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(4.7)高二数学选修2-3第一章测试题(含答案)


高二数学选修 2-3 第一章练习题(4.7)
一.选择题: 1.四个同学,争夺三项冠军,冠军获得者可能有的种类是( )A.4 B.24 C.43 D.34 2.210 所有正约数的个数共有( )A.12 个 B.14 个 C.16 个 D.20 个 -m * 6 3.设 m∈N ,且 m<15,则(15-m)(16-m)?(20-m)等于( )A.A15-m B.A15

C.A6 D.A5 20-m 20-m 20-m 4.A、B、C、D、E 五人站成一排,如果 A 必须站在 B 的左边(A、B 可以不相邻),则不同排法有( ) A.24 种 B.60 种 C.90 种 D.120 种 10 6 5.在(x- 3) 的展开式中,x 的系数是( )A.-27C6 B.27C4 C.-9C6 D.9C4 10 10 10 10 6.用 1、2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为( ) A.36 B.30 C.40 D.60 3 3 7.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 人必须站在一起的所有排列的总数为( )A.A6 B.3A3 C.A3 A3 D. 4! · 3! 6 3· 8.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种数为( )A.720 B.144 C.576 D.684 96 95 97 97 98 9.C97 )A.C99 B.C100 C.C99 D.C98 98+2C98+C98等于( 100 10.已知集合 A={1,2,3,4,5,6},B={1,2},若集合 M 满足 ,则不同集合 M 的个数为( ) A.12 B.13 C.14 D.15 11.某年级有 6 个班,分别派 3 名语文教师任教,每个教师教 2 个班,则不同的任课方法种数为( ) 2 2 2 A · C · C 6 4 2 2 2 3 A.C2 C4 · C2 B.A2 A2 A2 C.C2 C2 C2 C3 D. 6· 6· 4· 2 6· 4· 2· A3 3 + 12.1+(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)n 的展开式的各项系数之和为( )A.2n-1 B.2n-1C.2n 1-1 二.填空题: 13.三个人坐在一排八个座位上,若每人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为________. x 2x+2 14.方程 Cx 17-C16=C16 的解集是________. x +y =3, ? ?2 2 15.方程组?y +z =4, ? ?z2+x2=5.
2 2

D.2n

有________组解.

16.在(1-x2)10 的展开式中,x4 的系数为________. 三、解答题 1 2 3 n 17.求和: + + +?+ . 2! 3! 4! (n+1)!

18.用 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字组成没有重复数字的四位数. (1)这些四位数中偶数有多少个?能被 5 整除的有多少个? (2)这些四位数中大于 6500 的有多少个?

19.一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目,要求排出一个节目单. (1)3 个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法? (2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法? (以上两个题只列出算式)

20.六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站右端,也不站左端; (2)甲、乙站在两端; (3)甲不站左端,乙不站右端.

21.有 9 本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法? (1)甲得 4 本,乙得 3 本,丙得 2 本; (2)一人得 4 本,一人得 3 本,一人得 2 本; (3)甲、乙、丙各得 3 本.

1 n 3 22. (满分 12 分)已知在( x- ) 的展开式中,第 6 项为常数项. 3 2 x (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.

