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高中数学必修一:1.1.3《集合的基本运算》(新人教版A)


§1.3 集合的基本运算

知识难点回顾
元素与集合关系:属于;不属于 a {a,b} ; 集合与集合关系:包含;真包含;相等 {a} {a,b} ; 子集和真子集:能判断是真子集或着两集合 相等的,我们要填真包含或者相等 空集是任何非空集合的真子集,是任何集合的 子集

课题引入
? 我们知道,实数有加法运算,类比

实数的
加法运算,集合是否也可以“相加”呢? ? 考察下列各个集合,你能说出集合C与集合 A,B之间的关系吗? (1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1, 2,3,4,5,6}; (2)A={x|x是有理数},B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}。

并集
? 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的
元素组成的集合,称为集合A与B的并集 (union set),记作A∪B(读作“A并B”) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 B 可用Venn图1.1-2表示:
A

A∪B

例题1
? 设A={4,5,9,7},B={3,5,6,8},求
A∪B。 解: A∪B={3,4,5,6,7,8,9} 思考:为什么A∪B中元素5只出现一次,为什 么不能A∪B={3,4,5,5,6,7,8,9}?

例题2
? 设集合A={x|-2<x<3},集合B={x|1<x<4},
求A∪B。 解: A∪B= {x|-2<x<3}∪ {x|1<x<4} ={x|-2<x<4}。 我们还可以在数轴上表示例2中的并集A∪B, 如图1.1-3。
-2 -1 0 1 2 3 4 x

思考1
下列关系式成立吗? (1)A∪A=A; (2)A∪ =A. 适度加强:A={1,2,3},B={2,4,3,5}, C={1,3,6},求A∪B∪C 解:先求A∪B={1,2,3} ∪ {2,4,3,5} ={1,2,3,4,5} 再求A∪B∪C={1,2,3,4,5}∪{1,3,6} ={1,2,3,4,5,6}

思考2
? 在学习了并集之后,我们知道两集合的并集包含了两集合
的所有元素。那么我们能否找到找出某两集合中相同的元 素组成一个集合?是否对任意两集合我们都能找到相同的 元素? ? 考察下面的问题,找出由集合A,B与集合C的共同元素所 组成的集合? (1)A={2,5,8,10},B={3,5,8,12},C={3,7}; A和B中相同的元素组成的集合为{5,8} A和C中相同的元素不存在 B和C中相同的元素组成的集合为{3}

交集
(2)A={a,b,c,d},B={a,c,d,e},C={a,c,d},请问,集 合C中的元素与集合A,集合B有什么关系? 答:通过观察我们可以发现集合C是由属于集合A且属 于集合B的所有元素所组成的集合. 一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的 集合 ,称为A,B的交集(intersection set),记作 A∩B(读作”A交B”),即 A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

Veen图表示交集

例3
? A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑
的同学}, B={x|x是新华中学高一年级参加 跳高比赛的同学},求A∩B. 解: A∩B就是新华中学高一年级中那些既参 加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的 集合.所以, A∩B= {x|x是新华中学高一年 级参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学}.

例题4
设平面内直线l上的点的集合为L,直线p上的点 的集合为P,试用集合的运算表示l,p的位置关 系. 解:平面两直线的位置关系有三种: 相交:两直线有且只有一个交点. 平行:两直线没有交点. 重合

两直线相交
只有一个交点既L∩P为只有一个元素的集合. 设交点为M,则L∩P={M}

M

两直线平行
没有交点即L和P两集合没有共同元素,则 L∩P=
l p

两直线重合
就是说直线l的所有点都在直线p上,直线p的 所有点也在直线l上,可以知道L包含P,P也包 含L,那么我们知道L=P,也就是L∩P=L

p

l

思考3
? 下列关系式成立吗?
(1)A∩A=A; (2)A∩ =A. 适度加强题 例:集合A={1,3,5,6,8},集合B={x|1<x<7}, 集合C={x|5<x<10且x∈Z},求(A∩B)∪C. 解: (A∩B)∪C={1,3,5,6,7,8,9}

