? ??,1? ? ? 3, ?? ? .
2

f ? x ? ? 4 ? 2 x ? 3 ? ? 2 x ? .令 2 x ? t ,∵ x ? M ,∴ t ? 8 或 0 ? t ? 2 .
2

? 2? 4 ∴ y ? f ? x ? ? g ? t ? ? 4t ? 3t ? ?3 ? t ? ? ? ( t ? 8 或 0 ? t ? 2 ). ? 3? 3
2

2

当 0 ? t ? 2 时, y ? ? ?4, ? , 当 t ? 8 时, y ? ? ??, ?160 ? , 3

? ?

4? ?

综上可知: f ? x ? 的最值域是 ? ??, ?160 ? ? ? ?4, ? . 3

? ?

4? ?

18.解:(1)令 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k ? ?

?
2

?k ? Z ? ,

?k ? Z ? ; 3? ? ? ? 3? ? 5? ? k ? ? , k ? ? 令 2k ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? ? k ? Z ? ,得减区间 ? ?k ? Z ? . ? 2 6 2 3 6 ? ? ? 1 ? ? ? ?1 对称轴为: x ? k? ? ? k ? Z ? ;对称中心为: ? k? ? ,0? ?k ? Z ? . 2 3 12 ? ?2
得增区间 ? k? ?

? ?

?

6

, k? ?

??

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?? ? ? 的图象; 6 6? ? ?? 1 ? ②把 y ? sin ? x ? ? 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,而纵坐标不变, 6? 2 ? ?? ? 得 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象; 6? ? ?? ? ③把 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍,而横坐标不变, 6? ? ?? ? 得 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象. 6? ? 1 法 2:①把 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍,而纵坐标不变, 2 得 y ? sin 2 x 的图象;
(2) 法 1:①把 y ? sin x 的图象向右平移 个单位,得 y ? sin ? x ? ②把 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ③把 y ? sin ? 2 x ?

?

?
12

个单位,得 y ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的图象; 6?

? 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍,而横坐标不变, 6? ?? ? 得 y ? 3sin ? 2 x ? ? 的图象. 6? ?
?
6 t ? 10(0 ? t ? 24)

? ?

??

19.解:(1)散点图如下右图, 周期 T=12,振幅 A=3,B=10.? y ? 3 sin

(2)由题意,该船进出港时 水深应不小于 5 ? 6.5 ? 11 .5m ,

6 5? ? 2k? ? ? t ? 2k? ? , (k ? Z ),? 0 ? t ? 24, 则 12k ? 1 ? t ? 12k ? 5, (k ? Z ) ,在同一天内 6 6 6 取 k ? 0 或 1,则 1 ? t ? 5 或 13 ? t ? 17 。所以该船最早能在凌晨 1 时进港,最晚下午 17 时 出港,在港口最多停留 16 小时.

即 3 sin

?

?

6

t ? 10 ? 11 .5 ? sin

?

t?

?

1 2

6

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? 1 1 ? ? x ? 0或x ? 1? ? ? x 20.解: (1) f ? x ? ? ? ,其定义域为 ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? ;其图象如下. ? 1 ? 1? 0 ? x ? 1? ? ?x

