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2014届高三数学(理)一轮复习 课后作业(一) 一元二次不等式及其解法


课后作业(一)

一元二次不等式及其解 法

一、选择题 1. (2012· 北京高考)已知集合 A={x∈R|3x+2>0}, B={x∈R|(x+1)(x-3)>0}, 则 A∩B=( ) 2 A.(-∞,-1) B.{-1,-3} 2 C.(-3,3) D.(3,+∞) 2.若关于 x 的方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取 值范围是( ) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-2,2) D.(-∞,-2)∪(2,+∞) 1 1 3.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是[-2,-3],则不等式 x2-bx-a<0 的解集是( ) A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1 1 1 1 C.(3,2) D.(-∞,3)∪(2,+∞) 2 ?x -4x+6,x≥0, 4.设函数 f(x)=? 则不等式 f(x)>3 的解集是( ) ?x+6,x<0, A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 2 5.若不等式 x -2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立,则关于 t 的不等式 at2 +2t-3<1 的解集为( ) A.(-3,1) B.(-∞,-3)∪(1,+∞) C.? D.(0,1) 二、填空题 6.(2012· 湖南高考)不等式 x2-5x+6≤0 的解集为________. ax-1 1 7.已知关于 x 的不等式 <0 的解集是{x|x<-1 或 x>- },则实数 a 2 x+1 =________. 8.若不等式 mx2+2mx-4<2x2+4x 对任意 x∈R 均成立,则实数 m 的取值 范围是________. 三、解答题 9.解关于 x 的不等式 x2-(a+a2)x+a3<0(a∈R). 10.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规 律:每生产产品 x(百台),其总成本为 G(x)万元,其中固定成本为 2 万元,并且 每生产 100 台的生产成本为 1 万元(总成本=固定成本+生产成本), 销售收入 R(x)

2 ?-0.4x +4.2x-0.8, (0≤x≤5), 满足 R(x)=? ?10.2, (x>5), 假定该产品销售平衡,那么根据上述统计规律: (1)要使工厂有盈利,产品数量 x 应控制在什么范围? (2)工厂生产多少台产品时盈利最大?求此时每台产品的售价为多少? 11.若不等式 mx2-2x+1-m<0 对满足-2≤m≤2 的所有 m 都成立,求实 数 x 的取值范围.

解析及答案
一、选择题 1. 【解析】 2 2 ∵3x+2>0,∴x>-3.∴A={x|x>-3}.

又∵(x+1)(x-3)>0,∴x>3 或 x<-1. ∴B={x|x<-1 或 x>3}. 2 ∴A∩B={x|x>-3}∩{x|x<-1 或 x>3}={x|x>3}. 【答案】 D 2. 【解析】 ∵方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实数根, ∴Δ=m2-4>0, ∴m>2 或 m<-2. 【答案】 D 1 1 3. 【解析】 依题意,-2与-3是方程 ax2-bx-1=0 的两根,且 a<0.

?b=-1-1, ?b=-5, ?a 2 3 ?a 6 则? 即? 1 1 1 1 1 ?-a=-2×(-3) ?a=-6, ? ?
1 b 不等式 x2-bx-a<0 可化为ax2-ax-1>0, 1 5 ∴-6x2+6x-1>0,解得 2<x<3 . 【答案】 A 4. 【解析】 (1)当 x<0 时,f(x)=x+6>3,则-3<x<0. (2)当 x≥0 时,x2-4x+6>3?(x-1)(x-3)>0, 解之得,x>3 或 0≤x<1. 由(1)、(2)知,f(x)>3 的解集为(-3,1)∪(3,+∞). 【答案】 A 5. 【解析】 不等式 x2-2ax+a>0 对一切实数 x∈R 恒成立,则 Δ=(-2a)2 -4a<0,解得 0<a<1, 所以不等式 at2+2t-3<1 转化为 t2+2t-3>0, 解得 t<-3 或 t>1. 【答案】 B 二、填空题 6. 【解析】 ∵x2-5x+6≤0,∴(x-2)(x-3)≤0. ∴2≤x≤3.∴不等式的解集为{x|2≤x≤3}. 【答案】 {x|2≤x≤3} ax-1 7. 【解析】 <0?(x+1)(ax-1)<0, x+1 1 1 依题意,a<0 且a=-2. ∴a=-2. 【答案】 -2 8. 【解析】 原不等式等价于(m-2)x2+2(m-2)x-4<0, 当 m=2 时,对 x∈R,不等式恒成立, ?m-2<0, 当 m≠2 时,则有? 2 ?Δ=4(m-2) +16(m-2)<0, 解得-2<m<2, 综上知-2<m≤2. 【答案】 (-2,2] 三、解答题 9. 【解】 原不等式可化为(x-a)(x-a2)<0, (1)当 a=a2 即 a=0 或 a=1 时, 原不等式变为 x2<0 或(x-1)2<0, 解集为?; 2 (2)当 a>a 即 0<a<1 时, 解集为{x|a2<x<a}; (3)当 a2>a 即 a<0 或 a>1 时,解集为{x|a<x<a2}; 综上得:原不等式的解集为:当 a=0 或 a=1 时,为?; 当 0<a<1 时,为{x|a2<x<a}; 当 a<0 或 a>1 时,为{x|a<x<a2}.

10. 【解】 (1)设厂家纯收入为 y 万元,由题意 G(x)=x+2, ∴y=R(x)-G(x) 2 ?-0.4x +3.2x-2.8 (0≤x≤5), =? ?8.2-x (x>5). ?0≤x≤5, ?x>5, 令 y>0,得? 或? 2 ?-0.4x +3.2x-2.8>0 ?8.2-x>0. 解得 1<x<8.2, 故当 1<x<8.2 时工厂有盈利. (2)当 0≤x≤5 时, y=-0.4x2+3.2x-2.8=-0.4(x-4)2+3.6, ∴当 x=4 时,ymax=3.6,当 x>5 时,y<8.2-5=3.2, ∴当生产 400 台产品时盈利最大, 此时 R(4)=-0.4×42+4.2×4-0.8=9.6, 96 000 故每台产品的售价为 400 =240 元/台. 11. 【解】 已知不等式可化为(x2-1)m+(1-2x)<0. 设 f(m)=(x2-1)m+(1-2x),这是一个关于 m 的一次函数(或常数函数),要 使 f(m)<0 在-2≤m≤2 时恒成立, 其等价条件是 2 ?f(2)=2(x -1)+(1-2x)<0, ? 2 ?f(-2)=-2(x -1)+(1-2x)<0, 2 ?2x -2x-1<0, -1+ 7 1+ 3 即? 2 解得 <x< 2 . 2 ?2x +2x-3>0, -1+ 7 1+ 3 所以,实数 x 的取值范围是( , 2 ). 2


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