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山西省临汾市曲沃二中2014届高三第二次月考数学理试题 Word版含答案


2014 届高三(上)第二次月考

数学试卷(理科)
一、选择题 1、已知集合 A ? ? x | 0 ? log 4 x ? 1? , B ? ? x | x ? 2?,则A ? B ? ( )

1? A. ? 0,

2 B. ? 0,?
2

C. ?1, 2 ?

>
2 D. ?1,?

2

2、命题“对任意 x ? R ,都有 x ? 0 ”的否定为 A.对任意 x ? R ,都有 x ? 0
2



B.不存在 x ? R ,都有 x ? 0 D.存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 0
2

C.存在 x0 ? R ,使得 x0 ? 0
2

3、已知 x, y 为正实数,则 A. 2
lg x ? lg y lg x?lg y

( B. 2
lg( x ? y ) lg( xy )



C. 2 D. 2 4、设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (C) 钝角三角形 ( (B) 直角三角形 (D) 不确定 )

?2 ?2 ? 2lg x ? 2lg y
lg x lg y

? 2 ?2 ? 2lg x ? 2lg y
lg x

lg y

5、已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? = A. ?4 B. ?3 C. ?2
2

??

?

?

??

?

? ?

?? ?

?





D. -1

6、函数 f ? x ? ? 2 ln x 的图像与函数 g ? x ? ? x ? 4 x ? 5 的图像的交点个数为 A.3 B.2 C.1 D. 0

4 7、已知数列 ?an ? 满足 3an ?1 ? an ? 0, a2 ? ? ,则 ?an ? 的前 10 项和等于 ( ) 3 1 ?10 ?10 ?10 ?10 (A) ?6 ?1 ? 3 ? (B) ?1 ? 3 ? (C) 3 ?1 ? 3 ? (D) 3 ?1+3 ? 9 2 21 2 2 x 8、若 S1 ? ? x dx, S2 ? ? dx, S3 ? ? e dx, 则 S1S2 S3 的大小关系为 ( ) 1 1 x 1
A. S1 ? S2 ? S3 C. S2 ? S3 ? S1 B. S2 ? S1 ? S3 D. S3 ? S2 ? S1

9、下面是关于公差 d ? 0 的等差数列 ? an ? 的四个命题:

p1 : 数列?an ? 是递增数列;

p2 : 数列?nan ? 是递增数列;

?a ? p3 : 数列 ? n ? 是递增数列; ?n?
其中的真命题为 (A) p1 , p2 (B) p3 , p4

p4 : 数列?an ? 3nd ? 是递增数列;
( (C) p2 , p3 (D) p1 , p4 ( ) )

10、设函数 f ( x) 的定义域为 R, x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 11、已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ? A. B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点

10 ,则 tan 2? ? 2





3 4 3 C. ? D. ? 4 3 4 2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 12、已知函数 f ( x ) ? ? ,若| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是 ?ln( x ? 1), x ? 0 A. (??, 0] B. (??,1] C. [?2,1] D. [?2,0]

4 3

B.





二、填空题(4*5=20 分) 13、若曲线 y ? kx ? ln x 在点 ?1, k ? 处的切线平行于 x 轴,则 k ? ______. 14、已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120 °,且 AB ? 3 , AC ? 2 ,若 AP ? ? AB ? AC ,且

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

??? ???? ?

??? ??? ? ? AP ? BC ,则实数 ? 的值为__________.
15、方程

3 1 ? ? 3x ?1 的实数解为________ 3 ?1 3
x

a2 ? 7 ,若 16、设 a 为实常数, y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 9 x ? x f ( x) ? a ? 1 对一切 x ? 0 成立,则 a 的取值范围为________
三、解答题(共 70 分) 17、 (10 分)
1 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· . b 2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

18、 (12 分)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S3 =a2 ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列,
2

求 ?an ? 的通项式.

19、 (12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且 2cos 2

A? B 3 cos B ? sin( A ? B)sin B ? cos( A ? C ) ? ? . 2 5
??? ?

(Ⅰ)求 cos A 的值;

(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

??? ?

20、 (12 分)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式;

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n2 ? n ? , n ?N* . n 3 3

21、 (12 分)设 f ? x ? ? a ? x ? 5 ? ? 6 ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切
2

?

?

线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? . (1)确定 a 的值; (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值.

22、 (12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.

参考答案

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.D 2.D 3.D 4、B 5.B 6.A 7.C 8.B 9. 解:∵对于公差 d>0 的等差数列{an},an+1﹣an=d>0,∴命题 p1:数列{an}是递增 数列成立,是真命题. 对于数列数列{nan},第 n+1 项与第 n 项的差等于 (n+1)an+1﹣nan=nd+an+1,不一 定是正实数, 故 p2 不正确,是假命题. 对于数列 ,第 n+1 项与第 n 项的差等于 ﹣

