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直线和平面平行的 性质定理
绍兴市稽山中学
1

一、复习
(1)直线和平面有那些位置关系?
a a

a
A

α
直线在平面α内

α

α
直线与平面α 平行
a∥α无交点

? a α

有无数个交点

直线与平面α 相交 a ∩ α= A 有一个交点

(2)怎样判定直线和平面平行?
①定义. ②判定定理(线线平行
a
b α

线面平行).

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? ? a // b ?

(3)如果一条直线和一个平面平行,那么这条 直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系?
a b

a b α

α

平行

异面

(4)已知直线 a∥平面α,如何在平面α内 找出和直线 a 平行的一条直线?

过直线a作一平面与已知平面相交,则 交线为所求.

二、 直线和平面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经 过这条直线的平面和这个平面相交,那 么这条直线和交线平行.

? ? a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? ? b?

a // ?

β

a

b

简称:线面平行? 线线平行

α

线线平行

线面平行 (1)“线面平行

? 线线平行”

a ??? ? b ? ? ? ? a∥α ? a // b ?
证线面平行关键

? ? (2) a ? ? ? ? a // b ? ? ? ? ? b?
(3) 在有线面平行的条件

a // ?

在于找线线平行

或要证线线平行时,

(中位线、平行四边形)

练习: (1)如果一条直线和一个平面平行, 这个平 面 内是否只有一条直线和已知直线平行呢?

(不是)
平面内哪些直线都和已知直线平行? 有几条?

(有无数条)

(2)如果a∥α, 经过a 的一组平面分别和 α相交于b、c、d …,b、c、d …是一组 平行线吗?为什么?
(平行,线面平行的性质定理)

(3)平行于同一平面的两条直线是否平行?
(不一定) (4)过平面外一点与这平面平行的直线 有多少条?

(无数条)

例题讲解: 例1有一块木料如图,已知棱BC平行于面A′C′. (1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和 棱BC将木料锯开,应怎样画线? (2)所画的线和面AC有什么关系?
D?
F

A?

P

C?

D A

E

B?

C

B

例题讲解: 例2已知直线 a∥直线b,直线 a∥平面α, b ? α 求证:b∥平面α 证明:过a 作平面β交 平面α于直线 c
∵ a∥ α ∴ a∥ c
又 ∵ a∥ b ∴ b∥ c
∵ b ? α, c

β
a

b

α

c

? α

∴b∥α.

例3 如果两个相交平面分别经过两条平行直线中 的一条,那么它们的交线和这两条直线平行.
已知:平面α∩ 平面β= l, a a∥l , b∥l. 证明:∵a∥b,b ?β,a

?b α,
β ?

β, ? a∥b(如图)求证:

∴a∥β 又∵a ?α,平面α∩ 平面β= l
∴a∥l

l

同理b∥l
故a∥l , b∥l .

a

b
β

α

练习:
(1)直线 a∥平面α,平面α内有 n 条互相平行的直线, 那么这 n 条直线和直线 a ( C ) (A)全平行 (C)全平行或全异面 (B)全异面 (D)不全平行也不全异面

(2)直线 a∥平面α,平面α内有无数条直线 交于 一点,那

么这无数条直线中与直线 a 平行的(B )
(A)至少有一条 (C)有且只有一条 (B)至多有一条 (D)不可能有

小结:
(1)判定定理和性质定理应用时不要混淆;

(2)证线面平行,用判定定理,证线线平行,用性质
定理; (3)判定和性质定理同时用来推出线面平行或线线平行, 如要证:线线平行,可由
判定 性质

线线平行

线面平行

线线平行


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