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【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课件 理 新人教A版


第一节

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1.分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不 同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法.那么完成这 件事共有 N= m+n 种不同方法.

2.分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不

同的方 法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N = m×n 种不同的方法.

1.分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每 一种方法都能完成这件事情,类与类之间是独立的.
2.分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种 方法只是完成这件事的一部分,而未完成这件事,步步之 间是相关联的.

[试一试]

1.从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和 为偶数的不同取法的种数有 A.30 C.10 B.20 D.6 ( )

解析:从 0,1,2,3,4,5 六个数字中,任取两数和为偶数可分为 两类,①取出的两数都是偶数,共有 3 种方法;②取出的 两数都是奇数,共有 3 种方法,故由分类加法计数原理得 共有 N=3+3=6 种. 答案:D

2.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成复数 a+bi,其中虚数有 A.30 个 C.36 个 B.42 个 D.35 个 ( )

解析:∵a+bi 为虚数,∴b≠0,即 b 有 6 种取法,a 有 6 种取法, 由分步乘法计数原理知可以组成 6×6=36 个虚数.
答案:C

1.应用两种原理解题

(1)分清要完成的事情是什么?
(2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成,“类”间 互相独立,“步”间互相联系;
(3)有无特殊条件的限制;
(4)检验是否有重漏.

2.混合问题一般是先分类再分步,分类时标准要明确, 做到不重复不遗漏.

[练一练] 1.(2013· 郑州模拟)在 2012 年奥运选手选拔赛上,8 名男运动

员 参 加 100 米 决 赛 . 其 中 甲 、 乙 、 丙 三 人 必 须 在 1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上,则安排这 8 名运 动员比赛的方式共有________种 解析:分两步安排这 8 名运动员.

第一步: 安排甲、 乙、 丙三人, 共有 1,3,5,7 四条跑道可安排. ∴ 安排方式有 4×3×2=24(种). 第二步:安排另外 5 人, 可在 2,4,6,8 及余下的一条奇数号跑道 安排,所以安排方式有 5×4×3×2×1=120(种). ∴安排这 8 人的方式有 24×120=2 880(种). 答案:2 880

2.(2014· 湖南长郡中学、衡阳八中等十二校一联)用红、黄、 蓝三种颜色去涂图中标号为 1、2、?、9 的 9 个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共

1 4 7

2 5 8

3 6 9

边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为 1、5、9 的小 正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有 ________种.

解析: 把区域分为三部分, 第一部分 1、 5、 9, 有 3 种涂法. 第 二部分 4、7、8,当 5、7 同色时,4、8 各有 2 种涂法,共 4 种涂法;当 5、7 异色时,7 有 2 种涂法,4、8 均只有 1 种涂 法,故第二部分共 4+2=6 种涂法.第三部分与第二部分一 样,共 6 种涂法.由分步乘法计数原理,可得共有 3×6×6 =108 种涂法.
答案:108

1.在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共 有 A.50 个 C.36 个 B.45 个 D.35 个 ( )

解析:利用分类加法计数原理:8+7+6+5+4+3+2 +1=36(个).
答案:C

2.五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室,比赛后都回到 休息室取衣服.由于灯光暗淡,看不清自己的外衣,则至少 有两人拿对自己的外衣的情况有 A.30 种 C.35 种 B .31 种 D.40 种 ( )

2 解析:分类:第一类,两人拿对:2×C5 =20 种;第二类,

三人拿对:C3 5=10 种;第三类,四人拿对与五人拿对一样, 所以有 1 种.故共有 20+10+1=31 种.
答案:B

3. (2013· 三门峡模拟)有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一 个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考, 则监考的方法有 A.8 种 B. 9 种 ( )

C.10 种 D.11 种 解析:设四位监考教师分别为 A,B,C,D,所教班分别为
a,b,c,d,假设 A 监考 b,则余下三人监考剩下的三个班, 共有 3 种不同方法,同理 A 监考 c,d 时,也分别有 3 种不 同方法,由分类加法计数原理共有 3+3+3=9(种). 答案:B

[类题通法]

利用分类加法计数原理解题时应注意
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准,分类标准要 统一,不能遗漏;

(2)分类时,注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某 一类,不能重复.

[ 典例 ] (2014· 本溪模拟 )如图所示的几何体 是由一个正三棱锥 P?ABC 与正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 组合而成,现用 3 种不同颜色对这个 几何体的表面染色 (底面 A 1B 1C1 不涂色) ,要求相邻的面均不同色,则 不同的染色方案共有________种.

分两步完成:第一步先涂三棱锥侧面,第二步涂三棱柱 分 析 侧面,如先涂侧面AB1,由于与面PAB不同色,因而有 两种涂法,剩余两种颜色涂另两个侧面有1种涂法.
[ 解析] 先涂三棱锥 P?ABC 的三个侧面,然后涂三棱柱的三个 1 1 1 侧面,共有 C 1 3× C 2× C 1× C 2= 3×2×1×2=12 种不同的涂法.
[ 答案 ] 12

[类题通法]
利用分步乘法计数原理解决问题时应注意
(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的.
(2)各步中的方法互相依存,缺一不可,只有各步骤都完成 才算完成这件事.

(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.