高二数学选修 2-3 第一章练习题(4.7)参考答案
一.选择题: 1.四个同学,争夺三项冠军,冠军获得者可能有的种类是( )A.4 B.24 C.43 D.34 [答案] C[解析] 依分步乘法计数原理,冠军获得者可能有的种数是 4×4×4=43.故选 C. 2.210 所有正约数的个数共有( )A.12 个 B.14 个 C.16 个 D.20 个 [答案] C[解析] 由 210=2· 3· 5· 7 知正约数的个数为 2· 2· 2· 2=16.∴选 C. -m 3.设 m∈N*,且 m<15,则(15-m)(16-m)?(20-m)等于( )A.A6 B.A15 C.A6 D.A5 15-m 20-m 20-m 20-m 6 [答案] C[解析] 解法 1:(15-m)(16-m)?(20-m)=(20-m)(19-m)??[(20-m)-6+1]=A20-m. 解法 2:特值法.令 m=14 得 1×2×3×4×5×6=A6 6.∴选 C. 4.A、B、C、D、E 五人站成一排,如果 A 必须站在 B 的左边(A、B 可以不相邻),则不同排法有( ) A.24 种 B.60 种 C.90 种 D.120 种 1 [答案]B[解析]5 个人全排列有 5! =120 种、 A 在 B 左边和 A 在 B 右边的情形一样多, ∴不同排法有 ×120=60 种. 2 10 6 6 4 6 5.在(x- 3) 的展开式中,x 的系数是( )A.-27C10 B.27C10 C.-9C10 D.9C4 10 r 10-r r 4 4 4 [答案] D[解析] ∵Tr+1=C10x (- 3) .令 10-r=6,解得 r=4.∴系数为(- 3) C10=9C10. 6.用 1、2、3、4、5 这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中奇数的个数为( )A.36 B.30C.40D.60 3 3 [答案] A[解析] 奇数的个位数字为 1、3 或 5,偶数的个位数字为 2、4.故奇数有 A5=36 个. 5 6 3 3 7.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 人必须站在一起的所有排列的总数为( )A.A6 B.3A3 C.A3 A3 D. 4! · 3! 3· 4 3 4 [答案] D[解析]甲、 乙、 丙三人站在一起有 A3 种站法, 把 3 人作为一个元素与其他 3 人排列有 A 种, ∴ 共有 A · A 种. 3 4 3 4 8.6 人站成一排,甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种数为( )A.720 B.144 C.576 D.684 6 4 [答案] C[解析] “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件,由间接法可得 A6 -A3 3A4=576. [点评] 不能都站在一起,与都不相邻应区分. 96 95 97 97 98 9.C97 )A.C99 B.C100 C.C99 D.C98 98+2C98+C98等于( 100 97 96 96 95 97 96 97 [答案] B[解析] 原式=C98+C98+C98+C98=C99+C99=C100,故选 B. 10. ,则不同集合 M 的个数为( )A. 12B. 13 C. 14D. 15 已知集合 A={1,2,3,4,5,6},B={1,2},若集合 M 满足 [答案]C[解析] ∵B M,∴M 中必含有 1、2 且至少含有 3、4、5、6 中的一个元素,又 M A,∴M≠A, 2 3 ∴M 的个数为 C1 4+C4+C4=14 个. 11.某年级有 6 个班,分别派 3 名语文教师任教,每个教师教 2 个班,则不同的任课方法种数为( ) A2 C2 C2 6· 4· 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 A.C6· C4· C2 B.A6· A4· A2 C.C6· C4· C2· C3 D. [答案] A A3 3 + 12.1+(1+x)+(1+x)2+?+(1+x)n 的展开式的各项系数之和为( )A.2n-1 B.2n-1C.2n 1-1 D.2n n+1 1×(2 -1) n+1 [答案] C[解析] 解法一:令 x=1 得,1+2+22+?+2n= =2 -1. 2-1 解法二:令 n=1,知各项系数和为 3,排除 A、B、D,选 C. 二.填空题: 13.三个人坐在一排八个座位上,若每人的两边都要有空位,则不同的坐法种数为________. [答案]24[解析]“每人两边都有空位”是说三个人不相邻,且不能坐两头,可视作 5 个空位和 3 个人满足上述两要 求的一个排列,只要将 3 个人插入 5 个空位形成的 4 个空档中即可.∴有 A3 4=24 种不同坐法. x x 2x+2 14.方程 C17-C16=C16 的解集是________. x x- 1 x-1 2x+2 [答案]{5}[解析] 因为 C17 =Cx 16+C16 ,所以 C16 =C16 ,由组合数公式的性质,得 x-1=2x+2 或 x-1+2x+2=16, 得 x1=-3(舍去),x2=5. x +y =3, ? ?2 2 15.方程组?y +z =4, ? ?z2+x2=5.
2 2

有________组解.
2 2

x +y =3, ? ?2 2 [答案] 8[解析] 由方程组?y +z =4, ? ?z2+x2=5.

x =2, ? ?2 可得?y =1, ? ?z2=3.

2

因此在{ 2,- 2},{1,-1},{ 3,- 3}中各取一个

即可构成方程组的一组解,由分步乘法计数原理共有 2×2×2=8 组解. 16.(2010· 湖北文,11)在(1-x2)10 的展开式中,x4 的系数为________. 2 [答案]45[解析]本题主要考查二项式定理,(1-x2)10 的展开式中,只有两个括号含 x2 的项,则 x4 的系数为 C2 10(-1) =45 三、解答题

