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人教A版必修1课本例题习题改编


人教 A 版必修 1 课本例题习题改编 1. 原 题 ( 必 修 1 第 七 页 练 习 第 三 题 ( 3 ) )判断下列两个集合之间的关系: A= x | x是4与10的公倍数,x ? N ? ,B ? ? x | x ? 20m, m ? N ? ? 改编 已知集合 M ? ? x

?

?

x ? x ? ?

x ? ? N ?且 ? N ? ? ,集合 N ? ? x ? Z ? ,则( 10 ? 4 ? ? 40 ?
C. M ? N ? ? x



A. M ? N

B. N ? M

? x ? ?Z? ? 20 ?

D. M ? N ? ? x

? x ? ? N?? ? 40 ?

解: M ? x x ? 20k , k ? N ?

?

?

N ? ? x x ? 40k , k ? Z ? ,故选 D .

2.原题(必修 1 第十二页习题 1.1B 组第一题)已知集合 A={1,2},集合 B 满足 A∪B={1,2}, 则这样的集合 B 有 个 改编 已知集合 A、B 满足 A∪B={1,2},则满足条件的集合 A、B 有多少对?请一一写出来. 解:∵A∪B={1,2},∴集合 A,B 可以是:?,{1,2};{1},{1,2};{1},{2};{2},{1,2};{2}, {1};{1,2},{1,2};{1,2},{1};{1,2},{2};{1,2},?.则满足条件的集合 A、B 有 9 对。 3.原题(必修 1 第二十五页习题 1.2B 组第二题)画出定义域为 x ? 3 ? x ? 8, 且x ? 5 ,值域 为 y ? 1 ? y ? 2, y ? 0 的一个函数的图像, (1)将你的图像和其他同学的比较,有什么差别 吗?(2)如果平面直角坐标系中点 P(x,y) 的坐标满足 ?3 ? x ? 8 , ?1 ? y ? 2 ,那么其中 哪些点不能在图像上? 改编 若函数 y ? f ( x) 的定义域为 x ? 3 ? x ? 8, x ? 5 ,值域为 y ? 1 ? y ? 2, y ? 0 ,则

?

?

?

?

?

?

?

?

y ? f ( x) 的图象可能是(



A

B

C

D

解:根据函数的概念,任意一个 x 只能有唯一的 y 值和它对应,故排除 C ;由定义域为

? x ? 3 ? x ? 8, x ? 5? 排除 A、D,选 B.

[来源:学_科_网]

4.原题(必修 1 第四十四页复习参考题 A 组第四题)已知集合 A={x| x =1},集合 B={x|ax=1}, 若 B ? A,求实数 a 的值。 改编 已知集合 A={x|x-a=0},B={x|ax-1=0},且 A∩B=B,则实数 a 等于 。 解:∵A∩B=B ,∴B?A ,A={x|x-a=0}={a},对于集合 B,当 a=0 时,B=?满足 B?A;当 a≠0
-1-

2

时,B={ };要使 B?A 需

,解得 a=±1;故答案为 1 或-1 或 0。
1 ? x2 , 求证: (1)f (? x) ? f ( x) ; 1 ? x2

5.原题 (必修 1 第四十四页复习参考题 A 组第八题) 设 f ( x) ? (2) f ( ) ? ? f ( x) . 改编 设定在 R 上的函数 f ( x) 满足: f (tan x) ?
1 ,则 cos 2 x

1 x

1 1 1 f (2) ? f (3) ? ? ? f (2012) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( )? 2 3 2012

.

解:由 f (tan x) ?

1 cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan 2 x 1 ? x2 ? ? .得 f ( x) ? .由所求式子特征考查: 2 2 2 1 ? x2 cos 2 x cos x ? sin x 1 ? tan x

1 1? 2 1 1 ? x2 x ? 0 . ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2012) ? f ( 1 ) ? f ( 1 ) ? ? ? f ( 1 ) ? 0 . f ( x) ? f ( ) ? ? 2 2 3 2012 x 1? x 1? 1 x2

6.原题(必修 1 第四十五页复习参考题 B 组第七题) 《中华人民共和国个人所得税》规定,公 民全月工资、薪金所得不超过 2000 元的部分不必纳税,超过 200 0 元的部分为全月应纳税所 得额.此项税款按下表分段累计计算:

