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福建省华安县第一中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


华安一中 2015-2016 学年上学期期末考试 高二理科数学试题
(时间:120分钟 第Ⅰ卷 总分:150分)

(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 仅有一项是符合题目要求的。 1.已知某商场新进 3000 袋奶粉,为检查其三聚氰胺是否超标,现

采用系统抽样的方法从中 抽取 150 袋检查,若第一组抽出的号码是 11,则第二组抽出的号码为( A.31 B.161
2



C.30

D.32 )

2.已知 p:|x|<2;q:x -x-2<0,则 p 是 q 的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数 y=x -ax -3x+b 在 x ? 1 处取得极值 2 ,则实数 a, b 的值分别为(
3 2

)

A.0 和-4
3

B.0;b 取任意实数
2

C.0 和 4

D.4;b 取任意实数 )

4.函数 f(x)=x -3x -9x+2 在[-2,2]最大值是( A.-25 B.7 ) C.0 D.-20

5.下列结论错误的 是( ...
x

A.命题 “若 p,则 q”与命题“若非 q,则非 p”互为逆否命题 B.命题 p:? x∈R,e ≥1,命题 q:? x∈R,x +x+1<0,则 p∨q 为真 C.“若 x 为 y=f(x)的极值点,则 f′(x)=0”的逆命题为真命题 D.若“p 且 q”为真命题,则 p、q 均为真命题 6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程中记录的产品 x(吨)与相应的生 产能耗 y(吨)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为 y=0.7x+0.35,那么表中 t 的值为( A. 4.5 B. 3.5 C. 3.15 D. 3 ) x y 3 25 4 t 5 4 6 45
2

7.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示, 根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在区间[10,12] 内的频数为( A. 18
2

) B. 36
2

C. 54

D. 72

x y 8.方程 + =1 表示曲线 C,给出以下命题: ①曲线 C 不可能为圆;②若 1<t<4, 4-t t-1 则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线, 则 t<1 或 t>4; ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,
1

5 则 1<t< .其中真命题的序号是( 2 A. ③④ B. ②③
2

) C. ①④ D. ①②③④ )

9.已知函数 f(x)=x +2x+alnx,若函数 f(x)在(0,1)上单调递增,则实数 a 满足 ( A.a>0 B. a≥0 C.a≤-4 D.a<-4

10.双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左顶点与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离为 4, 2 a b


且双曲线一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为( A. 2 5 B. 2 3 C. 4 3 D. 4 5

11.已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点,A、B 是 该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的 中点到 y 轴的距离为( A. ) C.

3 4

B.1

5 4

D.

7 4
)

12.设 f(x)、g(x)是 R 上的可导函数,g(x)恒大于 0,f′(x),g′(x)分别为 f(x)、g(x) 的导函数,且满足 f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0,则当 a<x<b 时,有( A.f(x)g(b)<f(b)g(x) C.f(x)g(x)<f(b)g(a) B.f(x)g(x)<f(b)g(b) D.f(x)g(a)< f(a)g(x) 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的相应位置. 13.在圆 O 上有一定点 A,则从这个圆上任意取一点 B,使得∠AOB≤30°的概率是______. 14.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是____.

15.已知双曲线

x2 y 2 x 2 y2 ? =1 有相同的焦点,且双曲线的离 ? ? 1( a > 0 , b > 0) 和椭圆 16 9 a 2 b2
.

心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为

1 3 2 16.函数 y= x -ax +x-2a 在 R 上不是单调函数, ,则 a 的取值范围是________. 3 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分)

2

在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n ? n ? 1, 2,?,6? 的同学 所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 成绩 xn 1 70 2 76 3 72 4 70 5 72

(1)求第 6 位同学成绩 x6 ,及这 6 位同学成绩的标准差 s ; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间 ? 68,75? 中的概率.

18.(本小题满分 11 分) 1 3 2 2 已知函数 f(x)= x -ax +(a -1)x+b(a,b∈R),其图象在点(1,f(1))处的 3 切线方程为 x+y-3=0. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间,并求出 f(x)在区间[-2,4]上的最大值.

19.(本小题满分 12 分) 设椭圆 C:

3 x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 过点(0,4) ,离心率为 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)求 2 5 a b

过点(3,0)且斜率为

4 的直线被 C 所截线段的中点坐标 5

20.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD=2,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求钝二面角 A-PB-C 的余弦值。

21.(本小题满分 12 分) 已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x +3y =4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1. (1)当直线 BD 过点(0,1)时,求直线 AC 的方程;
3
2 2

(2 当∠ABC=60°时,求菱 形 ABCD 面积的最大值.

