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甘肃省兰州第一中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题 理


兰州一中 2015-2016-2 学期期末考试试题 高二数学(理)
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 100 分,考试时间 100 分钟. 答案写在答题卷(卡)上,交卷时只交答题卷(卡). 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 2 1.线性回归分析中,相关指数 R 的值越大,说明残差平方和( ) A.越小 B.越大 C.可能大也可能小 D.以上都不对 2.如图,用 K,A1,A2 三类不同的元件连接成一个系统.当 K 正常工作且 A1,A2 至少有一个正常 工作时,系统正常工作,已知 K , A1 , A2 正常工作的概率依次为 0.9,0.8,0.8.则系统正常工作的概率为( A.0.960 B.0.864 ) D.0.576
2

C.0.720

3.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,3 ),从中随机取一件,其长度误 差落在区间(3,6)内的概率为(附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ ,σ ),则 P(μ -σ <ξ <μ +σ )=68.26%,P(μ -2σ <ξ <μ +2σ )=95.44%.) ( A.4.56% B.13.59% C.27.18% ) D.31.74%
2

4.在极坐标系中,曲线 ? ? 4 sin(? ? A.直线 ? =

?
3

) 关于(



?
3

对称

B.直线 ? =
2 2

5? 对称 6

( 2, ) C.点 对称 3

?

D.极点对称

5.若直线 y =kx+1 与圆 x +y +kx+my-4=0 交于 M,N 两点,且 M,N 关于直线 x+2y=0 对 称,则实数 k+m=( A.-1 6.设 (5 x ? B.2 ) C.0 D.1

1 n ) 的展开式的各项系数之和为 M ,二项式系数之和为 N ,若 M ? N ? 56 , x
C.15 D.20 ).

则展开式中常数项为( ) A.5 B.10

7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( A.3 B.4 C.5 D.6

π? 2? 8.函数 y=cos ?x+ ?的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位(a>0),所得图象关于 y 轴对称,则 a 4? ?
1

的最小值为( A.π

). 3π B. 4 π C. 2 D. π 4

→ → 1 4AC → → → → → AB 9.已知AB⊥AC,|AB|= ,|AC|=t,若点 P 是△ABC 所在平面内的一点,且AP= + , t → → |AB| |AC| → → 则PB·PC的最大值等于( A.13 B. 15 ) C.19 D.21

10.两球 O1 和 O2 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的内部,且互相外切,若球 O1 与过点 A 的正方体的三个面相切,球 O2 与过点 C1 的正方体的三个面相切,则球 O1 和 O2 的表面积之和 的最小值为 A.3(2- 3 )? B.4(2- 3 )? C.3(2+ 3 )? D.4(2+ 3 )?

第Ⅱ卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11.已知随机变量 2 ? ? ? ? 8 ,若 ? ? B(10, 0.4) ,则 E (? ) =__________, D (? ) ___________ π 12.在极坐标系中,曲线 C1:ρ =2cos θ ,曲线 C2:θ = ,若曲线 C1 与 C2 交于 A、B 两点, 4 则线段 AB 长度 为________. 13.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪烁,已知开关第一次闭合后出现红灯闪烁的概率 1 1 是 ,两次闭合后都出现红灯闪烁的概率为 ,则在第一次闭合后出现红灯闪烁的条件下,第二次 2 6 出现红灯闪烁的概率是________. 14.若(1-2x)
2 016

=a0+a1x+a2x +?+a2 016x

2

2 016

(x∈R),则

a1 a2
2

+ 2+?+ 2 016 的值为________. 2 2

a2 016

1 5.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须同时使用,且同一数字不能相 邻出现,这样的四位数有________个.

兰州一中 2015-2016-2 学期期末考试答题卡 高二数学(理) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
2

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 14. 12. 15. 13.