某人一月份应交纳此项税款为 26.78 元,那么他当月的工资、薪金所得是多少? 改编 2011 年 4 月 25 日, 全国人大常委会公布 《中华人民共和国个人所得税法修正案 (草案) 》 , 向社会公开征集意见.草案规定,公民全月工薪不超过 3000 元的部分不必纳税,超过 3000 元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算.
级数 全月应纳税所得额 税率

1

不超过 1500 元的部分

5%

2

超过 1500 元至 4500 元的部分

10%

3

超过 4500 元至 9000 元的部分

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

20%

依据草案规定, 解答下列问题: (1) 李工程师的月工薪为 8000 元, 则他每月应当纳税多少元? (2)若某纳税人的月工薪不超过 10000 元,他每月的纳税金额能超过月工薪的 8%吗?若能, 请给出该纳税人的月工薪范围;若不能,请说明理由. 解: (1)李工程师每月纳税:1500×5%+3000×10%+500×20%=75+400=475(元) ; (2)设该纳税人的月工薪为 x 元,则当 x≤4500 时,显然纳税金额达不到月工薪的 8%; 当
-2-

4500<x≤7500 时,由 1500×5%+(x-4500)×10%>8%x,得 x>18750,不满足条件; 当 7500 <x≤10000 时, 由 1500×5%+3000×10%+ (x-7 500) ×20%>8%x, 解得 x>937 5, 故 9375<x≤10000 答:若该纳税人月工薪大于 9375 元且不超过 10000 元时,他的纳税金额能超过月工薪的 8%. 7.原题(必修 1 第八十三页复习参考题 B 组第三题)对于函数 (1)探索函数 f(x)的单调性; (2)是否存在实数 a 使 f(x)为奇函数? 改编 对于函数 f(x)=a+
. (a

? R)

2 (x∈R), (1)用定义证明:f(x)在 R 上是单调减函数; (2) 2 ?1
x
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

若 f(x)是奇函数,求 a 值; (3)在(2)的条件下,解不等式 f(2t+1)+f(t-5)≤0. 证明(1) :设 x1 < x2 ,则 f( x1 )-f( x2 )=

2 x2 ? 2 x1 2 2 x x = ∵ 2 2 - 2 1 >0, x1 x2 x1 x2 2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 1)

2 x1 ? 1 >0, 2 x2 ? 1 >0.即 f( x1 )-f( x2 )>0.∴f(x)在 R 上是单调减函数
(2)∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0?a=-1. (3)由(1) (2)可得 f(x)在 R 上是单调减函数且是奇函数,∴f(2t+1)+f(t-5)≤0.转 化为 f(2t+1)≤-f(t-5)=f(-t+5 ) ,?2t+1≥-t+5?t≥ ≤0 的解集为:{t|t≥

4 ,故所求不等式 f(2t+1)+f(t-5) 3

4 }. 3

8.原题(必修 1 第八十三页复习参考题 B 组第四题)设 f ( x) ?
2 2

e x ? e? x e x ? e? x ,求 , g ( x) ? 2 2
2 2

证: (1) (2)f (2 x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ; (3)g (2 x ) ? ? g ( x ) ? ? ? f ( x) ? ; ? g ( x) ? ? ? f ( x) ? ? 1 ;
[来源:Zxxk.Com]

改编
2

设 f ( x) ?
2

e x ? e? x e x ? e? x , 给 出 如 下 结 论 : ① 对 任 意 x?R , 有 , g ( x) ? 2 2

? g ( x) ? ? ? f ( x) ?

? 1 ;②存在实数 x0 ,使得 f (2 x0 ) ? 2 f ( x0 ) g ( x0 ) ;③不存在实数 x0 ,使
2 2

得 g (2 x0 ) ? ? g ( x0 ) ? ? ? f ( x) ? ;④对任意 x ? R ,有 f (? x) g (? x) ? f ( x) g ( x) ? 0 ; 其中所有正确结论的序号是 解: 对于①: ? g ( x) ? ? ? f ( x) ? ? (
2 2

e x ? e ? x 2 e x ? e ? x 2 e 2 x ? 2 ? e ?2 x e 2 x ? 2 ? e ?2 x ) ?( ) ? ? ?1 2 2 4 4

对 于 ② : 2 f ( x) g ( x) ? 2 ?

