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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷二(有答案)


2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷二
一、填空题(64 分)
B ? {?1, 3, 5, 8} ,则集合 A ?

1.设集合 A ? {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 . 2.函数 f ( x) ?
x2 ? 1 的值域为 x ?1

. . .

3.设 a, b 为正实数,

1 1 ? ? 2 2 , (a ? b) 2 ? 4(ab) 3 ,则 loga b ? a b

4.如果 cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? ) , ? ? [0,2? ) ,那么 ? 的取值范围是

5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每 个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数 为 . (用数字作答) 6.在四面体 ABCD中,已知 ?ADB? ?BDC? ?CDA? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则 四面体 ABCD的外接球的半径为 . 7. 直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与抛物线 y 2 ? 4 x 交于 A, B 两点, 为抛物线上的一点, ACB ? 90? , C ? 则点 C 的坐标为 8. 已知 a n ? C n ? 3 6 200 .

? ?

200 ? n

? 1 ? ? (n ? 1,2, ?,95) , 则数列 {a n } 中整数项的个数为 ?? ? ? ? 2?

n



二、解答题(56 分)
9 . 16 分 ) 设 函 数 f ( x) ?| lg(x ? 1) | , 实 数 a, b(a ? b) 满 足 f (a) ? f (? (
f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a, b 的值.

b ?1 ) , b?2

10. (20 分)已知数列 {a n } 满足: a1 ? 2t ? 3 (t ? R 且 t ? ?1) ,
a n ?1 ? (2t n ?1 ? 3)a n ? 2(t ? 1)t n ? 1 (n ? N * ) . a n ? 2t n ? 1

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若 t ? 0 ,试比较 a n ?1 与 a n 的大小.

1 x2 y 2 11. (20 分)作斜率为 的直线 l 与椭圆 C : ? ? 1 交于 A, B 两点(如图所示) ,且 3 36 4

P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方.

y P O A x B

(1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB 的面积.

2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷二
参考答案
1. {?3,0, 2,6}. 提示:显然,在 A 的所有三元子集中,每个元素均出现了 3 次,所以
3(a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ) ? (?1) ? 3 ? 5 ? 8 ? 15 ,

故 a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? 5 ,于是集合 A 的四个元素分别为 5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0, 5-8=-3,因此,集合 A ? {?3, 0, 2, 6} . 2. (??, ?

2 ? ? ? ] ? (1, ??) . 提示:设 x ? tan? ,? ? ? ? ,且 ? ? ,则 4 2 2 2
1 1 cos? ? f ( x) ? ? tan? ? 1 sin? ? cos? 1 2 sin( ? ) ? 4

?



1 2 ? ] ? (1,??) . 设 u ? 2 sin( ? ) ,则 ? 2 ? u ? 1 ,且 u ? 0 ,所以 f ( x) ? ? (??,? ? u 2 4

3.-1. 提示:由

1 1 ? ? 2 2 ,得 a ? b ? 2 2ab .又 a b

(a ? b) 2 ? 4ab ? (a ? b) 2 ? 4ab ? 4(ab) 3 ? 4 ? 2 ab? (ab) 3 ? 8(ab) 2 ,


a ? b ? 2 2ab .



于是
a ? b ? 2 2ab .



? ? ?a ? 2 ? 1, ?a ? 2 ? 1, 再由不等式①中等号成立的条件,得 ab ? 1 .与②联立解得 ? 或? ?b ? 2 ? 1, ?b ? 2 ? 1, ? ?

故 loga b ? ?1 . 4. ?
? ? 5? ? , ? . 提示:不等式 ?4 4 ?

cos5 ? ? sin5 ? ? 7(sin3 ? ? cos3 ? )

等价于

1 1 sin3 ? ? sin5 ? ? cos3 ? ? cos5 ? . 7 7

又 f ( x) ? x 3 ?

1 5 x 是 (??,??) 上的增函数,所以 sin ? ? cos ? ,故 7
2k? ?

?
4

? ? ? 2k? ?

5? (k ?Z). 4

因为 ? ? [0,2? ) ,所以 ? 的取值范围是 ?

? ? 5? ? , ?. ?4 4 ?

5.15000. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形:
1 (1)有一个项目有 3 人参加,共有 C 73 ? 5!?C 5 ? 5! ? 3600种方案;

1 (2)有两个项目各有 2 人参加,共有 (C72 ? C52 ) ? 5!?C52 ? 5! ? 11400种方案; 2 所以满足题设要求的方案数为 3600?11400? 15000.

