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2014-2015年北京海淀区高三上学期期末考试数学(理科)试题及答案


2014-2015 年北京海淀区高三上学期期末考试试题及答案

海淀区高 三年级 第一学 期期末 练习



学(理科)

2015.1

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。 (1)抛物线 x 2 ? ?2 y 的焦点坐标是( (A) (?1, 0) (B) (1, 0) ) (C) (0, ? )

1 2

(D) (0, )

1 2

(2)如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为

y A 1 O x

z ,则复数 z 2 ? (



-2

(A) ?3 ? 4i

(B) 5 ? 4i

(C) 5 ? 4i

(D) 3 ? 4i

( 3 )当向量 a ? c ? (?2, 2) , b ? (1, 0) 时, 执 行如图所示的程序框图,输出的 i 值为( )

(A) 5

(B) 4

(C) 3

(D ) 2 )

(4) 已知直线 l1 : ax ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 ,l2 : x ? ay ? 2 ? 0 . 若 l1 ? l2 , 则实数 a 的值是 (

-1-

(A) 0

(B ) 2 或 ? 1

(C) 0 或 ?3

(D) ?3

?2 x ? y ? 2≤0, ? (5)设不等式组 ? x ? y ? 1 ≥ 0, 表示的平面区域为 D . 则区域 D 上的点到坐标原点的距离的 ? x ? y ? 1≥ 0 ?
最小值是( )

(A) 1

(B )

2 2

(C)

1 2

(D ) 5

(6)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥四个 面的面积中最大的是( )

4

正(主)视图

侧(左)视图

3 4 俯视图
(A) 2 34 (B) 12 (C) 8 3 (D ) 6 2

(7)某堆雪在融化过程中,其体积 V (单位:

V

m )与融化时间 t (单位: h )近似满足函数
关系:V (t ) ? H (10 ?

3

1 3 t ) ( H 为常数) ,其 10

图象如图所示. 记此堆雪从融化开始到结束的 平均融化速度为 v(m3 / h) . 那么瞬时融化速 度等于 v(m3 / h) 的时刻是图中的( )
O t1 t2 t3 t4 100 t

(A) t1

(B) t 2

(C) t3

(D ) t 4

-2-

(8)已知点 A 在曲线 P : y ? x2 ( x ? 0) 上, 若线段 OM ,

A 过原点 O ,且与 y 轴的另一个交点为 M .

A 和曲线 P 上分别存在点 B 、 点 C 和点 D , 使得四边形 ABCD (点 A, B, C , D


顺时针排列) 是正方形, 则称点 A 为曲线 P 的 “完美点” . 那么下列结论中正确的是 ( (A)曲线 P 上不存在“完美点” (B)曲线 P 上只存在一个“完美点” ,其横坐标大于 1

1 且小于 1 2 1 (D)曲线 P 上存在两个“完美点” ,其横坐标均大于 2
(C)曲线 P 上只存在一个“完美点” ,其横坐标大于

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)在 ( ? 数字作答) (10) 在极坐标系中, 直线 ? sin ? ? 3 被圆 ? ? 4sin ? 截 得的弦长为______. (11)若双曲线 x ?
2

B
. (用

1 x

x )6 的展开式中,常数项是

C

O

D A

y2 ? 1的一条渐近线的倾斜角为 m
.

D1 A1 B1

C1

60 ? ,则 m ?

( 12 ) 如 图 所 示 , AD 是

O 的 切 线 ,
π , 那 么 4
A D E B C

AB ? 2 , A? C
?C A D ? _______.

, ?ACB ? 3

8 (13)在等比数列 {an } 中,若 a1 ? ?24 , a4 ? ? , 9 则公比 q ? ________;当 n ? ________时, {an } 的前 n 项积 最大. .

BC 的中点. 动点 P 在直线 BD1 (14)如图所示,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,点 E 是边

-3-

(除 B, D1 两点)上运动的过程中,平面 DEP 可能经过的该正方体的顶点是 (写出满足条件的所有顶点)

.

y 3 2

O

x0

x

三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、 演算步骤或证明过程。 (15) (本小题满分 13 分) 函数 f ( x) ? cos( πx ? ? )(0 ? ? ? (Ⅰ )写出 ? 及图中 x0 的值; (Ⅱ )设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 在区间 [?

