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高考数学考前解题基本方法 一、配方法


高中数学解题基本方法
一、 配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方” )的技巧,通过配方找到已知 和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添 项”“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“凑配法” 、 。 最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知 中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺 xy 项的二次曲 线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b) =a +2ab+b ,将这个公 式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如: a +b =(a+b) -2ab=(a-b) +2ab;
2 2 2 2 2 2 2

a +ab+b =(a+b) -ab=(a-b) +3ab=(a+
2 2 2

2

2

2

2

3 b 2 2 ) +( b) ; 2 2

a +b +c +ab+bc+ca=
2 2 2 2

1 2 2 2 [(a+b) +(b+c) +(c+a) ] 2
2
[来源:]

a +b +c =(a+b+c) -2(ab+bc+ca)=(a+b-c) -2(ab-bc-ca)=? 结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如: 1+sin2α =1+2sinα cosα =(sinα +cosα ) ; x +
2 2
[来源:] [来源: .Com]

1 1 2 1 2 ) -2=(x- ) +2 ;?? 等等。 2 =(x+ x x x

Ⅰ、再现性题组: 1. 在正项等比数列{a n }中,a 1 ?a 5 +2a 3 ?a 5 +a 3 ?a 7 =25,则 a 3 +a 5 =_______。 2. 方程 x +y -4kx-2y+5k=0 表示圆的充要条件是_____。 A.
1 4

2

2

<k<1
4

B. k< 1 或 k>1 4
4

C. k∈R

D. k= 1 或 k=1 4

3. 已知 sin α +cos α =1,则 sinα +cosα 的值为______。 A. 1
2

B. -1
2

C. 1 或-1

D. 0

[来源: ]

4. 函数 y=log 1 (-2x +5x+3)的单调递增区间是_____。 A. (-∞,
2
5 4

]

B. [ 5 ,+∞) 4

C. (- 1 , 5 ] 2 4

D. [ 5 ,3) 4
2 2

5. 已知方程 x +(a-2)x+a-1=0 的两根 x 1 、x 2 ,则点 P(x 1 ,x 2 )在圆 x +y =4 上,则实 数 a=_____。

【简解】 1 小题: 利用等比数列性质 a m? p a m? p =a m 2 , 将已知等式左边后配方 3 +a 5 ) (a
2

易求。答案是:5。 2 小题:配方成圆的标准方程形式(x-a) +(y-b) =r ,解 r >0 即可,选 B。 3 小题:已知等式经配方成(sin α +cos α ) -2sin α cos α =1,求出 sinα cosα ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

然后求出所求式的平方值,再开方求解。选 C。 4 小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选 D。 5 小题:答案 3- 11 。 Ⅱ、示范性题组: 例 1. 已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对角 线长为_____。 A. 2 3 B. 14 C. 5 D. 6 【 分 析 】 先 转 换 为 数 学 表 达 式 : 设 长 方 体 长 宽 高 分 别 为 x,y,z , 则

?2( xy ? yz ? xz ) ? 11 ,而欲求对角线长 ? ?4( x ? y ? z ) ? 24

将其配凑成两已知式的组合形式可 x2 ? y2 ? z2 ,

得。 【解】设长方体长宽高分别为 x,y,z,由已知“长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度 之和为 24”而得: ?

?2( xy ? yz ? xz ) ? 11 。 ?4( x ? y ? z ) ? 24
2 2 2

长方体所求对角线长为: x ? y ? z = ( x ? y ? z ) 2 ? 2( xy ? yz ? xz ) = 6 2 ? 11 =5 所以选 B。 【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三 个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。 这也是我们使用配方法的一种解题模式。 例 2. 设方程 x +kx+2=0 的两实根为 p、q,若( 值范围。 【解】方程 x +kx+2=0 的两实根为 p、q,由韦达定理得:p+q=-k,pq=2 ,
2 2

p 2 q 2 ) +( ) ≤7 成立,求实数 k 的取 q p

p ( ) q

2

q +( ) p

2

[( p ? q )2 ? 2 pq]2 ? 2 p 2 q 2 ( p 2 ? q 2 )2 ? 2 p 2 q 2 p4 ? q4 = = = = ( pq )2 ( pq ) 2 ( pq )2