由 f ? x ? 的图象知: k ? ? 0,1? ,且 0 ? r ? 1 ? s , f ? r ? ? f ? s ? ? k 得

1 1 1 1 1 1 ?1 ? 1 ? ? k ? ? 1 ? k, ? 1 ? k ? ? ? 2 . r s r s r s 1 1 ? k ? ? 0,1? , ? ? 2. r s (2) 假设存在满足条件的 a, b ,则 0 ? a ? b ,且 m ? 0 . 1 ? f ? a ? ? ? 1 ? mb ? ? a ①当 0 ? a ? b ? 1 时, ? ? a ? b ,矛盾; ? f ? b ? ? 1 ? 1 ? ma ? b ? ②当 0 ? a ? 1 ? b 时, f ?1? ? 0 ? ? ma, mb ? ,故不合题意; 1 ? f ? a ? ? 1 ? ? ma ? ? a ③当 1 ? a ? b 时, ? ? a, b 是方程 mx 2 ? x ? 1 ? 0 的两根. ? f ? b ? ? 1 ? 1 ? mb ? b ? ? ? ? ? 1 ? 4m ? 0 ? ? 1? 2 令 g ? x ? ? mx ? x ? 1 ,则 ? g ?1? ? m ? 0 ? m ? ? 0, ? ? 4? ? 1 ? ?1 ? 2m ? 1? 综上知:存在满足条件的 a, b , m 的范围是 ? 0, ? . ? 4?

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21.解:(Ⅰ) ? 正弦函数 y ? sin x 的定义域是 R ,值域 ? ?1,1? ;

? y ? sin x 不是思法函数;

? ? ? ? 正切函数 y ? tan x 的定义域是 ? x ? R x ? k? ? , k ? Z ? ,值域 R , 2 ? ? ? 正切函数 y ? tan x 是思法函数.
(Ⅱ) 幂函数 y ? x
?

?? ? Q ? 不是思法函数.证明如下:
0

⑴当 ? ? 0 时,显然 y ? x 不是思法函数;

m (其中 m , n 是互质的正整数). n ? ①若 n 为偶数,则 m 为奇数, y ? x 的定义域和值域都是 ? 0, ?? ? ,不是思法函数;
⑵当 ? ? 0 时,设 ? ? ②若 n 为奇数,当 m 为奇数时, y ? x 的定义域和值域都是 R ,不是思法函数; 当 m 为偶数时, y ? x 的定义域 R ,值域是 ? 0, ?? ? ,不是思法函数.
? ?

⑶当 ? ? 0 时,设 ? ? ?

①若 n 为偶数,则 m 为奇数, y ? x 的定义域和值域都是 ? 0, ?? ? ,不是思法函数;
?

m n

(其中 m , n 是互质的正整数).

②若 n 为奇数:

当 m 为奇数时, y ? x 的定义域和值域都是 ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? ,不是思法函数;
?

当 m 为偶数时, y ? x 的定义域 ? ??, 0 ? ? ? 0, ?? ? ,值域是 ? 0, ?? ? ,不是思法函数.
?

综上所述;幂函数 y ? x (Ⅲ)

?? ? Q ? 不是思法函数. 2 2 令 y ? ln u , u ? x ? 2 x ? t .则 u ? ? x ? 1? ? t ? 1
?

⑴当 ? ? 4 ? 4t ? 0 ,即 t ? 1 时,对一切 x ? R ,恒有 u ? t ? 1 ? 0 .

⑵当 ? ? 4 ? 4t ? 0 ,即 t ? 1 时, u ? x ? 2 x ? t 能取 ? 0, ?? ? 中的一切值,故 f t ? x ? 的值
2

故 f t ? x ? 的定义域为 R ,值域为 ? ?ln ? t ? 1? , ?? , ft ? x ? 不是思法函数;

?

域为 R 。定义域不是 R , f t ? x ? 是思法函数.因此, f t ? x ? 是思法函数 ? t ? ? ??,1? . 于是 2
t ?1

? 3t ?1 ? k ? 2t ? 3t ? ? k ?

2t ?1 ? 3t ?1 对所有 t ? ? ??,1? 都成立 2t ? 3t

2t ?1 ? 3t ?1 令 g ?t ? ? , t ? ? ??,1? ,则 k ? g ? t ? max . 2t ? 3t t ?2? 2? ? ? 3 1 3 在 ? ??,1? 上是增函数, ? g ?t ? ? ? ? ? 2? t t ?2? ?2? ? ? ?1 ? ? ?1 ?3? ?3? 13 ?13 ? 故 g ? x ? max ? g ?1? ? .所以 k ? ? , ?? ? . 5 ?5 ?

8


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