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指数运算与指数函数专题(含详细解析)


既然选择了远方,就必须风雨兼程 1

第五讲
时间: 年 月 日

指数运算与指数函数
刘满江老师 学生签名:

一、 兴趣导入

二、 学前测试
1. 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若 x0 满足关于 x 的方程 2ax ? b ? 0 ,则下列选项的命题中为 假命题的是 (A) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (C) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (B) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) (D) ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 )

解析:选 C.函数 f ( x) 的最小值是 f (?

b ) ? f ( x0 ) 2a

等价于 ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) ,所以命题 C 错误. 2. 如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露出水面部分的图 形面积为 S ? t ? S ? 0? ? 0 ,则导函数 y ? S ?t ? 的图像大致为
'

?

?

【答案】A 【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识,重点考查的是对数学的探究能力和应用能 力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化,导数取零,排除 C;总面积一直保持增加,没有负的改变量, 排除 B;考察 A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考虑到导数的意义,判断此时面积改变为突变,
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既然选择了远方,就必须风雨兼程!

既然选择了远方,就必须风雨兼程 1

产生中断,选择 A。

三、 方法培养
1.根式的概念 结论:当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 2.分数指数幂
m

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

a

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.有理指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r

s

r ?s

(a ? 0, r , s ? Q) ; (2) (a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q) ;

(3) (ab) ? a a (a ? 0, b ? 0, r ? Q) .
r r s

指数函数的概念 一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自
x

变量,函数的定义域为 R. 1 指数函数的定义是一个形式定义 注意:○ 2 注意指数函数的底数的取值范围,底数为什么不能是 ○ 负数、零和 1. (三)指数函数的图象和性质 注意内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 指数函数的图象如右图: 4.指数函数的性质 图象特征 函数性质

a ?1

0 ? a ?1

a ?1

0 ? a ?1
函数的定义域为 R 非奇非偶函数 函数的值域为 R+

向 x、y 轴正负方向无限延伸 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都在 x 轴上方 函数图象都过定点(0,1) 自左向右看, 图象逐渐上升 在第一象限内的图象 纵坐标都大于 1 在第二象限内的图象 纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越来 越陡 自左向右看, 图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐 标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐 标都大于 1 图象上升趋势是越来越缓 增函数

a0 ? 1
减函数

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始增长较 慢,到了某一值后 增长速度极快;

x ? 0, a x ? 1 x ? 0, a x ? 1
函数值开始减小极快,到了 某一值后减小速度较慢;
2

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既然选择了远方,就必须风雨兼程!

既然选择了远方,就必须风雨兼程 1

利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ;
x

(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;
x

(4)当 a ? 1 时,若 x1 ? x 2 ,则 f ( x 1 ) ? f (x 2 ) ; [例 1] 化简 ?1 ? 2

? ?

?

1 32

1 1 1 1 ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? 16 8 4 2 ,结果是( 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 1 ? 2 ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ??
1 ? ? ? B、 ?1 ? 2 32 ? ? ? ?1
? 1 32



1 ? ? 1? A、 ?1 ? 2 32 ? 2? ?

?1

C、 1 ? 2

D、

1 ? ? 1? 32 1 ? 2 ? ? 2? ?

2、 ?

? 3 6 a9 ? ? 6 3 a9 ? 等于( ? ? ? ? ? ? ?
16

4

4



A、 a

B、 a
2x

8

C、 a
x 2

4

D、 a

2

变式练习 11.若 3 +9=10?3 ,那么 x +1 的值为( D ) A. 1 B. 2 C. 5 解:令 3 =t, (t>0) , 2 原方程转化为:t ﹣10t+9=0, 或 x x 所以 t=1 或 t=9,即 3 =1 3 =9 2 所以 x=0 或 x=2,所以 x +1=1 或 5 故选 D 2.若关于 x 的方程 A. ≤a< =3﹣2a 有解,则 a 的范围是( A ) B. a≥ C. <a<
x

D. 1 或 5

D.

a>

解:∵1﹣

≤1,函数 y=2 在 R 上是增函数,∴0< ≤a< ,

x

≤2 =2,

1

故 0<3﹣2a≤2,解得 故选 A.