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f (x)=ln x ? ax+1,a ? R 是常数. (Ⅰ)求函数 y =f (x ) 的图象在点 P(1, f (1)) 处的切线 l 的方程; (Ⅱ)证明函数 y =f (x )(x ? 1) 的图象在直线 l 的下方; (Ⅲ)讨论函数 y =f (x ) 零点的个数.

4

华安一中 2015-2016 学年上学期期末考试 高二理科数学答题卷 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13、 14、 15、 16、 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 10 分)

5

18、 (本小题满分 12 分)

19、 (本小题满分 12 分)

6

20、 (本小题满分 12 分)

21、 (本小题满分 12 分)

7

22、 (本小题满分 12 分)

8

高 二理科数学参考答案及评分标准 一、选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 B 5 C 6 D 7 B 8 A 9 B 10 A 11 C 12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13、 1 6 14、 27 15、x2/4-y2/3=1 16、(-∞,-1)∪(1,+∞)

三、解答题: 17.解:

()由题得 1 75=

70+76+72+70+72+x6 ? x6 ? 90 6 1 ? 6位同学成绩的标准差s ? [(70 ? 75) 2 ? (76 ? 75) 2 ? (72 ? 75) 2 ? (70 ? 75) 2 ? (72 ? 75) 2 ? (90 ? 75) 2 ] 6 ? 7 ? 第6为同学的成绩x6 ? 90,这6位同学成绩的标准差为7. (2)从前5位同学中任意选出2位同学的基本事件个数有10个,它们是(701 , 76), (701 , 723 ), (701 , 70 4 ),

(701 , 725 ), (76, 723 ), (76, 70 4 ), (76, 725 ), (723 , 70 4 ), (723 , 723 ), (704 , 725 )。 其中恰有1位同学的成绩在(68, 75)之间的基本事件有4个,它们是(701 , 76),(76, 723 ), (76, 70 4 ), (76, 725 ) 。所以恰有1个同学的成绩在(68,75)之间的概率P=
18.解: (1)f′(x)=x -2ax+a -1, ∵(1,f(1))在 x+y-3=0 上,∴f(1)=2, 1 2 ∵(1,2)在 y=f(x)上,∴2 = -a+a -1+b, 3 8 2 又 f′(1)=-1,∴a -2a+1=0,解得 a=1,b= 3 1 3 8 2 2 (2)∵f(x)= x -x + ,∴f′(x)=x -2x, 3 3 由 f′(x)=0 可知 x=0 和 x=2 是 f(x)的极值点,所以有 x f′(x) f(x) (-∞,0) + 0 0 极大值 (0,2) - ? 2 0 极小值? (2,+∞) + ? ?????5 分 ?????6 分
2 2

4 2 ? . 10 5

所以 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(2,+∞),单调递减区间是 (0,2) ?????9 分 8 4 ∵f(0)= ,f(2)= ,f(-2)=-4,f(4)=8, 3 3 ∴在区间[-2,4]上的最大值为 8. ?????11
9

分 19.解: (Ⅰ)将(0,4)代入 C 的方程得 即1 ?

16 c 3 a 2 ? b2 9 ? 1 e ? ? ? ∴ b=4 又 得 b2 a 5 a2 25

16 9 ? , a 2 25
∴C 的方程为

∴a ? 5

x2 y 2 ? ?1 25 16
4 4 的直线方程为 y ? ? x ? 3 ? , 5 5

?????5 分

(Ⅱ)过点 ? 3,0 ? 且斜率为

设直线与C的交点为A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? ,将直线方程 y ?
2

4 ? x ? 3? 代入C的方程, 5

3 ? 41 3 ? 41 x2 ? x ? 3? 得 , x2 ? , ? ? 1 ,即 x 2 ? 3x ? 8 ? 0 ,解得 x1 ? 2 2 25 25

?

AB 的中点坐标 x ?

x1 ? x2 3 y ? y2 2 6 ? , y? 1 ? ? x1 ? x2 ? 6 ? ? ? , 2 2 2 5 5
?????12 分

即中点为 ?

?3 6? ,? ?。 ?2 5?

