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二面角的求法(总结) - 副本


探究准备:
一、忆一忆:
的大小范围;

答:1、二面角是指从一条直线出发的两
个半平面所组成的图形;

平面角是指以二面角的棱上一点为 端点,在两个半平面内分别做垂直于棱 1、二面角的概念,二面角 的两条射线,这两条射线所成的角就叫 的平面角的概念,二面角 做该二面角的平面角。 二面角的大小范围: [00 ,1800]; 2、三垂线定理:平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直, 那么它就和这条斜线垂直;

2、三垂线定理、

探究准备: 答
二、想一想:
1、怎样做出二面 角的平面角?

:1、做二面角的平面角主 要有3种方法:
(1)、定义法:在棱上取一 点,在两个半平面内作垂直于 棱的2 条射线,这2条所夹 的 角; (2)、垂面法:做垂直于棱 的一个平面,这个平面与2个 半平面分别有一条交线,这2 条交线所成的角; (3)、三垂线法:过一个半 平面内一点(记为A)做另一 个半平面的一条垂线,过这个 垂足(记为B)再做棱的垂线, 记垂足为C,连接AC,则 ∠ACB即为该二面角的平面角。 α C α β

α β γ

A B β

探究一:
试一试:
S

例1、如图:在三棱锥S-ABC中,
SA⊥平面ABC,AB⊥BC,DE垂直平 分SC,分别交AC、SC于D、E,且 SA=AB=a,BC= 2 a. 求:平面BDE和平面BDC所成的二 面角的大小。
A D

E

C

B

分析:1、根据已知条件提供的数量关系
通过计算证明有关线线垂直; 2、利用已得的垂直关系找出二面角的平 面角。 解:如图:
∵SA ⊥ 平面ABC, ∴SA⊥AB,SA⊥AC,SA ⊥ BD; 于是SB= SA ? AB = 2 a 又BC= 2a ,∴ SB=BC; ∵E为SC的中点,∴BE⊥SC 又DE⊥SC 故SC⊥平面BDE 可得BD⊥SC 又BD⊥SA ∴BD⊥平面SAC ∴∠CDE为平面BDE和平面BDC所成 二面 角的平面角。 ∵ AB⊥BC,∴AC= AB ? BC = a ? 2a = 3a 3 SA 在直角三角形SAC中,tan∠SCA= = AC 3 ∴ ∠ SCA=300 , ∴∠CDE=900--∠SCA=600 解毕。
2 2

S
E A D C

B

议一议:刚才的证明过
程中,是用什么方法找到 二面角的平面角的? 请各小组讨论交流一下。

2

2

2

2

探究二:
试一试 例二:如图:直四棱柱ABCDA1B1C1D1,底面ABCD是菱形, AD=AA1 ,∠DAB=600,F为棱AA1的中 点。 求:平面BFD1与平面ABCD所 成的二面角的大小。
A1 F A D1 B1 C1

D
B

C

要求:1、各人思考;2、小组讨论;
3、小组交流展示;4、总结。

解法一:
如图:延长D1F交DA的延长线于点P,连 接PB,则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线。 ∵ F是AA1的中点,∴可得A也是PD的中 点,∴AP=AB, 又∵∠ DAB=600,且底面ABCD是菱形, ∴可得正三角形ABD, 故 ∠DBA=600, ∵∠P=∠ABP=300, ∴∠DBP=900,即PB⊥DB; 又因为是直棱柱,∴DD1 ⊥ PB, ∴PB⊥面DD1B, 故 ∠DBD1就是二面角D1-PB-D的平面 角。 显然BD=AD=DD1, ∴∠DBD1=450。即为所 求. 解毕。
D1 A1 F D A P B C B1 C1

解法二:
如图:延长D1F交DA的延长线于点P,连 接PB,则直线PB就是平面BFD1与平面 ABCD的交线; 因为是直棱柱,所以AA1 ⊥ 底面ABCD, 过A做AE⊥PB,垂足为E,连接EF, 由三垂线定理可知,EF⊥PB, ∴∠AEF即为二面角D1-PB-D的平面角; 同解法一可知,等腰△APB, ∠P=300, Rt△APB中,可求得AE= 1 ,(设四棱柱 的棱长为2)又AF= 1, ∴∠AEF=450,即 为所求。 D1 A1 F D C B E P C1

B1

A

思考:这种解法同解法一有什么异同?

解法四:
如图:由题意可知,这是一个直四棱柱 , △ BFD1在底面上的射影三角形就是 △ABD, 故由射影面积关系可得COSθ= SABD/ SBFD
1

D1

C1
B1

A1

(θ是所求二面角的平面角) 以下求面积略。

F

D
A B

C

点评:这种解法叫做“射影面积法”
在选择和填空题中有时候用起来会很 好

总一总:求二面角的方法你都
学会了哪些?每一种方法在使用 上要注意什么问题?
请同学们先自己思考,然后小 组内交流学习一下。

二面角的几种主要常用的求法:
1、垂面法。见例一和例二的解法一; 2、三垂线法。见例二的解法二; 3、射影面积法。见例二的解法三;
其中垂面法和三垂线法也是直接找平面角的 方法 ,也称为 直接法;射影面积法和法向量 法是没有找出平面角而求乊的方法,也称乊为 间接法。

点评
这几种方法是现在求二面角的常用 的方法,在高考中经常被考查;更有着 广泛的被考查性


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