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山东省冠县武训高级中学高考数学 5.2 平面向量基本定理及坐标表示复习题库


山东省冠县武训高级中学高考数学复习题库: 5.2 平面向量基本定理 及坐标表示
一、选择题 1.设平面向量 a=(-1,0),b=(0,2),则 2a-3b=( A.(6,3) C.(2,1) )

B.(-2,-6) D.(7,2)

解析:2a-3b=(-2,0)-(0,6)=(-2,-6). 答案:B 2.已知平面向量 a=

(x,1),b=(-x,x ),则向量 a+b( A.平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 解析 由题意得 a+b=(x-x,1+x )=(0,1+x ),易知 a+b 平行于 y 轴. 答案 C 3.已知平面向量 a=(1,2) ,b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=( A.(-2,-4) C.(-4,-8) B.(-3,-6) D.(-5,-10 ) ).
2 2 2

).

解析 由 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,得 1×m=2×(-2)? m=-4,从而 b=(-2, -4),那么 2a+3b=2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8). 答案 C → → 4. 设点 A(2,0),B(4,2),若点 P 在直线 AB 上,且|AB|=2|AP|,则点 P 的坐标为( ) A.(3,1) B.(1,-1) C.(3,1)或(1,-1) D.无数多个 → → → → → → → → 解析 设 P(x,y),则由|AB|=2|AP|,得AB=2AP或AB=-2AP,AB=(2,2),AP=(x-2, y),即(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,1),或(2,2)=-2(x-2,y),x=1,y=-1, P(1,-1). 答案 C 5.若向量 AB =(1,2) BC =(3,4) , ,则 AC =( A (4,6) 答案 A 解析 因为 AC = AB + BC = (4, 6) ,所以选 A. B (-4,-6) C (-2,-2)

??? ?

??? ?

????

) D (2,2)

???? ??? ??? ? ?

1

6.已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥b,若 x,y 满足不等式|x|+|y|≤1,则

z 的取值范围为(
A.[-2,2] C.[-3,2]

). B.[-2,3] D.[-3,3]

解析 因为 a⊥b,所以 a·b=0,所以 2x+3y=z,不等式|x|+|y|≤1

? x+y≤1 ? x≥0,y≥0? , ?x-y≤1 ? x≥0,y<0? , 可转化为? -x+y≤1 ? x<0,y≥0? , ?-x-y≤1 ? x<0,y<0? , ?

由图可得其对应的可行域为边长为

2,以点(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)为顶点的正方形,结合图象可知当直线 2x+3y =z 过点(0,-1)时 z 有最小值-3,当过点(0,1)时 z 有最大值 3.所以 z 的取值范围为[- 3,3]. 答案 D

? ? 其中 λ , , 为实数. 2 2 7. 设两个向量 a=(λ +2, -cos α )和 b=?m, +sin α ?, λ m α 若 ? 2 ?
m a=2b,则 的取值范围是( m
A.[-6,1] C.(-∞,1] λ ). B.[4,8] D. [-1,6]

?λ +2=2m, ? 解析 由 a=2b,得? 2 2 ? ?λ -cos α =m+2sin α .

由 λ -m=cos α +2sin α =2-(sin α -1) ,得 -2≤λ -m≤2,又 λ =2m-2,
?4m -9m+2≤0, ? 则-2≤4(m-1) -m≤2,∴? 2 ? ?4m -9m+6≥0.
2 2 2

2

2

2

1 λ 2m-2 2 解得 ≤m≤2,而 = =2- , 4 m m m λ 故-6≤ ≤1,即选 A.

m

答案 A 二、填空题
2

8. 设 a=(1 ,2),b=(2,3),若向量 λ a+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 λ =________. 解析 ∵λ a+b=(λ +2,2λ +3)与 c=(-4,-7)共线, ∴(λ +2)×(-7)-(2λ +3)×(-4)=0,解得 λ =2. 答案 2 1 1 9.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值为________.

a b





解析 AB=(a-2,-2),AC=(-2,b-2),依题意,有(a-2)(b-2)-4=0, 1 1 1 即 ab-2a-2b=0,所以 + = . a b 2 答案 1 2