6. 3 . 提示:设四面体 ABCD的外接球球心为 O ,则 O 在过△ ABD的外心 N 且垂直 于平面 ABD的垂线上. 由题设知, ABD是正三角形, △ 则点 N 为△ ABD的中心. P, M 分 设 别为 AB, CD 的中点,则 N 在 DP 上,且 ON ? DP , OM ? CD . 因 为 ?CDA? ?CDB ? ?ADB? 60? , 设 CD 与 平 面 A B D 成 角 为 ? , 可 求 得 所
c o? ? s 1 3 ,s i ? ? n 2 3
1 2 2 3 CD ? 1, DN ? ? DP ? ? ?3 ? 3 . 2 3 3 2 1 3



在△ DMN中, DM ? 由余弦定理得

C M O D N A P B

MN 2 ? 12 ? ( 3 ) 2 ? 2 ?1 ? 3 ?

?2,

故 MN ? 2 .四边形 DMON的外接圆的直径
OD ? MN ? sin? 2 2 3 ? 3.

故球 O 的半径 R ? 3 . 7 . (1,?2) 或 (9,?6) . 提 示 : 设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), C (t 2 ,2t ) , 由 ?
? x ? 2 y ? 1 ? 0, 得 2 ? y ? 4 x,

y 2 ? 8 y ? 4 ? 0 ,则 y1 ? y 2 ? 8 , y1 ? y 2 ? ?4 .

又 x1 ? 2 y1 ? 1, x 2 ? 2 y 2 ? 1 ,所以

x1 ? x 2 ? 2( y1 ? y 2 ) ? 2 ? 18 , x1 ? x 2 ? 4 y1 ? y 2 ? 2( y1 ? y 2 ) ? 1 ? 1 .

因为 ?ACB ? 90? ,所以 CA ?CB ? 0 ,即有
(t 2 ? x1 )(t 2 ? x 2 ) ? (2t ? y1 )(2t ? y 2 ) ? 0 ,


t 4 ? ( x1 ? x 2 )t 2 ? x1 ? x 2 ? 4t 2 ? 2( y1 ? y 2 )t ? y1 ? y 2 ? 0 ,


t 4 ? 14t 2 ? 16t ? 3 ? 0 ,


(t 2 ? 4t ? 3)(t 2 ? 4t ? 1) ? 0 .

显然 t 2 ? 4t ? 1 ? 0 , 否则 t 2 ? 2 ? 2t ? 1 ? 0 , 则点 C 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上, 从而点 C 与点 A 或点 B 重合.所以 t 2 ? 4t ? 3 ? 0 ,解得 t 1 ? ?1, t 2 ? ?3 . 故所求点 C 的坐标为 (1,?2) 或 (9,?6) .
200 ? n 3 400 ? 5 n 6

8.15. 提示: a n ? C n ?3 200

?2



要使 a n (1 ? n ? 95) 为整数,必有

200? n 400? 5n 均为整数,从而 6 | n ? 4 . , 3 6
200? n 400? 5n 和 均为非负整数,所 3 6

当 n ? 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80 时, 以 a n 为整数,共有 14 个. 当 n ? 86 时, a 86 ? C 86 ?3 38 ? 2 ?5 ,在 C 86 ? 200 200

200 ! 中, 200 中因数 2 的个数为 ! 86!?114 !

? 200? ? 200? ? 200? ? 200? ? 200? ? 200? ? 200? ? 2 ? ? ? 2 2 ? ? ? 2 3 ? ? ? 2 4 ? ? ? 2 5 ? ? ? 2 6 ? ? ? 2 7 ? ? 197 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

同理可计算得 86 中因数 2 的个数为 82, 114 中因数 2 的个数为 110,所以 C 86 中因数 2 的 ! ! 200 个数为 197? 82?110? 5 ,故 a 86 是整数. 当 n ? 92 时, a 92 ? C 92 ?3 36 ? 2 ?10 ,在 C 92 ? 200 200
200 ! 中,同样可求得 92 中因数 2 的个数为 ! 92!?108 !

88, 108 中因数 2 的个数为 105,故 C 86 中因数 2 的个数为 197? 88?105? 4 ,故 a 92 不是整数. ! 200 因此,整数项的个数为 14?1 ? 15.

9.因为 f (a) ? f (?

b ?1 ) ,所以 b?2 | lg(a ? 1) |?| lg(?

b ?1 1 ? 1) |?| lg( ) |?| lg(b ? 2) | , b?2 b?2 所以 a ? 1 ? b ? 2 或 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 ,又因为 a ? b ,所以 a ? 1 ? b ? 2 ,所以 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 .

又由 f (a) ?| lg(a ? 1) | 有意义知 0 ? a ?1,从而
0 ? a ?1 ? b ?1 ? b ? 2 ,

于是
0 ? a ?1 ? 1 ? b ? 2 .

所以
(10a ? 6b ? 21) ? 1 ? 10(a ? 1) ? 6(b ? 2) ? 6(b ? 2) ? 10 ? 1. b?2

从而
f (10a ? 6b ? 21) ?| lg[6(b ? 2) ? 10 10 ] |? lg[6(b ? 2) ? ]. b?2 b?2


f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,

所以
lg[6(b ? 2) ? 10 ] ? 4 lg 2 , b?2

故 6(b ? 2) ?

