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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):2.9函数与方程


课时跟踪检测(十二) 函数与方程

1. (2011· 新课标全国卷)在下列区间中, 函数 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为( 1 A.?-4,0? ? ? 1 1 C.?4,2? ? ? 1 B.?0,4? ? ? 1 3 D.?2,4? ? ? )

)

1 2.函数 y=?2?|x|-m 有两个零点,

则 m 的取值范围是( ? ? A.[1,+∞) C.(0,1) B.[0,1] D.[-1,0)

3.(2012· 长沙模拟)已知函数 f(x)的图像是连续不断的,x,f(x)的对应关系如下表: x f(x) 1 136.13 2 15.552 ) 3 -3.92 4 10.88 5 -52.488 6 -232.064

则函数 f(x)存在零点的区间有( A.区间[1,2]和[2,3] B.区间[2,3]和[3,4] C.区间[2,3]、[3,4]和[4,5] D.区间[3,4]、[4,5]和[5,6]

4.已知 a 是函数 f(x)=2x-log 1 x 的零点,若 0<x0<a,则 f(x0)的值满足(
2

)

A.f(x0)=0 C.f(x0)<0 定

B.f(x0)>0 D.f(x0)的符号不确

5.(2012· 北京西城二模)执行如图所示的程序框图,若输入如下 四个函数: ①y=2x; ②y=-2x; ③f(x)=x+x 1;④f(x)=x-x 1. 则输出函数的序号为( A.① C.③ ) B.② D.④
- -

2 6. (2012· 北京朝阳统考)函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内, 则实数 a 的取值 x 范围是( ) B.(1,2) D.(0,2)
3

A.(1,3) C.(0,3)

7.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0 可得其

中一个零点 x0∈______,第二次应计算________. 8.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 9.(2012· 南通质检)已知函数 f(x)=x2+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内,则实数 k 的取 值范围是________. x 1 10.已知函数 f(x)=x3-x2+ + . 2 4 1 证明:存在 x0∈?0,2?,使 f(x0)=x0. ? ?

11.若方程 x2-4x+3+m=0 在 x∈(0,3)时有唯一实根,求实数 m 的取值范围.

12.m 为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4. (1)有且仅有一个零点; (2)有两个零点且均比-1 大.

?1,x>0, ? 1.(2013· 豫西五校联考)已知符号函数 sgn(x)=?0,x=0, ?-1,x<0, ?
ln2x 的零点个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

则函数 f(x)=sgn(ln x)-

?2x,x≤0, ? 2.已知 f(x)=? 关于 x 的方程 f 2(x)-af(x)=0. ? ?log2x,x>0,

(1)若 a=1,则方程有________个实数根; (2)若方程恰有 3 个不同的实数解,则实数 a 的取值范围为________. 3.已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c. (1)若 a>b>c,且 f(1)=0,试证明 f(x)必有两个零点; 1 (2)若对 x1,x2∈R,且 x1<x2,f(x1)≠f(x2),方程 f(x)= [f(x1)+f(x2)]有两个不等实根,证 2 明必有一个实根属于(x1,x2).





课时跟踪检测(十二) A级 1 1 1 1 1.选 C 因为 f?4?=e +4× -3=e -2<0, ? ? 4 4 4 1 1 1 1 f?2?=e +4× -3=e -1>0, ? ? 2 2 2 1 1 所以 f(x)=ex+4x-3 的零点所在的区间为?4,2?. ? ? 1 2. C 在同一直角坐标系内, 选 画出 y1=?2?|x|和 y2=m 的图像, ? ? 如图所示,由于函数有两个零点,故 0<m<1. 3.选 C 因为 f(2)>0,f(3)<0,f(4)>0,f(5)<0,所以在区间[2,3], [3,4],[4,5]内有零点. 4.选 C 函数 f(x)=2x+log2x 在(0,+∞)上是单调递增的,所以 f(x0)<f(a)=0. 5.选 D 由图可知输出结果为存在零点的函数,因 2x>0,所以 y=2x 没有零点,同样 y =-2x 也没有零点;f(x)=x+x 1,当 x>0 时,f(x)≥2,当 x<0 时,f(x)≤-2,故 f(x)没有零 点;令 f(x)=x-x 1=0 得 x=± 1,故选 D. 6. C 由条件可知 f(1)f(2)<0, 选 即(2-2-a)(4-1-a)<0, a(a-3)<0, 即 解之得 0<a<3. 7. 解析: 因为 f(x)=x3+3x-1 是 R 上的连续函数, f(0)<0, 且 f(0.5)>0, f(x)在 x∈(0,0.5) 则 上存在零点,且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号. 答案:(0,0.5) f(0.25) 8.解析:函数 f(x)的零点个数就是函数 y=ax 与函数 y=x+a 的图像交点的个数,易知 当 a>1 时,两图像有两个交点; 当 0<a<1 时,两图像有一个交点. 答案:(1,+∞) 9.解析:因为 Δ=(1-k)2+4k=(1+k)2≥0 对一切 k∈R 恒成立,又 k=-1 时,f(x)的 零点 x=-1?(2,3), 故要使函数 f(x)=x2+(1-k)x-k 的一个零点在(2,3)内, 则必有 f(2)· f(3)<0, 即 2<k<3. 答案:(2,3) 10.证明:令 g(x)=f(x)-x. 1 1 1 1 1 ∵g(0)= ,g?2?=f?2?- =- , 4 ? ? ? ? 2 8 1 ∴g(0)·?2?<0. g? ?
- -

