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数学美与数学教学
对于从事数学教学的教师而言,存在着这样的一个困惑, 对于从事数学教学的教师而言,存在着这样的一个困惑,如何提高学生对 从事数学教学的教师而言 数学的感悟和对数学美的欣赏,才是有待于在教学中首要解决的问题。 数学的感悟和对数学美的欣赏,才是有待于在教学中首要解决的问题。经过长 时间的探索,发现学生对数学的态度存在着惊人的差异 时间的探索,发现学生对数学的

态度存在着惊人的差异,这很大程度上归因于 学生对数学的态度存在着惊人的差异, 对数学美的领悟和鉴赏。数学美是一种极其严肃、雅致和含蓄的美, 对数学美的领悟和鉴赏。数学美是一种极其严肃、雅致和含蓄的美,学生受到 基础知识和审美能力的限制,并不都具有理想的鉴赏能力。因此, 基础知识和审美能力的限制,并不都具有理想的鉴赏能力。因此,唤醒他们对 数学的美好情感,倡导对数学美的崇尚是数学教育的任务之一。 数学的美好情感,倡导对数学美的崇尚是数学教育的任务之一。 数学美的含义是丰富的,数学概念的简洁性、统一性,数学命题的概括性、 数学美的含义是丰富的,数学概念的简洁性、统一性,数学命题的概括性、 典型性,几何图形的对称性、和谐性,数学结构的完整性、 典型性,几何图形的对称性、和谐性,数学结构的完整性、协调性以及数学创 造中的新颖性、奇异性等都是数学美的具体内容和形式, 造中的新颖性、奇异性等都是数学美的具体内容和形式,法国著名数学家彭加 勒曾精辟地把数学美的特征概括为对称性、简洁性、统一性和奇异性等, 勒曾精辟地把数学美的特征概括为对称性、简洁性、统一性和奇异性等,这些 形式特征的有机综合汇聚成数学美的主要特征——和谐, 形式特征的有机综合汇聚成数学美的主要特征——和谐,它反映出了数学美的 ——和谐 形式的多样统一的总规律。 形式的多样统一的总规律。 一、展现对称美,增强数学魅力 展现对称美, 对称是最能给人以美感的一种形式。德国数学家魏尔说: “ 对称是最能给人以美感的一种形式。德国数学家魏尔说: 美和对称紧密相 ”数学中有着各种各样的对称。从几何图形看,有中心对称形、轴对称形、 关。 数学中有着各种各样的对称。从几何图形看,有中心对称形、轴对称形、 面对称形和转动对称形等。对称图形虽然千变万化,种类繁多, 面对称形和转动对称形等。对称图形虽然千变万化,种类繁多,但他在平面上 的种类只有十七种 例如,行列式就被人们称做“美丽的花园” 它的每一条边 , 的种类只有十七种。例如,行列式就被人们称做“美丽的花园” 它的每一条边 都可以扩展。一个三阶行列式是由九个元素按三行三列所排列成的正方形, 都可以扩展。一个三阶行列式是由九个元素按三行三列所排列成的正方形,即 使不懂数学的人也能感受到其排列整齐和处处对称,领略到它的形式之美。 使不懂数学的人也能感受到其排列整齐和处处对称 , 领略到它的形式之美 。 体会协同美, 二 、体会协同美,知识融会贯通 数学思维是人脑和数学对象交互作用并按一般的思维规律认识数学规律的 过程。数学思维的协同美大体上可从以下两个方面表现出来。 过程。数学思维的协同美大体上可从以下两个方面表现出来。