10.设向量 a,b 满足|a|=2 5,b=(2,1),且 a 与 b 的方向相反,则 a 的坐标为________. 解析 设 a=λ b(λ <0),则|a|=|λ ||b|, |a| ∴|λ |= , |b| 又|b|= 5,|a|=2 5. ∴|λ |=2,∴λ =-2. ∴a=λ b=-2(2,1)=(-4,-2). 答案 (-4,-2) 11.设 e1,e2 是平面内一组基向量,且 a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量 e1+e2 可以表示为 另一组基向量 a,b 的线性组合,即 e1+e2=________a+________b. 解析 由题意,设 e1+e2=ma+nb. 又因为 a=e1+2e2,b=-e1+e2,所以 e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+

n)e2.

?m-n=1, ? 由平面向量基本定理,得? ? ?2m+n=1,

?m=2, ? 3 所以? 1 ? ?n=-3.

答案

2 1 - 3 3

12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 四边形 ABCD 的边 AB∥DC, ∥BC.已知点 A(-2,0), (6,8), AD B

C(8,6),则 D 点的坐标为________.
解析 由条件中的四边形 ABCD 的对边分别平行, 可以判断该四边形 AB CD 是平行四边形. 设 → →

D(x,y),则有AB=DC,即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),解得(x,y)=(0,-2).
3

答案 (0,-2) 三、解答题 → → → → 1 1 13.已知点 A(-1,2),B(2,8)以及AC= AB,DA=- BA,求点 C,D 的坐标和CD的坐标. 3 3 解析 设点 C,D 的坐标分别为(x1,y1)、(x2, y2), → → → → → 由题意得AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6), →

DA=(-1 -x2,2-y2),BA=(-3,-6).
→ → → 1 1 因为AC= AB,DA=- BA,所以有 3 3
? ?x1+1=1, ? ?y1-2=2, ? ? ?-1-x2=1, 和? ?2-y2=2. ?

解得?

?x1=0, ? ? ?y1=4,

和?

?x2=-2, ? ? ?y2=0.

→ 所以点 C,D 的坐标分别是(0,4 )、(-2,0),从而CD=(-2,-4). 14.已知 A(1,1)、B(3,-1)、C(a,b). (1)若 A、B、C 三点共线,求 a、b 的关系式; (2)若 AC =2 AB ,求点 C 的坐标. 解析:(1)由已知得 AB =(2,-2), AC =(a-1,b-1), ∵A 、B、C 三点共线,∴ AB ∥ AC . ∴2(b-1)+2(a-1)=0,即 a+b=2. (2)∵ AC =2 AB , ∴(a-1,b-1)=2(2,-2), ∴?
?a-1=4, ? ? ?b-1=-4,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

解得?

?a=5, ? ? ?b=-3.

∴点 C 的坐标为(5,-3).

→ 15.已知向量OA=(3,4),OB=(6,-3),O C =(5-m,-3-m).若点 A,B,C 能构成三
→ → 角形,求实数 m 满足的条件. → → → 解析 ∵AB=OB-OA=(3,-7),

4

→ → →

AC=OC-OA=(2-m,-7-m),
→ → 又 A,B,C 能构成三角形,故点 A,B,C 不共线,即AB,AC不共线, ∴3×(-7-m)-(-7)×(2-m)≠0, 7 7 得 m≠- ,故 m 应满足 m≠- . 10 10 → → → 16.已知 O(0,0),A(1,2),B(4,5)及OP=OA+tAB,求 (1)t 为何值时,P 在 x 轴上?P 在 y 轴上?P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. 2 解析 (1)OP=OA+tAB=(1+3t,2+3t).若 P 在 x 轴上,则 2+3t=0,∴t=- ;若 P 在 3 → → →

y 轴上,只需 1+3t=0,∴t=- ;若 P 在第二象限,则?
2 1 ∴- <t<- . 3 3 → →

1 3

? ?1+3t<0, ?2+3t>0. ?

→ →

(2)因为OA=(1,2),PB=(3-3t,3-3t) .若 OABP 为平行四边形,则OA=PB,∵
?3-3t=1, ? ? ? ?3-3t=2

无解.所以四边形 OABP 不能成为平行四边形.

5


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