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2014年6月广西学业水平考试数学试题(word版有答案)


2014 年数学学业水平考试试题
一、选择题(3× 20=60) 1. 已知集合 A={1,2},B={3} ,则 A∪ B= A.{1,2,3} B.{1,2} C.{3} D.

?
D.10 第 3 题图
开始

2. 已知 i 是虚数单位,复数 z1 ? 1 ? 2i,z2 ? 3 ? 4i, 那么 z1 ? z2 ? A. 5 ? 5i B. 4 ? 6i C. 10i 3. 一个圆柱如右图放置,则它的俯视图是

a ?1
A. B. C. D. 4. 使角的顶点与直角顶点坐标系的原点重合,始边与 x 轴的非负半轴 重合,则 120 是 A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 5. 运行如右程序框图,则输出的结果是 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 6. 等差数列 1,4,7,?的第 4 项是 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 函数 y=cosx,x∈ R 的最小正周期是 A. 4 ? B. 2 ? C. ? D. ?
2

a ?a?2 a ? 5?
是 输出 否

第 5 题 图

a

结束

8. 某中学共有 1000 名学生,其中高一年级 400 人,该校为了了解本校学生近视情况及其形 成原因, 用分层抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为 100 的样本进行调查, 则应从高 一年级抽取的人数为 A. 10 B. 12 C. 20 D. 40 9. 命题“若 x>2,则 x>1”的逆命题是 A. 若 x>1,则 x>2 B. 若 x≤2,则 x≤1 C. 若 x≤1,则 x≤2 D. 若 x<2,则 x<1 10. 已知直线 l1:y ? 2x ?1 若 l1 ∥l2 ,则实数 a = ,l2 ? ax ? 3, A. -3 B.-2 C.2 C. {x|x>1} C.
2 2

D.3 D.{x|x≥1} D.
3 2

11. 函数 f ( x) ? x ?1 的定义域是 A.{x|x<1} B. {x|x≤1} 12. 2cos 30 ? 1 的值是
2

A. ? 1

B. 1
2

2

13.已知向量 a ? (2 则实数 ? 的值为 , ? 6), b ? (3 ,? ),且a ? b , A.-9 B.-1 C.1 D.9 14. 下列函数中,是奇函数的为 A. y ? x
2

B. y ? ?
2 2

1 x

C. y ? 2

x

D. y ? x ? 1

15. 圆 ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 2 的圆心坐标和半径长分别为

sin ? ? cos ? ? 16. 已知 t a n ? ? 2,则 sin ? ? cos ?
A.-3
2

A.(2,3)和 2

B.(-2,-3)和 2

C.(2,3)和 2

D. (-2,-3)和 2

B.-1

C.1

D.3

17. 函数 f ( x) ? x ? 2x ? 3 的零点是 A. x=-1 和 x=3 B. x=-3 和 x=1 C. ( -1,0)和(3,0) D. (-3,0)和(1,0)
1

2 2 18. 双曲线 x ? y ? 1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等于 1, 那么 P 到另一个焦点的距离为

16

4

C. 9 ? x ? y ? 2 ? 0, 19.设变量 x、y 满足约束条件 ? ? x ? y ? 0, 则z ? 6 x ? y 的最小值为 ? x ? 0, ? A. -8 B. 0 C. -2

A. 5

B. 7

D.17

20. 为了得到函数 y ? 3sin( x ? ? ) 的图像,只要把函数 y ? 3sin( x ? ) 上的所有点 5 5 2 ? A. 向左平行移动 个单位长度 B. 向右平行移动 2? 个单位长度 C. 向左平行移动 ? 个单位长度 5 二、填空题(3× 4=12) 21. 已知函数 f ( x) ? x ? 3,则f (3) ? . 22. 在右图的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部 份的概率是 . 23. 在 ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 若 a ? 13,b ? 4,A ? ? ,则c ? . 3
2

?

D. -7

5

5 ? D. 向右平行移动 个单位长度 5

24. 函数 f ( x) ?

1 3 x ? x ? 5,x ? R 的单调减区间是 3

.

三、解答题(6× 2+8× 2=28) 25. 在等比数列 {an } 中,已知 a1 ? 6 , a2 ? 12 ,求数列 {an } 的通项公式. 26. 一个盒子里装有标号分别为 1,2,3,4 的 4 张标签,从中随机同时抽取两张标签,求 标签上的数字为相邻整数的概率. 27. 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 ,PB ? PD ? 2, E 是 PA 的中点, PA ? 6, (1)证明:PC//平面 BDE; (2)求三棱锥 P-BCE 的体积. (锥体体积公式 V= P

1 Sh,其中 S 为底面面积,h 为高) 3

E D A B C

28. 已知椭圆 E: x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3 ,过左焦点作 x 轴的垂线交椭圆于 A、 a b 2 B 两点,且|AB|=1. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 P、Q 是椭圆 E 上两点,P 在第一象限,Q 在第二象限,且 OP⊥ OQ,其中 O 是 坐标原点. 当 P、Q 运动时,是否存在定圆 O,使得直线 PQ 都与定圆 O 相切?若 存在,请求出圆 O 的方程;若不存在,请说明理由.