π ) 的部分图象如图所示. 2

1 3

1 1 , ] 上的最大值和最小值. 2 3

(16) (本小题满分 13 分) 某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》 ,共有 50 名同学选修,其中男同学 30 名,女同学 20 名. 为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性别采用分层抽样的方法抽 取 5 人进行考核. (Ⅰ)求抽取的 5 人中男、女同学的人数; (Ⅱ)考核的第一轮是答辩,顺序由已抽取的甲、乙等 5 位同学按抽签方式决定. 设甲、乙两 位同学间隔的人数为 X , X 的分布列为

X P
求数学期望 EX ;

3

2

1

0

a

b

3 10

2 5

(Ⅲ)考核的第二轮是笔试:5 位同学的笔试成绩分别为 115,122,105, 111,109;结合 第一轮的答辩情况,他们的考核成绩分别为 125,132,115, 121,119. 这 5 位同学笔试成 绩与考核成绩的方差分别记为 s1 , s2 ,试比较 s1 与 s2 的大小. (只需写出结论)
2 2 2 2

-4-

(17) (本小题满分 14 分) 如图所示,在三棱柱 ABC ? A 为正方形, BB1C1C 为菱形, 1B 1C1 中, AA 1B 1B

?BB1C1 =60 ,平面 AA1B1B ? 平面 BB1C1C .
(Ⅰ)求证: B1C ? AC1 ; (Ⅱ)设点 E , F 分别是 B1C, AA1 的中点,试判断直线 EF 与平面 ABC 的位置关系,并说明理 由; (Ⅲ)求二面角 B ? AC1 ? C 的余弦值.

(18) (本小题满分 13 分) 已知椭圆 M :

x2 y 2 ? ? 1 ,点 F1 , C 分别是椭圆 M 的左焦点、左顶点,过点 F1 的直 4 3

线 l (不与 x 轴重合)交 M 于 A, B 两点. (Ⅰ)求 M 的离心率及短轴长; (Ⅱ)是否存在直线 l ,使得点 B 在以线段 AC 为直径的圆上,若存在,求出直线 l 的方 程;若不存在,说明理由.

(19) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a cos x ? x sin x , x ? [ ?

π π , ]. 2 2

(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并证明你的结论; (Ⅱ)求集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数; (Ⅲ)当 1 ? a ? 2 时,问函数 f ( x ) 有多少个极值点?
C

(只需写出结论) (20) (本小题满分 14 分) 已知集合 S ? {a1 , a2 , a3 ,
E

C1

, an }(n ? 3) ,集合
B A F A1 B1

T ? {( x, y) | x ? S , y ? S , x ? y} 且满足:

-5-

?ai , a j ? S (i, j ? 1,2,3, , n, i ? j), (ai , a j ) ?T 与 (a j , ai ) ?T 恰有一个成立. 对于 T 定义
?1, (a, b) ? T , dT (a, b) ? ? ?0, (b, a) ? T ,
lT (ai ) ? dT (ai , a1 ) ? dT (ai , a2 ) ???? ? dT (ai , ai?1 ) ? dT (ai , ai?1 ) ???? ? dT (ai , an )
( i ? 1, 2,3,

, n ).

(Ⅰ)若 n ? 4 , (a1 , a2 ),(a3 , a2 ),(a2 , a4 ) ?T ,求 lT (a2 ) 的值及 lT (a4 ) 的最大值; (Ⅱ)从 lT (a1 ), lT (a2 ), ???, lT (an ) 中任意删去两个数,记剩下的 n ? 2 个数的和为 M . 求 证: M ?

1 n(n ? 5) ? 3 ; 2

(Ⅲ)对于满足 lT (ai ) ? n ? 1( i ? 1, 2,3,

, n )的每一个集合 T ,集合 S 中是否都存在

三个不同的元素 e, f , g ,使得 dT (e, f ) ? dT ( f , g ) ? dT ( g , e) ? 3 恒成立,并说明理由.