1 1 1 1 3 〖例 2〗 已知 a ? b, ab ? 0 ,下列不等式(1) a ? b ;(2) 2 ? 2 ;(3) ? ;(4) a ? b 3 ; a b
2 2
a b

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3

既然选择了远方,就必须风雨兼程!

既然选择了远方,就必须风雨兼程 1

?1? ?1? (5) ? ? ? ? ? 中恒成立的有( ? 3? ? 3?
A、1 个
变式练习 2

a

b

) C、3 个 D、4 个

B、2 个

1- 1.设 y1=40.9,y2=80.48,y3=( ) 1.5,则( ) 2 A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 解析:选 D.y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44, 1- y3=( ) 1.5=21.5, 2 ∵y=2x 在定义域内为增函数, 且 1.8>1.5>1.44, ∴y1>y3>y2. ax,x>1 ? ? 2.若函数 f(x)=? 是 R 上的增函数,则实数 a 的取值范围为( a ??4-2?x+2,x≤1 ? A.(1,+∞) C.(4,8) B.(1,8) D.[4,8) a>1

)

? ?4-a>0 解析:选 D.因为 f(x)在 R 上是增函数,故结合图象(图略)知? 2 a ? ?4-2+2≤a

,解得 4≤a<8.

1 - 3.函数 y=( )1 x 的单调增区间为( ) 2 A.(-∞,+∞) B.(0,+∞) C.(1,+∞) D.(0,1) 1 ?t,则函数 t=1-x 的递减区间为(-∞,+∞),即为 y=?1?1-x 的递 解析:选 A.设 t=1-x,则 y=? 2 ? ? ?2? 增区间. 4.已知函数 y=f(x)的定义域为(1,2),则函数 y=f(2x)的定义域为________. 解析:由函数的定义,得 1<2x<2?0<x<1.所以应填(0,1). 答案:(0,1) 〖例 3〗已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f (0) ? 3 ,则 f (b x ) 与 f (c x ) 的大小关系是_____.
分析:先求 b,c 的值再比较大小,要注意 b ,c 的取值是否在同一单调区间内. 解:∵ f (1 ? x) ? f (1 ? x) , ∴函数 f ( x) 的对称轴是 x ? 1 . 故 b ? 2 ,又 f (0) ? 3 ,∴ c ? 3 .
x x

1 上递减,在 1 , ? ∞? 上递增. ∴函数 f ( x) 在 ? ?∞,
若 x ≥ 0 ,则 3
x x

?

?

≥ 2x ≥1 ,∴ f (3x ) ≥ f (2x ) ;
x

若 x ? 0 ,则 3 ? 2 ? 1 ,∴ f (3 ) ? f (2 ) .
x x

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4

既然选择了远方,就必须风雨兼程!

既然选择了远方,就必须风雨兼程 1 综上可得 f (3 ) ≥ f (2 ) ,即 f (c ) ≥ f (b ) .
x x x x

评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题, 有时需要对参数进行讨论.

变式练习: 1 已知 (a2 ? 2a ? 5)3x ? (a2 ? 2a ? 5)1? x ,则 x 的取值范围是___________.
分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵ a ? 2a ? 5 ? (a ? 1) ? 4 ≥ 4 ? 1 ,
2 2

? ∞) 上是增函数, ∴函数 y ? (a ? 2a ? 5) 在 (?∞,
2 x

∴ 3 x ? 1 ? x ,解得 x ?

1 ?1 ? ? ∞? . .∴x 的取值范围是 ? , 4 ?4 ?

评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与 1 的大小,对于含有 参数的要注意对参数进行讨论.