注:用韦达定理正确求得结果,同样给分。 20.解: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD =2 由余弦定理得 BD ? 3 AD 从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD
2 2 2

又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD ?????4 分

(Ⅱ)如图,以 D 为坐标 原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D- xyz , 则 A ?1,0,0 ? , B 0,3, 0 , C ?1, 3, 0 , P ? 0,0,1? 。

?

? ?

?

uu u v uuv uuu v AB ? (?1, 3,0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1,0,0)
uuu r n? AB ? 0, uu u r 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z) ,则 n? PB ? 0,

?????6 分

{



?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

因此可取

10

n= ( 3,1, 3)

?????8 分

设平面 PBC 的法向量为 m,则 可取 m=(0,-1, ? 3 )

{

uu u r m? PB ? 0, uuu r m? BC ? 0,
?????10 分

cos m, n ?

?4 2 7 ?? 7 2 7

故钝二面角 A-PB-C 的余弦值为

?

2 7 ??12 分 7

21.解:(1)由题意得直线 BD 的方程为 y=x+1.因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD. 于是可设直线 AC 的方程为 y=-x+n.
?x +3y =4, ? 由? ? ?y=-x+n
2 2

?????1 分 ?????2 分

得 4x -6nx+3n -4=0.
2

2

2

因为 A,C 在椭圆上,所以 Δ =-12n +64>0, 4 3 4 3 解得- <n< . 3 3 设 A, C 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 3n 3n -4 x1+x2= ,x1x2= , 2 4 y1=-x1+n,y2=-x2+n. n ?3n n? 所以 y1+y2= ,所以 AC 的中点坐标为? , ?. 2 ? 4 4? ?????5 分
2

?????3 分

?????4 分

?3n n? 由四边形 ABCD 为菱形可知,点? , ?在直线 y=x+1 上, ? 4 4?
n 3n 所以 = +1,解得 n=-2. 4 4 所以直线 AC 的方程为 y=-x-2,即 x+y+2=0. (2)因为四边形 ABCD 为菱形,且∠ABC=60°, 所以|AB|=|BC|=|CA|. 所以菱形 ABCD 的面积 S= 3 2 |AC| . 2
2

? ????6 分

?????8 分 ?????10 分 ?????11 分 ?????12 分

-3n +16 2 2 2 由(1)可得|AC| =(x1-x2) +(y1-y2) = , 2 所以 S= 3 ? 4 3 4 3? 2 (-3n +16)?- <n< ?. 4 3 ? ? 3

故当 n=0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3.

11

22.解: (Ⅰ) f ?(x )=

1 ? a ( x>0) x

???????1 分

f (1)= ? a +1 , kl =f ?(1)=1 ? a ,所以切线 l 的方程为

y ? f (1)=kl (x ? 1) ,即 y =(1 ? a )x .
(Ⅱ)令 F ( x )=f (x ) ? (1-a )x=lnx ? x +1 ,x >0, 则

???????3 分

1 1 F ?( x )= ? 1= (1 ? x ) , 解F ?( x )=0得x =1. x x

x
F ?( x )
F ( x)

(0 , 1)

1
0
最大值

(1 , ? ?)

?


?


F (1)<0 ,所以 ?x > 0 且 x ? 1 , F ( x)<0 , f ( x )<(1 ? a )x ,
即函数 y =f ( x ) (x ? 1) 的图像在直线 l 的下方. (Ⅲ)令 f (x)=lnx ? ax+1 =0 , a = ?????7 分

ln x +1 . x ln x +1 ln x +1 1 ? ( ln x +1) ln x )?= =? 2 , 令 g (x )= , g ?(x )=( 2 x x x x
则 g (x ) 在 (0,1) 上单调递增,在 (1,+?) 上单调递减,???????9 分

当 x =1 时, g (x ) 的最大值为 g (1)=1 . 又 x 逼近 0 时, g (x ) 逼近负无穷大;在 (1,+?) 上,x 逼近正无穷大时, g (x ) 图象在 x 轴上 方且以 x 轴为渐近线;由 g (x ) 图象可得:??????11 分 当 a >1 ,则 f ( x ) 无零点;若 f ( x ) 有零点,则 a ? 1 . 当 a =1 或 a ? 0 时, f ( x ) 有且仅有一个零点; 当 0<a <1 时, f ( x ) 有两个零点. ??????13 分

12


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