e x ? e ? x e x ? e ? x e 2 x ? e ?2 x ? ? ? f (2 x) , 即 ?x0 ? R 恒 有 2 2 2

f (2 x0 ) ? 2 f ( x0 ) g ( x0 ) ;
对于③: ? g ( x) ? ? ? f ( x) ? ? (
2 2

e x ? e ? x 2 e x ? e ? x 2 e 2 x ? e ?2 x ) ?( ) ? ? g (2 x) ,故不存在 x , 2 2 2
-3-

使 g (2 x0 ) ? ? g ( x0 ) ? ? ? f ( x0 ) ?
2

2

对于④: f (? x) g (? x) ? f ( x) g ( x) ?

e? x ? e x e? x ? e x e x ? e? x e? x ? e x ? ? ? 2 2 2 2

?

e ?2 x ? e 2 x e 2 x ? e ?2 x ? ? 0 ,故正确的有①③④ 4 4

9.原题(必修 1 第九十页例 2)借助计算器或计算机用二分法求方程 2 x ? 3 x ? 7 的近似解(精 确度 0.1). 改编 为了求函数 f ( x) ? 2 ? 3 x ? 7 的一个零点,某同学利用计算器得到自变量 x 和函数
x

f ( x) 的部分对应值(精确度 0.1)如下表所示

x f ( x)

1.25 -0.8716

1.3125 -0.5788

1.375 -0.2813

1.4375 0.2101
[来源:Z&xx&k.Com]

1.5 0.32843

1.5625 0.64115

则方程 2 x ? 3 x ? 7 的近似解(精确到 0.1)可取为( A.1.32 B.1.39 C.1.4

) D.1.3

解:通过上述表格得知函数唯一的零点 x0 在区间 (1.375,1.4375) 内,故选 C. 10.原题(必修 1 第九十五页例 1)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择, 这三种方案的回报如下:方案一:每天回报 40 元;方案二:第一天回报 10 元,以后每天比 前一天多回报 10 元;方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一 番。请问, 你会选择哪种投 资方案? 改编 某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式,这三种领奖方式如下:方式一: 每天到该商场领取奖品,价值为 40 元;方式二:第一天领取的奖品的价值为 10 元,以后每 天比前一天多 10 元;方式三:第一天领取的奖品的价值为 0.4 元,以后每天的回报比前一天 翻一番。若商场的奖品总价值不超过 600 元,则促销奖的领奖活动最长 设置为几天?在领奖 活动最长的情况下,你认为哪种领奖方式让领奖者受益更多? 解:设促销奖的领奖活动为 x 天,三种方式的领取奖品总价值分别为 f ( x), g ( x), h( x ) 。 则 f ( x) ? 40 x ; g ( x) ? 10 ? 20 ? 30 ? ?10 x ? 5 x ? 5 x ;
2

h( x) ? 0.4 ? 0.4 ? 2 ? 0.4 ? 22 ? ? ? 0.4 ? 2 x?1 ? 0.4 ? 2 x ? 0.4
要使奖品总价值不超 过 600 元,则

? f ( x) ? 600 ? x ? 15 ? g ( x) ? 600 ? x 2 ? x ? 120 ? 0 ? ? ?? x ? ?h( x) ? 600 ?2 ? 1501 ? ?x ? N ?x ? N ?
又 f (10) ? 400

解得 x ? 11, x ? N

g (10) ? 550

h(10) ? 409.2 ,故 g (10) ? h(10) ? f (10)

答:促销奖的领奖 活动最长可设置 10 天,在这 10 天内选择方式二会让领奖者受益更多。

-4-

11.原题(必修 1 第一百一十三页复习参考习 A 组第九题)某公司每生产一批产品都能维持一 段时间的市场供应,若公司本次新产品生产开始 x 月后,公司的存货量大致满足模型

f ? x ? ? ?3x 3 ? 12 x ? 8 ,那么下次生产应在多长时间后开始?
改编 某公司每生产一批产品都能维持一段时间的市场供应,在存货量变为 0 的前一个月, 公司进行下次生产。若公司本次新产品生产开始月 x 后,公司的存货量大致满足模 型

f ? x ? ? ?2 x 3 ? 6 x ? 20 ,那么下次生产应在

月后开始。

解: f ?1? ? 24 ? 0, f (2) ? 16 ? 0, f (3) ? ?16 ? 0 ,所以应该在两个月后进行生产。

-5-


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