归纳和演绎的相互作用。数学中大量地需要归纳,同时也需要演绎, 归纳和演绎的相互作用。数学中大量地需要归纳,同时也需要演绎,在许 多情况下两者互为作用的。在数学教学中,总是既用归纳又用演绎。 多情况下两者互为作用的。在数学教学中,总是既用归纳又用演绎。尽管两者 有各自不同的特点,但演绎推理的大前提——表示一般原理的全称判断要靠归 各自不同的特点,但演绎推理的大前提 表示一般原理的全称判断要靠归 纳推理来提供。为了增强归纳推理的可靠性, 纳推理来提供。为了增强归纳推理的可靠性,不管是以一般原理作指导还是对 归纳推理的前提进行分析,都要用演绎推理。 归纳推理的前提进行分析,都要用演绎推理。归纳和演绎在思维运行过程中这 种辩证统一正体现了两者之间是交互为用的。 种辩证统一正体现了两者之间是交互为用的。 形式逻辑与辩证逻辑的并重和统一。一方面, 形式逻辑与辩证逻辑的并重和统一。一方面,数学中大量存在相对稳定的 状态,我们能用形式逻辑思维的方法进行分析和研究数学对象。另一方面, 状态,我们能用形式逻辑思维的方法进行分析和研究数学对象。另一方面,也 存在显著的运动状态,如有限与无限的相互转化,代数、几何、 存在显著的运动状态,如有限与无限的相互转化,代数、几何、三角各学科之 间的转化以及数学各种相关运算方法的发展与对立统一等,故能用辩证思维的 间的转化以及数学各种相关运算方法的发展与对立统一等,故能用辩证思维的 方法认识数学概念的形成和关系的不断发展变化。因此, 方法认识数学概念的形成和关系的不断发展变化。因此,在教学时要贯彻形式 逻辑思维与辩证逻辑思维并重和统一的原则,发展学生的数学思维能力。 逻辑思维与辩证逻辑思维并重和统一的原则,发展学生的数学思维能力。以数 学概念教学为例,按形式逻辑思维规律, 学概念教学为例,按形式逻辑思维规律,对于每一个数学概念的认识要前后一 致,而且不容许存在不相容。如果存在着两个互相排斥的认识,那么其中必有 而且不容许存在不相容。如果存在着两个互相排斥的认识, 一真一假,概念数学必须遵循上述逻辑规则进行。但同时也应指出, 一真一假,概念数学必须遵循上述逻辑规则进行。但同时也应指出,用运动和 发展的观点来思考, 发展的观点来思考,数学概念也是随着学生学习的数学知识的结构的发展而发 展的。许多对立的概念可以统一起来(如实数和虚数同处于复数中) ,一个概念 展的。许多对立的概念可以统一起来(如实数和虚数同处于复数中) 一个概念 , 在不同的场合或不同的条件下可能有不同的认识(如三角函数的概念, 在不同的场合或不同的条件下可能有不同的认识(如三角函数的概念,最初学 有不同的认识 习的是锐角的正弦、余弦、正切和余切, 习的是锐角的正弦、余弦、正切和余切,被理解为直角三角形中一个锐角的对 边比斜边、邻边比斜边、对边比邻边和邻边比对边,以后发展到任意角的正弦、 边比斜边、邻边比斜边、对边比邻边和邻边比对边,以后发展到任意角的正弦、 余弦、正切、余切、正割和余割) 即使在小学数学的发展中也是这样。 ,即使在小学数学的发展中也是这样 余弦、正切、余切、正割和余割) 即使在小学数学的发展中也是这样。我们知 , 道,数学的发展归根到底是数学概念的不断发展,这种发展又有自身的规律。 数学的发展归根到底是数学概念的不断发展,这种发展又有自身的规律。 人们常说的概念是在发展中形成,而且又是在形成后不断发展的, 人们常说的概念是在发展中形成,而且又是在形成后不断发展的,所以一个数