思考4
? 请你分别求出出方程( x - 1)( x + 2)( x - 5) = 0 的
2

自然数解,有理数解和实数解. 解:我们发现在对于解的范围不同,解也不同. 自然数解中只有1是该方程的解 ( x - 1)( x + 2)( x 2 - 5) = 0}={1} 即{x∈N| 有理数解集{1,-2} 实数解集 {1, ?2, 5, ? 5}

研究与发现
在思考过上面的问题之后我们发现,在不同范围研究 同一个问题时,出现的结果也有可能不同. 而我们从小到大对数学的学习过程中,我们对数的研 究范围也逐步地由自然数扩展到了整数,再到有理 数,引进无理数之后再研究到了实数的阶段. 在我们学习了集合之后我们发现:我们所学的范围都 可以用集合来表示N;Z;Q;R;而且后一个集合中 都含有前一个集合的所有元素。 思考:那么当我们想在某个集合范围内研究问题的 时候我们能否先规定出这个集合?

补集
? 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉 ?
及的所有元素,那么就称这个集合为全集 (universe set),通常记作U. 对于一个集合A,由全集U中属于A的所有元素组成 的集合称为集合A相对于全集U的补集 (complementary set),简称为集合A的补集,记作 ? A U ,即

? U A={x | x 蜗 , 且x U

A}

补集Venn图
U
A

例5
? 设U ={x|x是小于10的自然数},A={1,3,5,7},
B={3,4,5,6},求? U A, ? U B. 解:根据题意可知,U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},

? ? U A={0,2,4,6,8,9},

? ? U A={0,1,2,7,8,9}

例6
设全集U={x|x是三角形},A= {x|x是锐角三角 形},B是{x|x是钝角三角形}.求A∩B,? U ( A ? B) 解:根据三角形的分类可知
(知识回顾:⑴锐角三角形:三个角都为锐角的三角形(2)直角三角形(3)钝角三角形: 有一个角为钝角的三角形.)

A ? B ? ?,
A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},

? U ( A ? B) ? {x | x是直角三角形}.

练习
已知全集U ? {1, 3, 5, 7} A ? {2, 5} 2,4,6,, 4,,B={1,3,5,7},

? 解:

求A ? 痧 B),( ( U

U

A)( U B) ? .

? A ? ? U B) {2,5} ? {2, 6} ? {2, ( ? 4, 4, 4}
? 痧 A)( ( U ?
U

B) {1,6, ? {2, 6} ? 3, 7} 4, ? {6}

阅读与思考:集合中元素的个数
? 在我们研究集合时,经常遇到有关集合中元素的个
数问题.我们把含有有限个元素的集合A叫做有限 集,用card来表示有限集合A中的元素的个数. 例如,A={1,2,3,5},则card(A)=4 即如果集合A中存在4个元素,那我们就可以写 card(A)=4. 一般地,对于任意两个集合A,B,有 card(A∪B)=card(A)+ card(B)- card(A∩B).

思考5
? 有限集合中元素的个数,我们可以一一数出
来.而对于元素个数无限的集合,如 A={1,2,3,4,…,n,…}, B={2,4,6,8,…,2n,…}, 我们无法数出集合中元素的个数,但可以比较 这两个集合中元素个数的多少. 请问:你能设计一个比较这两个集合中元素个 数多少的方法吗?

课后作业
? P14 ? 习题1.1 A组
T 9; 10 习题1.1 B组 T 3; 4

轻松一笑
? 上课睡觉 某生上课时睡觉,被老师发现。
老师:你为什么在上课时睡觉? 某生:我没睡觉哇! 老师:那你为什么闭上眼睛? 某生:我在闭目沉思! 老师:那你为什么直点头? 某生:您刚才讲得很有道理! 老师:那你为什么直流口水? 某生:老师您说得津津有味啊!


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