〖例 4〗求函数 y ? 1 ? 6x?2 的定义域和值域.
解:由题意可得 1 ? 6
x?2

≥ 0 ,即 6x ?2 ≤1 ,
2 . ∴函数 f ( x) 的定义域是 ? ?∞,

∴ x ? 2 ≤ 0 ,故 x ≤ 2 . 令t ? 6
x?2

?

,则 y ? 1 ? t ,
x?2

又∵ x ≤ 2 ,∴ x ? 2 ≤ 0 . ∴ 0 ? 6 ∴ 0 ≤ 1 ? t ? 1 ,即 0 ≤ y ? 1 .

≤1 ,即 0 ? t ≤1 .

1? . ∴函数的值域是 0,
评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响.

?

, 上有最大值 14,则 a 的值是_______. 变式练习:函数 y ? a2 x ? 2a x ? 1(a ? 0且a ? 1) 在区间 [?11]
分析:令 t ? a 可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后 t 的取值范围.
x

2x x 2 x 解:令 t ? a ,则 t ? 0 ,函数 y ? a ? 2a ? 1 可化为 y ? (t ? 1) ? 2 ,其对称轴为 t ? ? 1 .

,, ∴当 a ? 1 时,∵ x ? ?11


?

?

1 1 ≤ a x ≤ a ,即 ≤ t ≤ a . a a
2

∴当 t ? a 时, ymax ? (a ? 1) ? 2 ? 14 . 解得 a ? 3 或 a ? ?5 (舍去) ;

,, 当 0 ? a ? 1 时,∵ x ? ?11
—————————————————————————————————————————————————— 5

?

?

既然选择了远方,就必须风雨兼程!

既然选择了远方,就必须风雨兼程 1 ∴ a ≤ ax ≤

1 1 ,即 a ≤ t ≤ , a a
2

∴ t?

1 ?1 ? 时, ymax ? ? ? 1? ? 2 ? 14 , a ?a ?
1 1 1 或 a ? ? (舍去) ,∴a 的值是 3 或 . 3 5 3

解得 a ?

四、强化练习
1.下列命题中,真命题是 (A) ?m ? R,使函数f(x)=x2 ? mx(x ? R)是偶函数 (B) ?m ? R,使函数f(x)=x2 ? mx(x ? R)是奇函数 (C) ?m ? R,使函数f(x)=x2 ? mx(x ? R)都是偶函数 (D) ?m ? R,使函数f(x)=x2 ? mx(x ? R)都是奇函数 【答案】A 【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念,与存在量词、全称量词的含义,属于容易题。当 m=0 时,函数 2 f(x)=x 是偶函数,所以选 A. 【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。 2. 用 称,则 t 的值为 A.-2 B.2 表示 a, b 两数中的最小值。 若函数 的图像关于直线 x= ?

1 对 2

C.-1

D.1

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6

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既然选择了远方,就必须风雨兼程 1

五、训练辅导
〖例 6〗 .设函数 f ( x) ? x2 ?1 ,对任意 x ? ? , ?? ? , f ? 则实数 m 的取值范围是 【答案】D 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。 .

?2 ?3

? ?

?x? 2 ? ? 4m f ( x) ? f ( x ? 1) ? 4 f (m) 恒成立, m ? ?

x2 ?1 ? 4 m2 x (2 ? 1 ) ? x ( ?2 1 ) ? 依 据 题 意 得 2 m

3 x ? [ 1, ?? ? m 12 4 ) ) 上 恒 定 成 立 , 即 在(? 2

1 3 2 3 ? 4m2 ? ? 2 ? ? 1 在 x ? [ , ??) 上恒成立。 2 m x x 2 3 3 2 5 1 5 2 2 2 当 x ? 时函数 y ? ? 2 ? ? 1 取得最小值 ? ,所以 2 ? 4m ? ? ,即 (3m ? 1)(4m ? 3) ? 0 ,解 2 x x 3 m 3
得m? ?

3 3 或m ? 2 2

【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求 解

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既然选择了远方,就必须风雨兼程 1

变式练习 1 直线 y ? 1 与曲线 y ? x2 ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围是
.