海淀区高三年级第一学期期末练习

数学(理)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)B (2)D (6)A (3)B (7)C

2015.1

(4)C (8)B

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第二空 3 分) (9) 15 (12) (10) 2 3 (13) (11) 3 (14) A1 , B1 , D

2π 3

1 ;4 3

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分)

-6-

解: (Ⅰ ) ? 的值是

π . 6 5 x0 的值是 . 3 1 3 1 3

??????2 分 ??????5 分

(Ⅱ )由题意可得: f ( x ? ) ? cos( π(x ? ) ?

π π ) ? cos( πx ? ) ? ? sin πx . 6 2
??????7 分

所以 f ( x) ? f ( x ? ) ? cos( πx ?

π ) ? sin πx 6 π π ?cos πx c o s ? s i πn xs i n ? s i πn x 6 6 1 3

??????8 分

?

3 1 cos πx ? sin πx ? sin πx 2 2 3 3 π cos πx ? sin πx ? 3 cos( πx ? ) . 2 2 3
??????10 分

?
因为 x ? [?

1 1 , ], 2 3 π π 2π 所以 ? ? πx ? ? . 6 3 3 π 1 所以 当 πx ? ? 0 ,即 x ? ? 时, g ( x) 取得最大值 3 ; 3 3
当 πx ?

π 2π 1 3 ? ,即 x ? 时, g ( x) 取得最小值 ? . 3 3 3 2

??????13 分

(16) (共 13 分) 解:(Ⅰ)抽取的 5 人中男同学的人数为

5 5 ? 30 ? 3 ,女同学的人数为 ? 20 ? 2 . 50 50
??????4 分

(Ⅱ)由题意可得: P( X ? 3) ? 因为 a ? b ? 所以 b ?

2 3 A2 A3 1 ? . 5 A5 10

??????6 分

3 2 ? ? 1, 10 5
??????8 分

1 . 5

所以 EX ? 3 ?

1 1 3 2 ? 2 ? ? 1? ? 0 ? ? 1 . 10 5 10 5

??????10 分

-7-

2 2 (Ⅲ) s1 . ? s2

??????13 分

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)连接 BC1 .
C C1 G

在正方形 ABB1 A 1. 1 中, AB ^ BB
E

因为 平面 AA 1B 1B ? 平面 BB 1C1C ,平面 AA 1B 1B 平面 BB1C1C ? BB1 , AB ? 平面 ABB1 A 1, 所以 AB ^ 平面 BB1C1C . 因为 B1C ? 平面 BB1C1C , 所以 AB ^ B1C . ??????2 分 ??????1 分
A B F A1 B1

在菱形 BB1C1C 中, BC1 ^ B1C . 因为 BC1 ? 平面 ABC1 , AB ? 平面 ABC1 ,

C

C1

BC1


AB = B ,


B1C ^




A

B A1

B1

ABC1
??????4 分 因为 AC1 ? 平面 ABC1 , 所以 B1C ? AC1 . (Ⅱ) EF ∥平面 ABC ,理由如下: 取 BC 的中点 G ,连接 GE, GA . 因为 E 是 B1C 的中点, 所以 GE ∥ BB1 ,且 GE = 因为 F 是 AA1 的中点,

.

??????5 分 ??????6 分

1 BB1 . 2

-8-

所以 AF =

1 AA1 . 2

在正方形 ABB1 A 中, AA1 ∥ BB1 , AA1 = BB1 . 1 所以 GE ∥ AF ,且 GE = AF . 所以 四边形 GEFA 为平行四边形. 所以 EF ∥ GA . 因为 EF ? 平面 ABC , GA ? 平面 ABC , 所以 EF ∥平面 ABC . (Ⅲ)在平面 BB1C1C 内过点 B 作 Bz ^ BB1 . 由 (Ⅰ) 可知: AB ^ 平面 BB1C1C . 以点 B 为坐标原点, 分别以 BA, BB1 所在的直线为 x, y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz ,设 A(2, 0, 0) ,则 B1 (0, 2,0) . 在菱形 BB1C1C 中, ?BB1C1 =60 ,所以 C(0, ?1, 3) , C1 (0,1, 3) . 设平面 ACC1 的一个法向量为 n ? ( x, y,1) . 因为 ? ??????9 分 ??????8 分

? ?n ? AC ? 0, ? ?n ? CC1 ? 0

即?