1 10 . ? 16 .解得 b ? ? 或 b ? ? 1 (舍去) 3 b?2

1 2 把 b ? ? 代入 (a ? 1)(b ? 2) ? 1 解得 a ? ? . 3 5

所以 a ? ?

2 1 ,b ? ? . 5 3

10. (1)由原式变形得
a n ?1 ? 2(t n ?1 ? 1)(a n ? 1) ?1 , a n ? 2t n ? 1


2(a n ? 1) n a n ?1 ? 1 2(a n ? 1) ? ? t ?1 . n ?1 n t ? 1 a n ? 2t ? 1 a n ? 1 ?2 t n ?1

记 又

2b n an ?1 a ? 1 2t ? 2 , b1 ? 1 ? bn ,则 b n ?1 ? ? ?2. n bn ? 2 t ?1 t ?1 t ?1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ,从而有 bn ?1 bn 2 b1 2 1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? ? , bn b1 2 2



an ?1 2 2(t n ? 1) ? ,于是有 a n ? ?1 . t n ?1 n n

(2) a n ?1 ? a n ?
? ? ?

2(t n ?1 ?1) 2(t n ?1) ? n ?1 n

2(t ? 1) ?n(1 ? t ? ? ? t n ?1 ? t n ) ? (n ? 1)(1 ? t ? ? ? t n ?1 )? n(n ? 1) 2(t ? 1) ?nt n ? (1 ? t ? ? ? t n ?1 )? ? 2(t ? 1) ?(t n ? 1) ? (t n ? t ) ? ? ? (t n ? t n ?1 )? n(n ? 1) n(n ? 1) 2(t ? 1) 2 n ?1 n ? 2 ?(t ? t ? ? ? 1) ? t (t n ? 2 ? t n ?3 ? ? ? 1) ? ? ? t n ?1 ? , n(n ? 1)

显然在 t ? 0 (t ? 1) 时恒有 a n ?1 ? a n ? 0 ,故 a n ?1 ? a n . 11. (1)设直线 l : y ? 将y?
1 x ? m , A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) . 3

1 x2 y 2 x ? m 代入 ? ? 1 中,化简整理得 3 36 4
2 x 2 ? 6mx ? 9m 2 ? 36 ? 0 .

于是有 x1 ? x 2 ? ?3m, x1 x 2 ?

y ? 2 y ? 2 9m 2 ? 36 , k PA ? 1 . 则 , k PB ? 2 2 x1 ? 3 2 x2 ? 3 2

k PA ? k PB ?

y1 ? 2 y ? 2 ? 2 x1 ? 3 2 x2 ? 3 2

( y ? 2)( x2 ? 3 2) ? ( y2 ? 2)( x1 ? 3 2) ? 1 ( x1 ? 3 2)( x2 ? 3 2)
上式中,
1 1 分子 ? ( x1 ? m ? 2 )( x 2 ? 3 2 ) ? ( x 2 ? m ? 2 )( x1 ? 3 2 ) 3 3 ? ? 2 x1 x 2 ? (m ? 2 2 )( x1 ? x 2 ) ? 6 2 (m ? 2 ) 3 2 9m 2 ? 36 ? ? (m ? 2 2 )(?3m) ? 6 2 (m ? 2 ) 3 2



? 3m 2 ? 12 ? 3m 2 ? 6 2m ? 6 2m ? 12 ? 0 ,

从而, k PA ? k PB ? 0 . 又 P 在直线 l 的左上方,因此, ?APB的角平分线是平行于 y 轴的直线,所以△ PAB 的 内切圆的圆心在直线 x ? 3 2 上. (2)若 ?APB ? 60? 时,结合(1)的结论可知 k PA ? 3, k PB ? ? 3 .

直线 PA 的方程为: y ? 2 ? 3 ( x ? 3 2 ) ,代入

x2 y 2 ? ? 1 中,消去 y 得 36 4

14x 2 ? 9 6 (1 ? 3 3 ) x ? 18(13 ? 3 3 ) ? 0 .

它的两根分别是 x 1 和 3 2 ,所以 x1 ? 3 2 ?

18(13 ? 3 3 ) 3 2 (13 ? 3 3 ) ,即 x1 ? .所以 14 14
3 2 (3 3 ? 1) . 7

| PA |? 1 ? ( 3 ) 2 ? | x1 ? 3 2 |?

同理可求得 | PB |? 所以

3 2 (3 3 ? 1) . 7

1 S?PAB ? ? | PA | ? | PB | ? sin 60? 2 1 3 2(3 3 ? 1) 3 2(3 3 ? 1) 3 . ? ? ? ? 2 7 7 2 ? 117 3 . 49


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