=

=

,不一定是正实数,

故 p3 不正确,是假命题. 对于数列数列{an+3nd},第 n+1 项与第 n 项的差等于 an+1+3(n+1)d﹣an﹣3nd=4d >0, 故命题 p4:数列{an+3nd}是递增数列成立,是真命题. 故选 D. 10. 解:对于 A 项,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,不一定是最大值点,因此不能满 足在整个定义域上值最大; 对于 B 项,f(﹣x)是把 f(x)的图象关于 y 轴对称,因此,﹣x0 是 f(﹣x)的极 大值点; 对于 C 项,﹣f(x)是把 f(x)的图象关于 x 轴对称,因此,x0 是﹣f(x)的极小 值点; 对于 D 项,﹣f(﹣x)是把 f(x)的图象分别关于 x 轴、y 轴做对称,因此﹣x0 是 ﹣f(﹣x)的极小值点. 故选 D. 11. 解:∵ ,又 sin α+cos α=1,
2 2

联立解得

,或

故 tanα=

=

,或 tanα=3,

代入可得 tan2α=

=

=﹣ ,

或 tan2α=

=

=

故选 C 12. 解:由题意可作出函数 y=|f(x)|的图象,和函数 y=ax 的图象,

由图象可知:函数 y=ax 的图象为过原点的直线,当直线介于 l 和 x 轴之间符合题意, 2 直线 l 为曲线的切线,且此时函数 y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为 y=x ﹣2x, 求其导数可得 y′=2x﹣2,因为 x≤0,故 y′≤﹣2,故直线 l 的斜率为﹣2, 故只需直线 y=ax 的斜率 a 介于﹣2 与 0 之间即可,即 a∈[﹣2,0] 故选 D 二、填空题(4*5=20 分) 13. ﹣1 . 14. 15. 16. . log34 . . . 解:因为 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以当 x=0 时,f(x)=0; 当 x>0 时,则﹣x<0,所以 f(﹣x)=﹣9x﹣ 因为 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, 所以 f(x)=9x+ ﹣7; +7

因为 f(x)≥a+1 对一切 x≥0 成立, 所以当 x=0 时,0≥a+1 成立, 所以 a≤﹣1; 当 x>0 时,9x+ ﹣7≥a+1 成立,

只需要 9x+

﹣7 的最小值≥a+1,

因为 9x+

﹣7≥2

=6|a|﹣7,

所以 6|a|﹣7≥a+1, 解得 所以 故答案为 . . ,

. 三、解答题(共 70 分) 17. 解: (Ⅰ)函数 f(x)= = sinxcosx ) =π.

=(cosx,﹣ )?(

sinx,cos2x)

=sin(2x﹣

最小正周期为:T= (Ⅱ)当 x∈[0,

]时,2x﹣



, 的性质可知,sinx ,

由正弦函数 y=sinx 在 ∴sin(2x﹣ ) ,

∴f(x)∈[﹣ ,1], 所以函数 f (x)在[0, 18. 解:设数列的公差为 d 由 得,3 ]上的最大值和最小值分别为:1,﹣ .

∴a2=0 或 a2=3 由题意可得, ∴ 若 a2=0,则可得 d =﹣2d 即 d=0 不符合题意 2 若 a2=3,则可得(6﹣d) =(3﹣d) (12+2d) 解可得 d=0 或 d=2 ∴an=3 或 an=2n﹣1
2 2

19.

解: (Ⅰ)由 可得 可得 即 即 , ,所以 , . = , , , ,

(Ⅱ)由正弦定理,

由题意可知 a>b,即 A>B,所以 B= 由余弦定理可知 解得 c=1,c=﹣7(舍去) . 向量 20. 在 方向上的投影:

=ccosB=
*

. ,

解: I) a1=1, ( 由 解得 a2=4. (II)∵ ∴ 当 n≥2 时,2Sn﹣1=(n﹣1)an﹣ 两式相减得 ∴数列{ ∴ ∴an=n .
2

, n∈N . n=1, 取 则

,n∈N , . ,

*

, =1 为首项,1 为公差的等差数列, ,

}是以

21.

解: (1)因 f(x)=a(x﹣5) +6lnx,故 f′(x)=2a(x﹣5)+ , (x>0) , 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6﹣8a, ∴曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣16a=(6﹣8a) (x﹣1) , 由切线与 y 轴相交于点(0,6) . ∴6﹣16a=8a﹣6, ∴a= .

2

(2)由(I)得 f(x)= (x﹣5) +6lnx, (x>0) , f′(x)=(x﹣5)+ = ,令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=3,

2

当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,2)(3,+∞)上为增函数, , 当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数, 故 f(x)在 x=2 时取得极大值 f(2)= +6ln2,在 x=3 时取得极小值 f(3)=2+6ln3. 22. 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , (1)当 a=2 时,f(x)=x﹣2lnx,


. ,

因而 f(1)=1,f (1)=﹣1, 所以曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1) )处的切线方程为 y﹣1=﹣(x﹣1) , 即 x+y﹣2=0 (2)由


,x>0 知:

①当 a≤0 时,f (x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; ′ ②当 a>0 时,由 f (x)=0,解得 x=a. ′ ′ 又当 x∈(0,a)时,f (x)<0,当 x∈(a,+∞)时,f (x)>0. 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a﹣alna,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a﹣alna,无极大值.


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