2

解方程 3

x?2

? 32? x ? 80 .

2 x 2 x x 解:原方程可化为 9 ? (3 ) ? 80 ? 3 ? 9 ? 0 ,令 t ? 3 (t ? 0) ,上述方程可化为 9t ? 80t ? 9 ? 0,解得 t ? 9 或

1 x ,∴ 3 ? 9 ,∴ x ? 2 ,经检验原方程的解是 x ? 2 . t ? ? (舍去) 9
评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根.

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附件:堂堂清落地训练 (坚持堂堂清,学习很爽心)
1 1 1 1.设 <( )b<( )a<1,则( ) 3 3 3 a b a A.a <a <b B.aa<ba<ab C.ab<aa<ba D.ab<ba<aa 解析:选 C.由已知条件得 0<a<b<1, ∴ab<aa,aa<ba,∴ab<aa<ba. 1 + 1 - 2.若( )2a 1<( )3 2a,则实数 a 的取值范围是( ) 2 2 1 A.(1,+∞) B.( ,+∞) 2 1 C.(-∞,1) D.(-∞, ) 2 1 解析:选 B.函数 y=( )x 在 R 上为减函数, 2 1 ∴2a+1>3-2a,∴a> . 2 3.下列三个实数的大小关系正确的是( ) 1 1 1 2 1 2 A.( ) <22011<1 B.( ) <1<22011 2011 2011 1 1 1 2 1 2 C.1<( ) <22011 D.1<22011<( ) 2011 2011 1 1 1 2 解析:选 B.∵ <1,∴( ) <1,22011>20=1. 2011 2011 -|x| 4.设函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1),f(2)=4,则( ) A.f(-1)>f(-2) B.f(1)>f(2) C.f(2)<f(-2) D.f(-3)>f(-2) 1 -2 解析:选 D.由 f(2)=4 得 a =4,又 a>0,∴a= ,f(x)=2|x|,∴函数 f(x)为偶函数,在(-∞,0)上单 2 调递减,在(0,+∞)上单调递增. 1 5.函数 f(x)= x 在(-∞,+∞)上( ) X k b 1 . c o m 2 +1 A.单调递减无最小值 B.单调递减有最小值 C.单调递增无最大值 D.单调递增有最大值 解析:选 A.u=2x+1 为 R 上的增函数且 u>0, 1 ∴y= 在(0,+∞)为减函数. u 1 即 f(x)= x 在(-∞,+∞)上为减函数,无最小值. 2 +1 6.若 x<0 且 ax>bx>1,则下列不等式成立的是( ) A.0<b<a<1 B.0<a<b<1 C.1<b<a D.1<a<b 1 1 解析:选 B.取 x=-1,∴ > >1,∴0<a<b<1. a b 1 7.已知函数 f(x)=a- x ,若 f(x)为奇函数,则 a=________. 2 +1 解析:法一:∵f(x)的定义域为 R,且 f(x)为奇函数, 1 ∴f(0)=0,即 a- 0 =0. 2 +1
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1 ∴a= . 2 法二:∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(x),新 课 标 第 一 网 1 1 1 即 a- -x = x -a,解得 a= . 2 2 +1 2 +1 1 答案: 2 8.当 x∈[-1,1]时,f(x)=3x-2 的值域为________. 1 5 解析:x∈[-1,1],则 ≤3x≤3,即- ≤3x-2≤1. 3 3 5 ? 答案:? ?-3,1? - - 9.若函数 f(x)=e (x u)2 的最大值为 m,且 f(x)是偶函数,则 m+u=________. 解析:∵f(-x)=f(x), - + - - ∴e (x u)2=e (x u)2, 2 ∴(x+u) =(x-u)2, ∴u=0,∴f(x)=e-x2. ∵x2≥0,∴-x2≤0,∴0<e-x2≤1, ∴m=1,∴m+u=1+0=1. 答案:1

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