?( x, y,1) ? (?2, ?1, 3) ? 0, ? ? ?( x, y,1) ? (0, 2, 0) ? 0,

? 3 , ?x ? 所以 ? 2 即 ? y ? 0, ?
n?( 3 , 0,1) . 2
z C C1 E

??????11 分

由(Ⅰ)可知: CB1 是平面 ABC1 的一个法向 量. 所以 ??????12 分

cos ? n, CB1 ??

n ? CB1 n ? CB1

?

(

3 , 0,1) ? (0,3, ? 3) 7 2 ?? 7 3 A ?1 ? 9 ? 3 4 x

B F A1

B1

y

.

-9-

所以 二面角 B ? AC1 ? C 的余弦值为

7 . 7

??????14 分

(18) (共 13 分)

x2 y 2 解: (Ⅰ)由 ? ? 1 得: a ? 2, b ? 3 . 4 3
所以 椭圆 M 的短轴长为 2 3 . 因为 c ? a ? b ? 1,
2 2

??????2 分

所以 e ?

c 1 1 ? ,即 M 的离心率为 . a 2 2

??????4 分

2 2 x0 y0 ? ?1. (Ⅱ)由题意知: C (?2,0), F1 (?1,0) ,设 B( x0 , y0 )(?2 ? x0 ? 2) ,则 4 3

??????7 分 因为 BF 1 ? BC ? (?1 ? x0 , ? y0 ) ? (?2 ? x0 , ? y0 )
2 2 ? 2 ? 3x0 ? x0 ? y0

??????9 分

? π 2

1 2 x0 ? 3 x0 ? 5 ? 0 , 4

??????11 分

所以 ?B ? (0, ) . 所以 点 B 不在以 AC 为直径的圆上,即:不存在直线 l ,使得点 B 在以 AC 为直径的圆上. ??????13 分

另解:由题意可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) .

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 由? 4 可得: (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 . 3 ? x ? my ? 1 ?

- 10 -

所以 y1 ? y2 ?

6m ?9 , y1 y2 ? . 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

??????7 分

所以 CA ? CB ? ( x1 ? 2, y1 ) ? ( x2 ? 2, y2 )

? (m2 ? 1 )y y? 2 y)? 1 1 y 2 ? m( 1
? (m2 ? 1) ?9 6m ? m? 2 ?1 2 3m ? 4 3m ? 4
??????9 分

?
因为 cos C ?

?5 ?0. 3m 2 ? 4

CA ? CB CA ? CB

? (?1, 0) ,

所以 ?C ? ( , π ) .

π 2

??????11 分

所以 ?B ? (0, ) . 所以 点 B 不在以 AC 为直径的圆上,即:不存在直线 l ,使得点 B 在以 AC 为直径的圆上. ??????13 分

π 2

(19) (共 13 分) 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 是偶函数,证明如下: 对于 ?x ? [? ??????1 分 ??????2 分

π π π π , ] ,则 ? x ? [? , ] . 2 2 2 2

因为 f (? x) ? a cos(? x) ? x sin(? x) ? a cos x ? x sin x ? f ( x) , 所以 f ( x ) 是偶函数. (Ⅱ)当 a ? 0 时,因为 f ( x) ? a cos x ? x sin x ? 0 , x ? [ ? 所以 集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 0. 当 a ? 0 时,令 f ( x) ? x sin x ? 0 ,由 x ? [ ? 得 x ? 0.
- 11 -

??????4 分

π π , ] 恒成立, 2 2
??????5 分

π π , ], 2 2

所以 集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 1.