1 2 3 n 17. (满分 12 分)求和: + + +?+ . 2! 3! 4! (n+1)! k+1-1 k+1 k 1 1 1 [解析] ∵ = = - = - , (k+1)! (k+1)! (k+1)! (k+1)! k! (k+1)! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴原式=?1-2!?+?2!-3!?+?3!-4!?+?+?n!-(n+1)!?=1- . ? ? ? ? ? ? ? ? (n+1)! 18. (满分 10 分)用 1、2、3、4、5、6、7 这 7 个数字组成没有重复数字的四位数. (1)这些四位数中偶数有多少个?能被 5 整除的有多少个?(2)这些四位数中大于 6500 的有多少个? 3 [解析] (1)偶数的个位数只能是 2、4、6 有 A1 3种排法,其它位上有 A6种排法,由分步乘法计数原理知共有四位偶 1 3 3 数 A3· A6=360 个;能被 5 整除的数个位必须是 5,故有 A6=120 个. 3 (2)最高位上是 7 时大于 6500,有 A6 种,最高位上是 6 时,百位上只能是 7 或 5,故有 2×A2 5种.∴由分类加法计 3 2 数原理知,这些四位数中大于 6500 的共有 A6+2A5=160 个. 19. (满分 12 分)一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目,要求排出一个节目单.(1)3 个舞蹈节目不排在开始和 结尾,有多少种排法?(2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法?(以上两个题只列出算式) 2 [解析] (1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有 A5 种排法,再将剩余的 3 个演唱节目,3 个舞蹈节目排 2 6 在中间 6 个位置上有 A6 种排法,故共有 A A 种排法. 6 5 6 (2)先不考虑排列要求,有 A8 8种排列,其中前四个节目没有舞蹈节目的情况,可先从 5 个演唱节目中选 4 个节目排 4 在前四个位置,然后将剩余四个节目排列在后四个位置,有 A4 5A4种排法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有 8 4 4 (A8-A5A4)种. 20. (满分 12 分)六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站右端,也不站左端;(2)甲、乙站在两端;(3)甲不站左端,乙不站右端. 2 [解析] (1)解法一:因甲不站左右两端,故第一步先从甲以外的 5 个人中任选二人站在左右两端,有 A5 种不同的站 2 4 法;第二步再让剩下的 4 个人站在中间的四个位置上,有 A4 A4=480 4种不同的站法,由分步乘法计数原理共有 A5· 种不同的站法. 解法二:因甲不站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上,有 A1 4种不同的站法;第二步再让 1 5 余下的 5 个人站在其他 5 个位置上,有 A5 种不同的站法,故共有 A · A = 480 种不同的站法. 5 4 5 解法三:我们对 6 个人,不考虑甲站位的要求,做全排列,有 A6 6种不同的站法;但其中包含甲在左端或右端的情 6 5 况,因此减去甲站左端或右端的排列数 2A5 5,于是共有 A6-2A5=480 种不同的站法. 2 (2)解法一:首先考虑特殊元素,让甲、乙先站两端,有 A2种不同的站法;再让其他 4 个人在中间 4 个位置做全排 2 4 列,有 A4 A4=48 种不同的站法. 4种不同的站法,根据分步乘法计数原理,共有 A2· 解法二:“位置分析法”,首先考虑两端 2 个位置,由甲、乙去站,有 A2 2种站法,再考虑中间 4 个位置,由剩下 4 2 4 的 4 个人去站,有 A4种站法,根据分步乘法计数原理,共有 A2· A4=48 种不同的站法. (3)解法一: “间接法”, 甲在左端的站法有 A5 乙在右端的站法有 A5 而甲在左端且乙在右端的站法有 A4 5种, 5种, 4种, 6 5 4 故共有 A6-2A5+A4=504 种不同的站法. 解法二:“直接法”,以元素甲的位置进行考虑,可分两类:a.甲站右端有 A5 5种不同的站法;b.甲在中间 4 个位置 1 4 1 1 4 之一,而乙不在右端,可先排甲后排乙,再排其余 4 个,有 A1 · A · A 种不同的站法,故共有 A5 A4· A4=504 种 4 4 4 5+A4· 不同的站法. 21. (满分 12 分)有 9 本不同的课外书,分给甲、乙、丙三名同学,求在下列条件下,各有多少种分法? (1)甲得 4 本,乙得 3 本,丙得 2 本;(2)一人得 4 本,一人得 3 本,一人得 2 本;(3)甲、乙、丙各得 3 本. [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①9 本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学; ②题目中的 3 个问题的条件不同. 解答本题先判断是否与顺序有关,然后利用相关的知识去解答. [解析] (1)分三步完成: 第一步:从 9 本不同的书中,任取 4 本分给甲,有 C4 9种方法; 第二步:从余下的 5 本书中,任取 3 本给乙,有 C3 种方法; 5 第三步:把剩下的书给丙有 C2 2种方法, ∴共有不同的分法有 C4 C3 C2 9· 5· 2=1260(种). (2)分两步完成: 4 3 2 第一步:将 4 本、3 本、2 本分成三组有 C9 · C5· C2种方法; 第二步:将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人,有 A3 3种方法, 4 3 2 3 ∴共有 C9· C5· C2· A3=7560(种). (3)用与(1)相同的方法求解, 得 C3 C3 C3 9· 6· 3=1680(种).

1 n 3 22. (满分 12 分)已知在( x- ) 的展开式中,第 6 项为常数项. 3 2 x (1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项. 1 r 3 - [解析] (1)Tr+1=Cr ( x)n r· (- ) n· 3 2 x 1 n-r 1 1r r =Cn· (x ) · (- · x- ) 3 2 3 1 r r n-2r =(- ) · Cn· x . 2 3 ∵第 6 项为常数项, n-2r ∴r=5 时有 =0,∴n=10. 3 n-2r 1 (2)令 =2,得 r= (n-6)=2, 3 2 1 2 45 ∴所求的系数为 C2 . 10(- ) = 2 4 10-2r ? ? 3 ∈Z (3)根据通项公式,由题意得:? 0≤r≤10 ? ?r∈Z 10-2r =k(k∈Z),则 10-2r=3k, 3 10-3k 3 即 r= =5- k. 2 2 ∵r∈Z,∴k 应为偶数,∴k 可取 2,0,-2, ∴r=2,5,8,∴第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项. 1 2 1 5 它们分别为 C2 (- )2· x ,C10 (- )5, 10· 2 2 1 - 8 C10 · (- )8· x 2. 2 令


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