三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 16.4 月 23 日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动.为了解本校 学生课外阅读情况, 学校随机抽取了 100 名学生对其课外阅读时间进行调查. 下面是根据调查结 果绘制的学生日均课外阅读时间(单位: 分钟)的频率分布直方图. 若将日均课外阅读时间不低于 60 分钟的学生称为“读书迷”,低于 60 分钟的学生称为“非读书迷”.

(1)根据已知条件完成下面 2×2 列联表,并据此判断是否有 99%的把握认为“读书迷”与性别有 关? 非读书迷 男 女 总计 (2)将频率视为概率.现在从该校大量学生中,用随机抽样的方法每次抽取 1 人,共抽取 3 次,记 被抽取的 3 人中的“读书迷”的人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列、期 望 E(X)和方差 D(X). 读书迷 15 45 总计

n(ad-bc) 2 附:K = ,n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(K2≥k0) k0
0.100 2.7 06 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

2

3

17. 计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站.过去 50 年的水文资料显示, 水库年入流 量 X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在 40 以上.其中,不足 80 的年份有 10 年, 不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年, 超过 120 的年份有 5 年.将年入流量在 以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行 ,但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制,并 有如下关系: 年入流量 X 发电机最多可运行台数 40<X<80 1 80≤X≤120 2

X>120
3

若某台发电机运行, 则该台年利润为 5 000 万元; 若某台发电机未运行, 则该台年亏损 800 万元. 欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?

18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量

y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,?,
8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

4

x

y

w

? ( x ? x) ? (w ? w)
2 i ?1 i i ?1 i

8

8

2

? ( xi ? x) ? yi ? y
i ?1

8

?

?

? (w ? w) ? ? y ? y ?
8 2 i ?1 i i

46.6

563

6.8

289.8

1.6

1 469

108.8

18 表中 wi= xi, w = ?wi. 8i=1 (1)根据散点图判断, y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归 方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),?,(un,vn),其回归直线 v=α +β u 的斜率和截距的最

?? 小二乘估计分别为: ?

? (u ? u ) ? v ? v ?
n i ?1 i i

? (u ? u)
i ?1 i

n

? ?v?? ? u. ,?

2

5

19.已知函数 f(x)=ax+xln x 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 的值; (2)若 k∈Z,且 f ( x) ? k ( x ?1) 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值.

兰州一中 2015-2016-2 学期期末考试试题答案 高二数学(理)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10
6

一、 选择 题 共 10

答案

A

B

B

B

D

C

C

D

A

A

题 ( 本大 小题, 每

小题 4 分,共 40 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 0; 9.6 12. 15. 18

2

13.

1 3

14. —1

三、解答题(本大题共 4 小题,每小题 10 分,共 40 分) 16.解 (1)完成 2×2 列联表如下: 非读书迷 男 女 总计 40 20 60 读书迷 15 25 40 总计 55 45 100

100×(40×25-15×20) K= ≈8.249>6.635, 60×40×55×45
2

2

故有 99%的把握认为“读书迷”与性别有关. 2 (2)将频率视为概率.则从该校学生中任意抽取 1 名学生恰为读书迷的概率 P= . 5

i 3-i ? 2? i?2? ?3? 由题意可知 X~B?3, ?,P (X=i)=C3? ? ? ? ? 5? ?5? ?5?
(i=0,1,2,3).

X 的分布列为 X P
0 27 125 1 54 125 2 36 125 3 8 125

2 6 2 ? 2? 18 均值 E(X)=np=3× = .方差 D(X)=np(1-p)=3× ×?1- ?= . 5 5 5 ? 5? 25
7

10 17. 解 (1)依题意,p1=P(40<X<80)= =0.2, 50

p2=P(80≤x≤120)= =0.7, p3=P(X>120)= =0.1.
由二项分布,在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为
4 1 3 p=C0 4(1-p3) +C4(1-p3) p3=? ? +4×?10? ×?10?=0.947 7. ?10? ? ? ? ?

35 50

5 50

?9?

4

?9?

3

?1?