2

2

2

2014 年 6 月广西学业水平考试数学试题参考答案 1-4:ABCB 13-16:CBAD 21. 6 22. 5-8:ACBD 17-20:ACDB 23. 3 或 1 9-12:ACDB

1 2

24.(-1,1)

25.解

q?

a2 12 ? ? 2, an ? a1qn?1 ? 6 ? 2n?1 a1 6
所求事件概率为P=

2 26.解 基本事件总数为 C4 ? 6 种,数字为相邻整数的基本事件有:12,23,34

共3种

3 1 ? 6 2

P

27.(1)证:连接AC交BD于O, 由已知得O是AC中点,又E是PA中点 ? 在 PAC 中有 PC / / EO

EO ? 平面BDE,PC? 平面BDE ?PC//平面BDE
(2) 解法一:VP?BCE ? VB?PCE

E D A O B C

PB ? AB ? 2,E是PA中点, ?PA ?BE 同理可得PA ?DE 所以PA ? 平面BDE,又EO? 平面BDE ?PA ? PC 所以PA ?EO,又EO//PC, 即 APC是直角
由已知可求得AC=2 3 所以S EPC ?

2 2 所以PC= AC ?PA= 6

1 3 PE ? PC ? 2 2 由已知显然 BD ? AC , PBA ≌ PDA 所以EB=ED 所以 BD ? 平面PAC,所以BO? 平面PEC, ? ? 由已知可得 BAD是正 ,BD=2,BO=1 1 1 3 1 VB ? PCE= S EPC ?BO= ? ?1= 3 3 2 2
(2)解法二:

所以 BD ? EO

PB ? AB ? 2,E是PA中点, ?PA ?BE 同理可得PA ?DE 所以PA ? 平面BDE,又EO? 平面BDE ?PA ? PC 所以PA ?EO,又EO//PC, 即 APC是直角
2 2 所以PC= AC ?PA= 6=PA ? PO ? 面A B C D 又? o为AC中 点 ? PO ? AC

由已知可求得AC=2 3

PO= 3 即为点 P 到平面 ABC 的距离

3

又因为 E 为 PA 中点,所以 E 到平面 ABC 的距离=

1 3 PO ? 2 2

? VP ?B C E ? VA ?B C E ? VE ?A B C ? 1 3 1 1 3 3 1 S ?A B C ? ? ? ?2?2? ? ? 3 2 3 2 2 2 2

28.解 (1) 1 1 1 3 c 3 c2 4 3 4 (-c, ) 因为 e= ,所以 = ,据题意 在椭圆上,则 2+ 2 =1,于是 + 2 =1, 2 a 2 a b 4 b 2 解得 b=1,因为 c ?

x2 故椭圆的方程为 +y2=1. 4

3 a , a 2 ? b2 ? c2 解得 a 2 ? 4 2

x2 (2)设 PQ 方程为 y=kx+m 代入椭圆方程 +y2=1. 4 化简得(4k ? 1) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 设 P(x1,y1) Q(x2,y2) 由 韦 达 2 y定 1y 2 ? (kx1 ? m )(kx 2 ? m ) ? k x 1x 2 ? 理 得
2 2 2

km(x 1 ? x 2 ) ? m

2

m 2 ? 4k 2 ? 4k 2 ? 1

x1 ? x 2 ?

? 8km 4k 2 ? 1

x 1x 2 ?

4m 2 ? 4 4k 2 ? 1

? 又 ? x 1x 2?y 1y 2 ? 0
? OP ? 0Q

?

4 4m 2 ? 4 ? m 2 ? 4k 2 ? 0 化简得 m 2 ? (k 2 ? 1) 2 5 4k ? 1
2

假设存在定圆 O 与直线 PQ 相切,半径为 r,则圆心到直线的距离 d=r

4 2 (k ? 1) m 4 2 2 5 为定值 r ?d ? 2 ? ? 2 5 k ?1 k ?1 4 2 2 所以当 P,Q 运动时, 存在定圆 O: x ? y ? 使得直线 PQ 与定圆 O 相切。 5

4


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