学概念具有确定性和灵活性两个特点。就像 乘法 乘法”这个概念在整数和分数中具 学概念具有确定性和灵活性两个特点。就像“乘法 这个概念在整数和分数中具 有不同的数学含义一样。正如列宁所说 所有的定义都只有有条件的 所有的定义都只有有条件的、 有不同的数学含义一样。正如列宁所说“所有的定义都只有有条件的、相对的意 义,永远也不能包括充分发展的现象的各方面联系”。这正是辩证逻辑思维在数 永远也不能包括充分发展的现象的各方面联系 。 学中的体现,与形成逻辑思维相比更高一级。 学中的体现,与形成逻辑思维相比更高一级。 三、追求简洁美,体现数学本质 追求简洁美, 数学美的简洁性泛指数学理论体系在逻辑上的简单性和结构上的协调性。 数学美的简洁性泛指数学理论体系在逻辑上的简单性和结构上的协调性。 简洁性对数学理论的建立提出了更高的要求, 简洁性对数学理论的建立提出了更高的要求,即在对自然现象进行描述和抽象 时,要求理论的假设性前提尽量的少,而得到的演绎结论尽量的多。正是这种 要求理论的假设性前提尽量的少,而得到的演绎结论尽量的多。 简洁美的思想指导,数学家都尽力使自己的理论具有特殊的演绎美的诱惑力。 简洁美的思想指导,数学家都尽力使自己的理论具有特殊的演绎美的诱惑力。 例如,全部欧氏几何的结论,只是从少数的几条公理通过演绎得来的, 例如,全部欧氏几何的结论,只是从少数的几条公理通过演绎得来的,这是一 种简洁美的体现。难怪牛顿赞叹: 几何学之所以堪称辉煌, 种简洁美的体现。难怪牛顿赞叹: 几何学之所以堪称辉煌,就在于它是从很少 赞叹 “ 的几条公理出发,而最终却得到了如此之多的结果。 ” 的几条公理出发,而最终却得到了如此之多的结果。 英国数学家指出: 数学中的统一性和简洁性的考虑,都是极为重要的。 “ 英国数学家指出: 数学中的统一性和简洁性的考虑,都是极为重要的。因 为研究数学的目的之一,就是尽可能地用简洁而基本的词汇去解释世界。 ” 为研究数学的目的之一,就是尽可能地用简洁而基本的词汇去解释世界。 像他 所说的,只有大学毕业的专门高级人才才能进行百万数目的运算。 所说的,只有大学毕业的专门高级人才才能进行百万数目的运算。这种不和谐 的状况源于罗马数字的复杂。一旦引进了阿拉伯数字,连小学生都能够轻松自 的状况源于罗马数字的复杂。一旦引进了阿拉伯数字,连小学生都能够轻松自 如的进行百万数和十亿数的计算。信息内容的容量依旧, 如的进行百万数和十亿数的计算。信息内容的容量依旧,但简洁而完善的符号 标记使信息处理的既快又简。可以设想, 标记使信息处理的既快又简。可以设想,如果能找到材料的组织和符号的合适 形式的话, 那么在 21 世纪就完全可能把目前只有少数专家才懂的现代数学中最 形式的话, 复杂的部分列入中学的数学大纲。到那时, 复杂的部分列入中学的数学大纲。到那时,复杂的概念和相互关系将以简洁而 通俗的公式写出。由此可见,清晰简明的数学词汇既能便于人们掌握材料, 通俗的公式写出。由此可见,清晰简明的数学词汇既能便于人们掌握材料,简 便地记下已知事实,又能便于将掌握的材料提升为理论。简洁的叙述方式是进 便地记下已知事实,又能便于将掌握的材料提升为理论。简洁的叙述方式是进 一步前进的必要前提,是推动数学发展的一个主要手段, 一步前进的必要前提,是推动数学发展的一个主要手段,也是衡量数学和谐美

的一个重要标准。 的一个重要标准。 四、寻求奇异美,发挥创造能力 寻求奇异美, 所谓奇异美,包含了独特、新颖、不寻常等含义。在数学中, 所谓奇异美,包含了独特、新颖、不寻常等含义。在数学中,奇异性常常 是产生新思想、新方法和新理论的起点,给数学的发展带来新的活力。 是产生新思想、新方法和新理论的起点,给数学的发展带来新的活力。 奇异美在数学中到处可见,数的发展就颇具传奇色彩,有理数稍一扩展, 异美在数学中到处可见,数的发展就颇具传奇色彩,有理数稍一扩展, 新的数就被称为“无理” 实数再一扩展,新的数就被叫做“ 新的数就被称为“无理”的;实数再一扩展,新的数就被叫做“虚”的。实数 之后出现了“超实数” 复数之后出现“超复数” 有穷数之后又出现了“ 之后出现了“超实数” 复数之后出现“超复数” 有穷数之后又出现了“超穷 , , 。 数” 综上所述,数学正如罗素所说: 数学 如果正确地看它,不但拥有真理, 数学, 综上所述,数学正如罗素所说:“数学,如果正确地看它,不但拥有真理, 而且有至高的美。 在数学教学中 要充分挖掘数学美的因素, 在数学教学中, 而且有至高的美。”在数学教学中,要充分挖掘数学美的因素,引导学生对美的 追求,使他们摆脱 苦学 的束缚,走入“乐学 的天地。 苦学”的束缚 乐学”的天地 追求,使他们摆脱“苦学 的束缚,走入 乐学 的天地。


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