2[1].2.3

直线和平面平行的 性质定理
绍兴市稽山中学
1

一、复习
(1)直线和平面有那些位置关系?
a a

a
A

α
直线在平面α内

α

α
直线与平面α 平行
a∥α无交点

? a α

有无数个交点

直线与平面α 相交 a ∩ α= A 有一个交点

（2）怎样判定直线和平面平行？
①定义. ②判定定理（线线平行
a
b α

线面平行）.

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? ? a // b ?

（3）如果一条直线和一个平面平行，那么这条 直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a b

a b α

α

平行

异面

（4）已知直线 a∥平面α，如何在平面α内 找出和直线 a 平行的一条直线？

过直线a作一平面与已知平面相交，则 交线为所求.

二、 直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行.

? ? a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? ? b?

a // ?

β

a

b

简称：线面平行? 线线平行

α

线线平行

线面平行 (1)“线面平行

? 线线平行”

a ??? ? b ? ? ? ? a∥α ? a // b ?
证线面平行关键

? ? (2) a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? ? b?
(3) 在有线面平行的条件

a // ?

在于找线线平行

或要证线线平行时，

（中位线、平行四边形）

练习: (1)如果一条直线和一个平面平行, 这个平 面 内是否只有一条直线和已知直线平行呢?

(不是)
平面内哪些直线都和已知直线平行? 有几条?

(有无数条)

(2)如果a∥α, 经过a 的一组平面分别和 α相交于b、c、d …,b、c、d …是一组 平行线吗？为什么？
(平行，线面平行的性质定理)

(3)平行于同一平面的两条直线是否平行？
(不一定) (4)过平面外一点与这平面平行的直线 有多少条？

(无数条)

例题讲解： 例1有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′． （1）要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和 棱BC将木料锯开，应怎样画线？ （2）所画的线和面AC有什么关系？
D?
F

A?

P

C?

D A

E

B?

C

B

例题讲解： 例2已知直线 a∥直线b，直线 a∥平面α, b ? α 求证：b∥平面α 证明：过a 作平面β交 平面α于直线 c
∵ a∥ α ∴ a∥ c
又 ∵ a∥ b ∴ b∥ c
∵ b ? α, c

β
a

b

α

c

? α

∴b∥α.

例3 如果两个相交平面分别经过两条平行直线中 的一条，那么它们的交线和这两条直线平行.
已知:平面α∩ 平面β= l, a a∥l , b∥l. 证明：∵a∥b，b ?β，a

?b α,
β ?

β, ? a∥b（如图）求证：

∴a∥β 又∵a ?α，平面α∩ 平面β= l
∴a∥l

l

同理b∥l
故a∥l , b∥l .

a

b
β

α

练习：
（1）直线 a∥平面α，平面α内有 n 条互相平行的直线， 那么这 n 条直线和直线 a ( C ) （A）全平行 （C）全平行或全异面 （B）全异面 （D）不全平行也不全异面

（2）直线 a∥平面α，平面α内有无数条直线 交于 一点，那

么这无数条直线中与直线 a 平行的（B ）
（A）至少有一条 （C）有且只有一条 （B）至多有一条 （D）不可能有

小结：
（1）判定定理和性质定理应用时不要混淆；

（2）证线面平行，用判定定理，证线线平行，用性质
定理； （3）判定和性质定理同时用来推出线面平行或线线平行， 如要证：线线平行，可由
判定 性质

线线平行

线面平行

线线平行