??????6 分

当 a ? 0 时,因为 f '( x) ? ?a sin x ? sin x ? x cos x ? (1 ? a) sin x ? x cos x ? 0, x ? (0, ) ,

π 2

π 2 π π 因为 f (0) ? a ? 0, f ( ) ? ? 0 , 2 2 π 所以 f ( x ) 在 (0, ) 上只有一个零点. 2
所以 函数 f ( x ) 是 [0, ] 上的增函数. 由 f ( x ) 是偶函数可知,集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 2.

??????8 分

??????10 分

综 上 所 述, 当 a ? 0 时 , 集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中 元 素 的个 数 为 0 ; 当 a ? 0 时 , 集 合 中元素的个数为 1 ;当 a ? 0 时,集合 A ? {x | f ( x) ? 0} 中元素的个数为 A ? { x | f ( x)? 0} 2. (Ⅲ)函数 f ( x ) 有 3 个极值点. (20) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为 (a1 , a2 ),(a3 , a2 ),(a2 , a4 ) ?T , 所以 dT (a2 , a1 ) ? 0 , dT (a2 , a3 ) ? 0 , dT (a2 , a4 ) ? 1 ,故 lT (a2 ) ? 1 . ??????1 分 因为 (a2 , a4 ) ?T ,所以 dT (a4 , a2 ) ? 0 . 所以 lT (a4 ) ? dT (a4 , a1 ) ? dT (a4 , a2 ) ? dT (a4 , a3 ) ? 1 ? 0 ?1 ? 2 . 所以 当 (a2 , a4 ),(a4 , a1 ),(a4 , a3 ) ?T 时, lT (a4 ) 取得最大值 2 . (Ⅱ)由 dT (a, b) 的定义可知: dT (a, b) ? dT (b, a) ? 1. 所以 ??????3 分 ??????13 分

?l
i ?1

n

T

(ai ) ? [dT (a1 , a2 ) ? dT (a2 , a1 )] ? [dT (a1 , a3 ) ? dT (a3 , a1 )]

? ??? ? [dT (a ) d , a?)??? ]? 1 ,a n ? T (a n 1
1 n(n ? 1) . 2

d [ T

? 1 n

a (

? a , n

) d T

? n 1 n

a ( a ,

)]

2 ? Cn ?

??????6 分

设删去的两个数为 lT (ak ), lT (am ) ,则 lT (ak ) ? lT (am ) ?

1 n(n ? 1) ? M . 2

- 12 -

由题意可知: lT (ak ) ? n ?1, lT (am ) ? n ?1 ,且当其中一个不等式中等号成立,不放设

lT (ak ) ? n ?1 时, dT (ak , am ) ? 1 , dT (am , ak ) ? 0 .
所以 lT (am ) ? n ? 2 . 所以 ??????7 分

lT (ak ) ? lT (am ) ? n ?1 ? n ? 2 ? 2n ? 3 .
1 1 n(n ? 1) ? M ? 2n ? 3 ,即 M ? n(n ? 5) ? 3 . 2 2
??????8 分

所以 lT (ak ) ? lT (am ) ?

(Ⅲ)对于满足 lT (ai ) ? n ? 1( i ? 1, 2,3,

, n )的每一个集合 T ,集合 S 中都存在三个

不同的元素 e, f , g ,使得 dT (e, f ) ? dT ( f , g ) ? dT ( g , e) ? 3 恒成立,理由如下: 任取集合 T ,由 lT (ai ) ? n ? 1 ( i ? 1, 2,3,

, n )可知, lT (a1 ), lT (a2 ), ???, lT (an ) 中

存在最大数,不妨记为 lT ( f ) (若最大数不唯一,任取一个). 因为 lT ( f ) ? n ? 1 , 所以 存在 e ? S ,使得 dT ( f , e) ? 0 ,即 (e, f ) ? T . 由 lT ( f ) ? 1 可设集合 G ? {x ? S | ( f , x) ? T } ? ? . 则 G 中一定存在元素 g 使得 dT ( g , e) ? 1 . 否则, lT (e) ? lT ( f ) ? 1 ,与 lT ( f ) 是最大 数矛盾. 所以 dT ( f , g ) ? 1, dT ( g , e) ? 1 ,即 dT (e, f ) ? dT ( f , g ) ? dT ( g , e) ? 3 . ??????14 分

- 13 -


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