[针对训练]

在航天员进行的一项太空实验中,先后要实施 6 个程序,其中 程序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 B 和 C 实施时必 须相邻,则实验顺序的编排方法共有 A.24 种 B.48 种 ( )

C.96 种 D.144 种 解析:第一步安排 A 有 2 种方法;第二步在剩余的 5 个位置选
取相邻的两个排 B,C,有 4 种排法,而 B,C 位置互换有 2 种 方法; 第三步安排剩余的 3 个程序,有 A 3 3 种排法,共有
3 2×4×2×A3 =96 种. 答案:C

[ 典例] (2014· 黄冈质检)设集合 I ={1,2,3,4,5}.选择集合 I 的两个非空子集 A 和 B ,若集合 B 中最小的元素大于集合 A 中 最大的元素,则不同的选择方法共有 A.50 种 C .48 种 B.49 种 D.47 种 ( )

点 拨

先按照从集合I中选出2个、3个、4个、5个元素组成集合A, B中的元素来分类,再把每类中的元素分配给集合A,B. 例如对于选出3个元素的情形,可把这3个元素从小到大 排列,中间有2个空,用一个隔板将其隔开,一边给集合 A,一边给集合B,方法种数是2.

[ 解析 ] 从 5 个元素中选出 2 个元素,小的给集合 A ,大的给集 合 B ,有 C 2 5= 10 种选择方法; 从 5 个元素中选出 3 个元素,有 C 3 5=10 种选择方法,再把这 3 个元素从小到大排列,中间有 2 个空,用一个隔板将其隔开,一边给 集合 A ,一边给集合 B ,方法种数是 2,故此时有 10×2= 20 种选择 方法; 从 5 个元素中选出 4 个元素,有 C 4 5= 5 种选择方法,从小到大排 列,中间有 3 个空,用一个隔板将其隔开,一边给集合 A ,一边给集 合 B ,方法种数是 3,故此时有 5× 3= 15 种选择方法; 从 5 个元素中选出 5 个元素,有 C 5 5= 1 种选择方法,同理隔开方 法有 4 种,故此时有 1×4=4 种选择方法. 根据分类加法计数原理,总计为 10+ 20 + 15+ 4 = 49 种选择方 法.故选 B .

本例中条件若变为“A={1,2,3,4},B={5,6,7},C={8,9}现从 中取出两个集合,再从这两个集合中各取出一个元素,组成 一个含有两个元素的集合”,则可以组成多少个集合?
1 解:(1)选集合 A,B,有 C1 C 4 3=12; 1 (2)选集合 A,C,有 C1 C 4 2 = 8; 1 (3)选集合 B,C,有 C1 3C2=6;

故可以组成 12+8+6=26 个集合.

[类题通法]

在解决综合问题时,可能同时应用两个计数原理,即分 类的方法可能要运用分步完成,分步的方法可能会采取分类 的思想求.分清完成该事情是分类还是分步,“类”间互相 独立,“步”间互相联系.

[针对训练]

上海某区政府召集 5 家企业的负责人开年终总结经验交流会, 其中甲企业有 2 人到会,其余 4 家企业各有 1 人到会,会上推 选 3 人发言,则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为 ________.
2 解析:若 3 人中有一人来自甲企业,则共有 C1 2C4种情况,若 3

人中没有甲企业的,则共有 C3 4种情况,由分类加法计数原理可
2 3 得,这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况共有 C1 2C 4 + C 4 =

16(种).

答案:16

[课堂练通考点]
1.已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平面个数为 A.40 C.13 B.16 D.10 ( )

解析:分两类情况讨论: 第 1 类,直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同 的平面; 第 2 类,直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同 的平面. 根据分类加法计数原理知,共可以确定 8+5=13 个不同的 平面. 答案:C

2.如图所示,从甲地到乙地有 3 条公路可走, 从乙地到丙地有 2 条公路可走,从甲地不经 过乙地到丙地有 2 条水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲 地到丙地的走法种数分别为 A.6,8 C.5,2 B.6,6 D.6,2 ( )

解析:从甲地经乙地到丙地,分两步: 第 1 步,从甲地到乙地,有 3 条公路; 第 2 步,从乙地到丙地,有 2 条公路. 根据分步乘法计数原理,有 3×2=6 种走法. 从甲地到丙地,分两类: 第 1 类,从甲地经乙地到丙地,有 6 种走法; 第 2 类, 从甲地不经过乙地到丙地, 有 2 条水路, 即有 2 种走法. 根据分类加法计数原理,有 6+2=8 种走法.
答案:A

3. (2014· 临沂模拟)如图所示的阴影部分由方 格纸上 3 个小方格组成,我们称这样的图 案为 L 型(每次旋转 90° 仍为 L 型图案), 那么在由 4×5 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的 L 型图案的个数是 A.16 B.32 ( )

C.48 D.64 解析:每四个小方格(2×2 型)中有“L”型图案 4 个,共有 2×2
型小方格 12 个,所以共有“L”型图案 4×12=48(个). 答案:C

4.(2013· 济南模拟)集合 P={x,1},Q={y,1,2},其中 x,y∈ {1,2,3,?,9},且 P?Q.把满足上述条件的一对有序整数对 (x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是 A.9 C.15 B.14 D.21 ( )

解析:当 x=2 时,x≠y,点的个数为 1×7=7(个);当 x≠2 时, x=y,点的个数为 7×1=7(个),则共有 14 个点,故选 B .

5. 现有 4 种不同颜色对如图所示的四个部分进行着 色,要求有公共边界的两块不能用同一种颜色, 则不同的着色方法共有多少种?
解:先给最上面的一块着色,有 4 种方法,再给中间左边一 块着色,有 3 种方法,再给中间右边一块着色,有 2 种方法, 最后再给下面一块着色,有 2 种方法,根据分步乘法计数原 理,共有 4×3×2×2=48 种方法.


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