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求圆的切线方程的几种方法


求圆的切线方程的几种方法
四川省冕宁中学 谢玉

在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题:求过已知 圆上一点的切线方程,除了用斜率和向量的方法之外还有几种方法,现将这些方 法归纳整理,以供参考。 例:已知圆的方程是 x2 + y2 = r2,求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线的方程。
解法一: 解法一:利用斜率求解

如图1,设切线的斜率为 k,则 k k OM = 1 . ∵ k OM = y0 x ,∴ k = 0 x0 y0 x0 ( x x0 ) y0

经过点 M 的切线方程是: y y0 =

2 2 整理得 x0 x + y 0 y = x0 + y 0 . 2 2 因为点 M 在圆上,所以 x0 + y 0 = r 2 .

所求的直线方程为: x0 x + y 0 y = r 2 . 当点 M 在坐标轴上时上面方程 同样适用。

图1

解法二: 解法二:利用向量求解
如图2,设切线上的任意一点p的坐标( x, y ) ∵ OM ⊥ PM, = x0 , y0 ), PM = ( x0 x, y0 y ) OM ( ∴ OM PM = 0 ∴ x0 × x0 x) y0 × ( y0 y ) = 0 ( +
2 2 整理得:x0 x + y0 y = x0 + y0 . 2 2 因为点M在圆上,所以x0 + y0 = r 2 .

所求的直线方程为:x0 x + y0 y = r 2 .

(这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在) 图2 解法三: 解法三:利用几何特征求解
如图 2,设直线上不同于 M ( x 0 , y 0 )的一点 P ( x , y ) ∵ OM ⊥ PM ∴ OM
2 2

+ PM
2

2

= OP

2

∴ x 0 + y 0 + ( x x0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 = x 2 + y 2
2 2 整理得: x0 x + y 0 y = x 0 + y 0 . 2 2 因为点 M 在圆上,所以 x0 + y 0 = r 2 .

所求的直线方程为: x0 x + y 0 y = r 2 . 当 P 和 M 重合时上面方程同样适 用。

解法四: 解法四:用待定系数法求解 1、 利用点到直线的距离求解

设所求直线方程的斜率为 k , 则直线方程为: y y0 = k ( x x0 ),即:kx y + y0 kx0 = 0   ⑴ 原点O(0,0)到切线的距离等于半径 y0 kx0 1+ k 2
2

= r    
2 2

化简整理得: 2 x0 )k 2 + 2 x0 y0 k + r 2 y0 = 0  ⑵ (r 因为x0 + y0 = r 2
2

所以⑵式可化为:y0 k 2 + 2 x0 y0 k + x0 = 0
2 2

解得:k =

x0   代入⑴式 y0

2 2 整理得x0 x + y0 y = x0 + y0 . 2 2 因为点M在圆上,所以x0 + y0 = r 2 .

所求的直线方程为:x0 x + y0 y = r 2 . 当斜率不存在时上面方程同样适用。
2、 利用直线与圆的位置关系求解:

设所求直线方程的斜率为 k , 则直线方程为: y y0 = k ( x x0 ),即:kx y + y0 kx0 = 0   ( ) 1 kx y + y0 kx0 = 0 由 2   消去y得 2 2 x + y = r      (1 + k 2 ) x 2 + 2k ( y0 kx0 ) x + y0 + k 2 x0 2ky0 x0 r 2 = 0
2 2

= 4k 2 ( y0 kx0 ) 2 4(1 + k 2 )( y0 + k 2 x0 2ky0 x0 r 2 ) = 0
2 2

整理得: 2 x0 )k 2 + 2 x0 y0 k + r 2 y0 = 0   ⑵ (r
2 2

因为x0 + y0 = r 2
2 2

所以⑵式可化为:y0 k 2 + 2 x0 y0 k + x0 = 0
2 2

解得:k =

x0   代入⑴式 y0

2 2 整理得x0 x + y0 y = x0 + y0 . 2 2 因为点M在圆上,所以x0 + y0 = r 2 .

所求的直线方程为:x0 x + y0 y = r 2 . 当斜率不存在时上面方程同样适用。
这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法,若圆心不在原点,也可以用这些方 法求解。 同样一道题,思路不同,方法不同,难易程度不同。显然在以上的几种解法中, 用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。实际上在圆这一章,很多时候用几何特 征求解圆的方程和直线方程是教简单的方法,同学们下来可以尝试。


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