( k 2 ? 4)2 ? 8 ≤7, 解得 k≤- 10 或 k≥ 10 。 4

又 ∵p、 为方程 x 2 +kx+2=0 的两实根, ∴ △=k 2 -8≥0 即 k≥2 2 或 k≤-2 2 q 综合起来,k 的取值范围是:- 10 ≤k≤- 2 2 或者 2 2 ≤k≤ 10 。 【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式“Δ ” ;已知方程有两根时, 可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 p+q、pq 后,观察已知不等式,从其结构特征 联想到先通分后配方,表示成 p+q 与 pq 的组合式。假如本题不对“△”讨论,结果将出错, 即使有些题目可能结果相同,去掉对“△”的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我 们要尤为注意和重视。

b a 1998 1998 ) +( ) 。 a?b a?b a 2 a a 【分析】 对已知式可以联想:变形为( ) +( )+1=0,则 =ω (ω 为 1 的立方虚 b b b
例 3. 设非零复数 a、b 满足 a +ab+b =0,求(
2 2

根) ;或配方为(a+b) =ab 。则代入所求式即得。 【解】由 a +ab+b =0 变形得:( 设ω =
2 2 2

2

a 2 a ) +( )+1=0 , b b

a 1 b 2 3 3 ,则ω +ω +1=0,可知ω 为 1 的立方虚根,所以: = ,ω = ? =1。 b ? a
2 2

又由 a +ab+b =0 变形得:(a+b) =ab ,

a 2 999 b 2 999 b a a 999 b 999 1998 1998 所以 ( ) +( ) =( ) +( ) =( ) +( ) =ω ab ab a?b b a a?b

999



?

999

=2 。

【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用 1 的立方虚根,活用ω 的性质,计算 表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。 【另解】由 a +ab+b =0 变形得:(
2 2

a 2 a b ? 1 ? 3i ) +( )+1=0 ,解出 = 后,化 2 b b a

成三角形式,代入所求表达式的变形式(

a 999 b 999 ) +( ) 后,完成后面的运算。此方法用于 b a

只是未

? 1 ? 3i 联想到ω 时进行解题。 2
2 2

假如本题没有想到以上一系列变换过程时, 还可由 a +ab+b =0 解出: a=

? 1 ? 3i b, 2

直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的 计算。 Ⅲ、巩固性题组: 1. 函数 y=(x-a) +(x-b)
2 2

(a、b 为常数)的最小值为_____。

A.

8

2 B. ( a ? b)

2 2 C. a ? b

D.最小值不存在
2

2
2

2

2. α 、β 是方程 x -2ax+a+6=0 的两实根,则(α -1)
[来源:]

+(β -1) 的最小值是_____。

2

A.

- 49 4

B. 8
?

C. 18

D.不存在
x y

3. 已知 x、y∈R ,且满足 x+3y-1=0,则函数 t=2 +8 有_____。 A.最大值 2 2
2

B.最大值 2
2
2 2

C.最小值 2 2

B.最小值 2
2

4. 椭圆 x -2ax+3y +a -6=0 的一个焦点在直线 x+y+4=0 上,则 a=_____。 A. 2 B. -6 C. -2 或-6 D. 2 或 6 5. 化简:2 1 ? sin 8 + 2 ? 2 cos 8 的结果是_____。 A. 2sin4 B. 2sin4-4cos4 C. -2sin4 D. 4cos4-2sin4 6. 设 F 1 和 F 2 为双曲线 x -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足∠F 1 PF 2 =90°,
2
2

4

则△F 1 PF 2 的面积是_________。
2 7. 若 x>-1,则 f(x)=x +2x+ 1 的最小值为___________。

x ?1

8. 已知 ? 〈β <α 〈 3 π ,cos(α -β )= 12 ,sin(α +β )=- 3 ,求 sin2α 的值。(92 年
2 4 13 5

高考题) 9. 设二次函数 f(x)=Ax +Bx+C, 给定 m、 m<n) n ( ,且满足 A [(m+n) + m n ]+2A[B(m+n) -Cmn]+B +C =0 。 ① 解不等式 f(x)>0; ② 是否存在一个实数 t,使当 t∈(m+t,n-t)时,f(x)<0 ?若不存在,说出理由;若存在, 指出 t 的取值范围。 10. 设 s>1, t>1, m∈R, x=log s t+log t s, y=log s t+log t s+m(log s t+log t s), ① 将 y 表示为 x 的函数 y=f(x),并求出 f(x)的定义域; ② 若关于 x 的方程 f(x)=0 有且仅有一个实根,求 m 的取值范围。
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2


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