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1.1.2导数的概念及其几何意义(2)


1.1.2 导数的概念及其几何意义(2)

【复习提问】
1. 导数的定义:
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

2. 求导数的一般步骤:

?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x ?y (3) 算导数 f ?( x0 ) ? lim . ?x ?0 ?x 3.导数的几何意义:

函数 y=f(x)在点x0处的导数就是曲线y=f(x)在点 P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率.

4.求利用导数求曲线上P(x0 ,f(x0))处的切线方程

①先求出该点的导数即切线的斜率;

k ? f ?( x0 )

②再利用点斜式求出切线方程

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 )

练习:设f ( x) ? x , 求f ' ( x), f ' (?1), f ' (2)
2

解:由导数的定义有 f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 f ' ( x)= lim ? lim ?x?0 ?x?0 ?x ?x ?x(2 x ? ?x) ? lim ? 2x ?x?0 ?x

? f ' (?1)=f ' ( x) x??1 ? 2 ? (?1) ? ?2 f ' (2) ? f ' ( x) x?2 ? 2 ? 2 ? 4

导函数的定义:
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 x=x0时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时, f’(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数. 即: ?y f ( x ? ?x) ? f ( x)
f ?( x) ? y? ? lim
?x ?0

?x

? lim

?x ?0

?x

在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
函数y ? f ( x)在点x0处的导数f ?( x0 ) 等于函数f ( x)的导(函)数f ?( x)在点x0处的 函数值.

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方 程. y
Q

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解 : k ? lim ?x ? 0 ?x (1 ? ?x )2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim ?x ? 0 ?x 2 ?x ? ( ?x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x

y = x +1
?y

2

P
?x

M

1 -1 O

j

x

1

因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.

例2.求抛物线y=x2过点(

5 解:点( ,6)不在抛物线上,设此切线过抛 2

5 ,6)的切线方程。 2

物线上的点(x0,x02),因为

2 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ( x0 ? ?x) 2 ? x0 lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x

2 x0 ? ?x ? (?x) ? lim ? 2 x0 ?x ?0 ?x
2

所以此切线方程的斜率为2x0,
5 又因为此切线过点( ,6)和点(x0,x02), 2 2 x0 ? 6 ? 2 x0 即x02-5x0+6=0, 所以 5 x0 ? 2

解得x0=2,或x0=3, 所以切线方程为y=4x-4或 y=6x-9.

例3.y=x3在点P处的切线斜率为3,求点P的坐 标. 解:设点P的坐标(x0,x03)
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) lim ∴斜率3= ?x ?0 ?x ( x0 ? ?x)3 ? x03 ? lim ?x ?0 ?x
3 x0 2 ?x ? 3x0 (?x) 2 ? (?x)3 ? lim ?x ?0 ?x

? lim[3x0 2 ? 3x0 ?x ? (?x)2 ] ? 3x0 2
?x ?0

∴ 3x02=3,x0=±1. ∴ P点的坐标是(1,1)或(-1,-1) .

练习题: 1.曲线y=x2在x=0处的( D) A.切线斜率为1 B.切线方程为y=2x C.没有切线 D.切线方程为y=0

2.已知曲线y=2x2上的一点A(2,8),则点A

处的切线斜率为( C)
A.4 B.16 C.8 D.2

3.函数y=f(x)在x=x0处的导数f’(x0)的几何意义是 A.在点x=x0处的函数值

C

B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切


C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率

D.点(x0,f(x0)与点(0,0)连线的斜率
4.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay -16=0,则实数a的值为( B ) A.-1 B.1 C.-2 D.2

【小结】
1. 导数的定义:
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

2. 求导数的一般步骤: 3.导数的几何意义:

函数 y=f(x)在点x0处的导数就是曲线y=f(x)在点 P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率. 4.求曲线上P(x0 ,f(x0))处的切线方程

补充练习:(定义的应用) 1.若f’(x0)=-3则lim f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? 3h)=( ) D
h?0

A.-3

B.-6

C.-9

h

D.-12

2.设y=f(x)为可导函数,且满足条件

处的切线的斜率为( D ) A.2 B.-1
1 C. 2

, f (1) ? f (1 ? x) lim ? ?1 x ?0 2x

则曲线y=f(x)在点(1,1)

D.-2


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