(2)记水电站年总利润为 Y(单位:万元). ①安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40,故一台发电机运行的概率为 1, 对应的年利润 Y=5 000,E(Y)=5 000×1=5 000. ②安装 2 台发电机的情形. 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5 000-800=4 200,因此 P(Y=4 200)=

P(40<X<80)=p1=0.2;当 X≥80 时,两台发电机运行,此时 Y=5 000×2=10 000,因此 P(Y=
10 000)=P(X≥80)=p2+p3=0.8.由此得 Y 的分布列如下:

Y P

4 200 0.2

10 000 0.8

所以,E(Y)=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840. ③安装 3 台发电机的情形. 依题意,当 40<X<80 时,一台发电机运行,此时 Y=5 000-1 600=3 400,因此 P(Y=3 400) =P(40<X<80)=p1=0.2; 当 80≤X≤120 时,两台发电机运行,此时 Y=5 000×2-800=9 200,因此 P(Y=9 200)=

P(80≤X≤120)=p2=0.7;
当 X>120 时,三台发电机运行,此时 Y=5 000×3=15 000,因此 P(Y=15 000)=P(X>120)=p3 =0.1.因此得 Y 的分布列如下:

Y P

3 400 0.2

9 200 0.7

15 000 0.1

所以,E(Y)=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620.综上,欲使水电站年总利润的均 值达到最大,应安装发电机 2 台. 18. 解: (Ⅰ)由散点图可以判断, y ? c ? d x 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方
8

程类型. (Ⅱ)令 ? ?
8

x ,先建立 y 关于 ? 的线性回归方程.

?? 由于 d

? (? ? ? )( y ? y)
i ?1 i i

? (? ?? )
i ?1 i

8

?

2

108.8 ? 68 , 1.6

?? ? 563 ? 68 ? 6.8 ? 100.6 , ? ? y ?d c
? ? 100.6 ? 68? , 所以 y 关于 ? 的线性回归方程为 y

? ? 100.6 ? 68 x . 因此 y 关于 ? 的线性回归方程为 y
(Ⅲ) (i)由(Ⅱ)知,当 x ? 49 时,

? ? 100.6 ? 68 49 ? 576.6 , 年销量 y 的预报值 y
? ? 576.6 ? 0.2 ? 49 ? 66.32 . 年利润 z 的预报值 z
(ii)根据(Ⅱ)的结果知,年利润 z 的预报值

? ? 0.2(100.6 ? 68 x ) ? x ? ?x ? 13.6 x ? 20.12 . z
所以当 x ?

13.6 ? 取得最大值. ? 6.8 ,即 x ? 46.24 时, z 2

故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大.

19.解 (1)因为 f(x)=ax+xln x,所以 f′(x)=a+ln x+1. 因为函数 f(x)=ax+xln x 的图象在点 x=e 处的切线斜率为 3,所以 f′(e)=3,即 a+ln e+ 1=3,所以 a=1. (2)由(1)知,f(x)=x+xln x, 又 k<

f(x) x+xln x = 对任意 x>1 恒成立, x-1 x-1 x+xln x x-ln x-2 ,则 g′(x)= 2 , x-1 (x-1)

令 g(x)=

令 h(x)=x-ln x-2(x>1), 1 x-1 则 h′(x)=1- = >0,

x

x

所以函数 h(x)在(1,+∞)上单调递增.
9

因为 h(3)=1-ln 3<0,h(4)=2-2ln 2>0, 所以方程 h(x)=0 在(1,+∞)上存在唯一实根 x0,且满足 x0∈(3,4). 当 1<x<x0 时,h(x)<0,即 g′(x)<0; 当 x>x0 时,h(x)>0,即 g′(x)>0, 所以函数 g(x)=

x+xln x 在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, x-1 x0(1+ln x0) x0(1+x0-2) = =x0, x0-1 x0-1

所以[g(x)]min=g(x0)=

所以 k<[g(x)]min=x0∈(3,4),故整数 k 的最大值是 3.

10


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