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2.3.1 双曲线的定义及其标准方程1


高中数学选修 2-1
第二章 圆锥曲线与方程
2.3.1双曲线及其标准方程 第一课时

复习引入 问题1:椭圆的定义是什么? 平面内与两个定点 F1 , F2的距离的和 等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做椭圆。

问题2:平面内与两定点的距离的差 为非零常数的点的轨迹如何呢?

刚看的是



MF1 ? MF2 ? 2a (a是常数)

如果MF2–MF1=2a, 如何呢? 综合起来有:||MF1|–|MF2||=2a(a是常数)
平面内到两定点的距离差 双曲线的定义: 的绝对值等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨 迹叫做双曲线,

两个定点F1,F2 叫做双曲线的焦点,

焦距: F1F2 ? 2c

思考:为什么要满足2a<2c呢?
(1)若2a=2c=|F1F2|, 又||MF1|–|MF2||=2a(a是常数)
F1 F2

则M的轨迹是两条射线.

(2)若2a>2c呢?
由三角形知识有这样的点M不存在

推导方程 请同学们自己建立坐标系,推导方程 y 如何建系? M(x,y) 几何条件: ||MF1|–|MF2||=2a 代数化:
M F1

o

F2

x

F1(–c,0), F2(c,0)

|

? x ? c?

2

?y ?
2

? x ? c?

2

? y |? 2a
2

推导方程
F1 (-c,0) O

y

M

(x,y)

F2 (c,0)

x

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y
2 2 2

2

? 2a.

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? ?2a.
2 2 2 2

推导方程
移项得,

( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? 2a.
2 2 2 2

两边平方得,

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 .

移项得,

4cx ? 4a ? ?4a ( x ? c) ? y .
2 2 2

cx ? a ? ? a ( x ? c) ? y .
2 2 2

推导方程
两边再平方得:
2 2 2 2? ? (cx ? a ) ? a ? x ? c ? ? y . ? ? 2

c x ? 2a cx ? a ? a x ? 2a cx ? a c ? a y
2 2 2 4 2 2 2 2 2 2

2

c x ?a x ?a y ? a c ?a
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2

4

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )

化简整理得:

(c ? a ) x ? a y ? a (c ? a )
2 2 2 2 2 2 2 2

x y 同除以a2(c2-a2)得: 2 ? 2 ? 1 2 a c ?a
令c2–a2=b2得:

2

2

x y (a>0,b>0) ? ? 1 2 2 a b

2

2

称为双曲线的标准方程
焦点: F1(–c,0), F2(c,0)

思考:换为如右图建系呢? 标准方程:

y
F1
O
?
?

?

y x (a>0,b>0) ? ? 1 2 2 a b
焦点: F1(0, c), F2(0, –c)

2

2

x
M

F2

思考:a, b, c有何关系? c 2 = a 2+ b 2 c最大,a与b的大小无规定

定义 图象

MF1 ? MF2 ? 2a, ? 0 ? 2a ? F1F2 ?

方程 焦点
a.b.c的 关系

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2

y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

F ? ?c,0 ?

F ? 0, ?c ?
2

焦 点 跟 着 正 的 跑

c ? a ?b
2 2

谁正谁是a

练习1.根据方程,写出焦点坐标及 ????????????a, b的值:
2 2

(1).x ? 15 y ? 15
焦点(?4, 0), a ? 15, b ? 1
2 2

y x (2). ? ? 1 3 4
焦点(0, ? 7), a ? 3, b ? 2

例1 已知双曲线两个焦点分别为F1(-5, 0),F2(5,0),双曲线上一点P到点F1, F2的距离之差的绝对值等于6,求双曲线 的标准方程. 2 2 练习1:在⊿ABC中, AB边的长8,且满 定 足2sinA-2sinB=sinC,试求顶点C的 义 轨迹方程. 2 2 x y 法 ? ? 1 (x<-2) 先建系 4 12

x y =1 9 16

课堂练习

x y ? ? 1 上的一点P到 2、若双曲线 25 9

2

2

一个焦点的距离为12,则它到另一个焦 2 或22 . 点的距离是_____
y P
F2

F1 O

x

课堂练习

x y 3、已知双曲线 , A 、 B 为过左 ? ?1 9 4 焦点F 的直线与双曲线左支的两个交点,|AB|=9,
1

2

2

30 . F2为右焦点,则△AF2B的周长为___
A

y

F1 B

O

F2

x

x y ? ?1 例2 若方程 表示的曲线 k ?5 k ? 2

2

2

是双曲线,求k的取值范围.

k ? (?2,5)
练习1. 若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲 线是焦点在y轴上的双曲线,则k? (-1, 1) .

小结作业

1.椭圆是圆的遗传,双曲线是椭圆的 变异,尽管双曲线与椭圆的定义和标准 方程有一些相似之处,但它们的图形却 大不相同,二者有着本质的区别. 2.在椭圆中,c2=a2-b2,a是老大, b、c的大小关系不定; 在双曲线中,c2=a2+b2,c是老大, a、b的大小关系不定.

3.求标准方程的方法: 定义法、待定系数法

作业:

P55练习:1,3


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