1 又函数 g(x)在?0,2?上连续, ? ? 1 ∴存在 x0∈?0,2?,使 g(x0)=0, ? ? 即 f(x0)=x0. 11.解:原方程可化为-(x-2)2+1=m(0<x<3), 设 y1=-(x-2)2+1(0<x<3),y2=m, 在同一坐标系中画出它们的图像(如图所示). 由原方程在(0,3)内有唯一解,知 y1 与 y2 的图像只有一个公共点, 可得 m 的取值范围是(-3,0]∪{1}. 12.解:(1)若函数 f(x)=x2+2mx+3m+4 有且仅有一个零点, 则等价于 Δ=4m2-4(3m+4)=0, 即 4m2-12m-16=0,即 m2-3m-4=0, 解得 m=4 或 m=-1. (2)设两零点分别为 x1,x2,且 x1>-1,x2>-1,x1≠x2. 则 x1+x2=-2m,x1·2=3m+4, x

?Δ=4m -4?3m+4?>0, ? 故只需??x1+1?+?x2+1?>0, ??x +1??x +1?>0 ? 1 2 ?m -3m-4>0, ? ??-2m+2>0, ?3m+4+?-2m?+1>0 ?
2

2

?m<-1或m>4, ? ??m<1, ?m>-5. ?

故 m 的取值范围是{m|-5<m<-1}. B级 1.选 B 依题意得,当 x>1 时,ln x>0,sgn(ln x)=1,f(x)=sgn(ln x)-ln2x=1-ln2x, 1 令 1-ln2x=0,得 x=e 或 x= ,结合 x>1,得 x=e;当 x=1 时,ln x=0,sgn(ln x)=0,f(x) e =-ln2x,令-ln2x=0,得 x=1,符合;当 0<x<1 时,ln x<0,sgn(ln x)=-1,f(x)=-1- ln2x.令-1-ln2x=0,得 ln2x=-1,此时无解.因此,函数 f(x)=sgn(ln x)-ln2x 的零点个数 为 2.
? x ?2 ,x≤0, 2.解析:由方程 f2(x)-af(x)=0 可得 f(x)=0 或 f(x)=a,结合 f(x)=? 的图 ?log2x,x>0 ?

像可知,a=1 时,方程有 3 个实数根.若方程恰有 3 个不同的实数解,则 0<a≤1. 答案:3 (0,1]

3.证明:(1)∵f(1)=0,∴a+b+c=0,

又∵a>b>c,∴a>0,c<0,即 ac<0. 又∵Δ=b2-4ac≥-4ac>0,∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根, ∴函数 f(x)有两个零点. f?x1?-f?x2? 1 1 (2)令 g(x)=f(x)- [f(x1)+f(x2)],则 g(x1)=f(x1)- [f(x1)+f(x2)]= , 2 2 2 f?x2?-f?x1? 1 g(x2)=f(x2)- [f(x1)+f(x2)]= , 2 2 f?x1?-f?x2? f?x2?-f?x1? 1 ∴g(x1)· 2)= g(x · =- [f(x1)-f(x2)]2. 2 2 4 ∵f(x1)≠f(x2),∴g(x1)· 2)<0. g(x ∴g(x)=0 在(x1,x2)内必有一实根. 1 即 f(x)= [f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)内必有一实根. 2


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