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【人教A版】高中数学 2.3.1数列前n项和与等差数列的前n项和练习 新人教A版必修5


2.3.1 数列前 n 项和与等差数列的前 n 项和练习 新人教 A 版 必修 5
?基础梳理 1.(1)对于任意数列{an},Sn=__________________,叫做数列{an}的前 n 项的和. (2)Sn-Sn-1=____________. 2 . (1) 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 公 式 为 ________________________________________________________________________. (2)等差数列:2,4,6,…,2n,…的前 n 项和 Sn= __________. (3)等差数列首项为 a1=3,公差 d=-2,则它的前 6 项和为______. 3.(1)等差数列依次 k 项之和仍然是等差数列.即 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成公差为 ______________的等差数列. (2)已知等差数列{an},an=n,则 S3,S6-S3,S9-S6 分别为:________.它们成______ 数列. 4.(1)由 Sn 的定义可知,当 n=1 时,S1=________;当 n≥2 时,an=__________,即 an=__________________. 2 (2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn=n ,则 an=________________=____________. 5.(1)等差数列的前 n 项和公式:Sn=na1+ n(n-1)d 可化成关于 n 的二次式子为 2

________________________,当 d≠0 时,是一个常数项为零的二次式. 2 (2)已知等差数列的前 n 项和为 Sn=n -8n ,则前 n 项和的最小值为______,此时 n= ______. 基础梳理 1.(1)a1+a2+a3+…+an (2)an(n≥2),a1=S1(n=1) n(a1+an) n(n-1)d 2.(1)Sn= 或 Sn=na1+ 2 2 (2)(n+1)n (3)-12 2 3.(1)k d (2)6,15,24 等差
?S1,n=1, ? 4.(1)a1 Sn-Sn-1 ? ?Sn-Sn-1,n≥2 ? ? ?1,n=1, * (2)? 2n-1,n∈N ?2n-1,n≥2 ?

5.(1)Sn= n +?a1- ?n 2? 2 ?
2

d

?

d?

(2)-16 ?自测自评

4

1.(2014·福建卷)等差数列{an}的前 n 项和 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6=( A.8 B.10 C.12 D.14 2 2 2.已知数列{an}中,a3+a8+2a3a8=9,且 an<0,则 S10 为( ) A.-9 B.-11 C.-13 D.-15 3.1+4+7+10+…+(3n+4)+(3n+7)等于( )

)

A. C.

n(3n+8) (n+2)(3n+8) B. 2 2 (n+3)(3n+8) n(3n-1) D. 2 2

自测自评 1 1.解析:设公差为 d, 依题意得 3×2+ ×3×2d=12, ∴d=2,所以 a6=2+(6-1)×2 2 =12,故选 C. 答案:C 2 2.解析:(a3+a8) =9,∵an<0,∴a3+a8=-3. 10(a3+a8) ∴S10= =-15. 2 答案:D 3.解析:本题的项数为 n+3 项,这一点很关键. 答案:C ?基础达标 1.已知 a1,a2,a3,a4 成等差数列,若 S4=32,a2∶a3=1∶3,则公差 d 为( A.8 B.16 C.4 D. 0 1.解析:S4=32? 2(a2+a3)=32, ∴a2+a3=16,

)

a2 1 又 = ,a3=3a2, a3 3
∴a2=4,a3=12,∴d=a3-a2=8.故选 A. 答案:A 2.设 a1,a2,…和 b1,b2,…都是等差数列,其中 a1=25,b1=75,a100+b100=100,则 数列{an+bn}前 100 项之和为( ) A.0 B.100 C.10 000 D.50 500 100+100 2.解析:S100= ×100=10 000.故选 C. 2 答案:C 3.等差数列{an}中,首项 a1>0,公差 d<0,Sn 为其前 n 项和,则点(n,Sn)可能在下 列哪条曲线上( )

d? 1 d 2 ? d d 3.解析:由 Sn=na1+ n(n-1)d= n +?a1- ?n,及 d<0,a1>0 知, <0,a1- >0, 2? 2 2 2 2 ? d a1-
故排除 A,B.对称轴 n=- 2 =

d

d-2a1 >0,排除 D. 2d

答案:C 4.已知等差数列共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 290,偶数项之和为 261,则 an+1 的值为( ) A.30 B.29 C.28 D.27 4.解析:奇数项共有 n+1 项,其和为

a1+a2n+1
2

2×an+1 ×(n+1)= ·(n+1)=290, 2

∴(n+1)an+1=290,偶数项共有 n 项,其和为

a2+a2n
2

2×an+1 ×n= ·n=nan+1=261, 2

∴an+1=290-261=29.故选 B. 答案:B 5.(2013·上海卷)若等差数列的前 6 项和为 23,前 9 项和为 57,则数列的前 n 项和 Sn=________. 5 2 7 5. n - n 6 6 ?巩固提高 Sn 7n+1 a11 6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,且 = ,则 的值为 Tn 4n+27 b11 ( ) 7 3 4 B. C. 4 2 3 78 71

A.

D.

6.解析:S2n-1=(2n-1)·

a1+a2n-1
2

2·an =(2n-1)· =(2n-1)an. 2 同理 T2n-1=(2n-1)bn. ∴

S2n-1 (2n-1)an an = = . T2n-1 (2n-1)bn bn a11 S21 7×21+1 4 = = = .故选 C. b11 T21 4×21+27 3

令 n=11 得 答案:C

7 . 已 知 lg x + lg x + lg x + … + lg x = 11 , 则 x = ________________________________________________________________________. 3 5 21 7.解析:由条件得 lg(x·x ·x ·…·x )=11 1+3+5+…+21 ? lg x =11 1 1 ? 121lg x=11,lg x= ,x=1011. 11

3

5

21

答案:

11

10
2 *

8.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=4n +2(n∈N ),则 an=______________________. 8.解析:n=1 时,a1=S1=6; n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n2-4(n-1)2=8n-4.
? ?6,n=1, ∴an=? * ?8n-4,n≥2,n∈N . ? ?6,n=1, ? 答案:? * ? ?8n-4,n≥2,n∈N

9.在小于 100 的正整数中共有多个数被 3 除余 2?这些数的和是多少? * 9.分析:被 3 除余 2 的正整数可以写成 3n+2(n∈N )的形式. 2 解析:由 3n+2<100,得 n<32 ,即 n=0,1,2,3,…,32.∴在小于 100 的正整数 3 中共有 33 个数被 3 除余 2.把这些数从小到大排列起来为:2,5,8,…,98,组成一个等 33×(2+98) 差数列{an},其中 a1=2,a33=98,n=33,因此它们的和为 S33= =1 650. 2 10.已知等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8-13. (1)求公差 d 的值; (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最小值. 10.解析:(1)由 11a5=5a8-13,得 11(a1+4d)=5(a1+7d)-13. 5 ∵a1=-3,∴d= . 9 5 (2)an=a1+(n-1)d=-3+(n-1)× , 9 32 令 an≤0,得 n≤ . 5 ∴a1<a2<…<a6<0<a7<…. 6×5d 5 29 ∴Sn 的最小值为 S6=6a1+ =6×(-3)+15× =- . 2 9 3

1.记清等差数列的前 n 项和公式的两种形式并能正确地选用,具备三个条件 n,a1,an 选用 Sn=

n(a1+an)
2

,具备三个条件 n,a1,d 选用 Sn=na1+

n(n-1)d
2

.

2.基本量原则:注意在五个基本量 n,a1,d,an,Sn 中知三个量利用等差数列的通项 公式与前 n 项和公式可以求其他两个量. 3.注意把实际问题化为等差数列的问题研究.


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