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成都市高2015届高二调研考试试题 数学(理)


高二数学试题(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每个题 5 分,共 50 分.
1.已知空间向量 a ? (1, 0,1) ,b ? (?2,1, ?1) ,则 a ? b ? ( )

(A) (?1,1, 0)

(B) (?1, 0,1) ( )

(C) (1,1, ?1)


(D) (1,1, 0)

2.下列说法正确的是

(A)不可能事件没有概率 (B)必然事件的概率为 0 (C)随机事件的概率不大于 1 (D)随机事件的概率可以小于 0
A' D' C'

B'

第 3 题图

3.如图, A ' B ' C ' D ' 为各边与坐标轴平行的正方形 ABCD 的直观图, 若 A ' B ' ? 3 ,则原正方形的面积是( )

9 2 4 4.如图是甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的
(A)9 (B)36 (C)9 或 36 (D) 9 2 或 茎叶图,则甲得分的众数、乙得分的中位数分别是 ( ) (A)14分,25分 (B)32分,25分 (C)32分,26分 (D)14分,26分 5.如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 为边 CD 上 一定点,若在平行四边形 ABCD 内部随机取一个点 Q ,
D

4 5 2 2 6 9 2 9

甲 4 4 4 1 5

0 1 2 3 4

乙 8 2 5 8 3 6 5 2 3 4 1

第 4 题图
E C

则点 Q 取自 ?ABE 内部的概率等于( (A)



第 5 题图 6.某厂节能降耗技术改造后,生产某产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗

1 4

(B)

1 3

(C)

1 2

(D)

2 3

A

B

y (吨)的几组对应数据如下表:

x
y

1 2

2 t

3 3

4 4.5

? =0.8x+1, 根据上表提供的数据,求得 y 关于 x 的线性回归方程为 y
那么表中 t 的值为( (A)2.8 ) (B)2.7 (C)2.6 (D)2.5

7.执行如图所示的程序框图,如果输出的 S ?

1 1 1 1 1 1 + ? ? ? ? ? 1 1 2 1 2 3
) (D)9

1 1 1 1 ? ? ? ? ????? ,则输入的 N 的值应该是( 1 2 3 10
(A)12 (B)11 (C)10

第 7 题图

8.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (0,0,0) , (3, 0,3) ,

(0,3,3) , (3, 2,0) ,若以 yOz 为投影面画出该三棱锥的正视图,则得到的正视图为( )

(A)

(B)

9.设 l , m , n 是三条不同的直线, ? , ?

... 是两个平面,则下列命题不正确的是(

(C)

(D)

)

(A) 若 m, n 是两条异面直线, l ? m , l ? n , n ? ? , m ? ? 且 ? ∥ ? ,则 l ? ? (B)若 m, n 是两条异面直线, n ? ? , m ? ? , m ∥ ? 且 n ∥ ? ,则 ? ∥ ? (C)若 l ?

? , l ? m , l ? n , n ? ? , m ? ? ,则 ? / / ?
? ? , ? ? ? ? m , n ? ? , n / / m ,则 l / / n
2 , 4? x } 函 数 f (x ) ?
2

(D)若 l / /? , l 10.已知区域

a ( a x ? a ? x ), 其 中 a ?1 2 a ? 0 且 a ? 1 , 集 合 A ?{ m ? 0 | f ( 1 域 M ? { (x , y ? ) ? ? m ? ) f (? 1m ? ), 区 0} | y ? mx ? 2m, m ? A} , 向 区 域 ? 上 随 机 投 一 点 P , 点 P 落 在 区 域 M 内 的 概 率 ) P( M ) ? ( ? ?1 ? ?2 ? ?2 ? ?1 (A) (B) (C) (D) 4? 2? 2 4

? ?{ (x , y ) | 0 ?y?

二、填空题:本大题共 5 小题,每个题 5 分,共 25 分. 11.某班有男生 30 名,女生 20 名,采用分层抽样的方法从这 50 名学生中抽取一个容 量为 5 的一个样本,则应抽取的男生人数为____________.
12.阅读如图所示的程序,若输入的 t 的值为 6,则执行程序后输出的结果是________.

INPUT t IF t<=4 THEN c=0.2 ELSE c=0.2+0.1*(t-3) END IF PRINT c END A C B P

第 12 题图 第 14 题图 13.三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,上、下两底面共有 AB, BC, CA, A 1B 1, B 1C1 , C1 A 1 六条棱, 从中任选两条棱,它们所在直线是异面直线的概率为_________. 14.如图,四面体 PABC 四顶点 P、A、B、C 均落在球 O 的球面上,且 AC ? BC ? 2 ,

?ACB ? 90? , AP ? BP ? AB , PC ? AC .那么球 O 的体积是____________.

15.如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,棱长为 a ,有下列命题: ① P 点在 ?BDC1 所在平面上运动,棱锥 P ? AB1 D1 体积不 变; ②若点 M 、 N、 L 分别是线段 A 、A1 D1 、 A1 A上与端点 1B 1 不重合的三个动点,则 ?MNL 必为锐角三角形; ③若 Q 为 AA1 的中点, G 为底面 A1 B1C1 D1 (包含边界)内

A B Q C

D

G 的轨迹长 的一个动点,且始终满足 GQ ? A 1 C ,则动点

2 a; 3 C ,则截正方体 ④若垂直于 AC 1 的平面 ? 由点 A 1 移动至点
度为 得到的多边形只能是三角形或六边形, 且所得多边形面积和 周长的最大值分别为

A1 G B1
第 15 题图

D1 C1

3 3 2 a 和3 2a . 4

其中下正确的命题有_________. (写出所有正确命题的序号)
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答过程应写明文字说明、证明过程或推演步骤.

16. (本小题满分 12 分) 如图,棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中.

D A B

C

AC 所成角的大小; (Ⅰ)求异面直线 A 1D 与
(Ⅱ)求证:平面 ACB1 ? 平面 BB1D1D .

D1 A1 第 16 题图 B1

C1

17. (本小题满分 12 分) 袋中共有 6 个除颜色以外完全相同的小球, 其中有标记为 A, B 的红球 2 个, 标记为 a , b , c , d 的白球 4 个,若从中任意选取 2 个球. (Ⅰ)记 { A, a } (不考虑顺序)为一种选取结果,试写出所有选取结果,并指出所有结 果的个数; (Ⅱ)试求所选的两个球中至少有一个红球的概率.

A1 B 1C 中 是平行四边形,其中 1D , 底 面 A B C D A1 A? A A ? 1 , ?AA1D1 ? ?AA1B1 ? 60? , D1 A1 ? A1B1 ,点 M 在 A1B1 上,且 1 D 1? 1 B 1 A1M ? 2MB1 , N 为 AD1 中点. ???? ? ???? ? ????? ???? (Ⅰ)若 A1B1 =a, A1D1 =b, A 1 A =c,试用 a,b,c 表示 MN ;
1

18.(本小题满分 12 分) ? 如图,在四棱柱 ABCD

(Ⅱ)求线段 MN 的长.

D A N D1 A1 M
第 18 题图

C B

C1 B1

19. (本小题满分 12 分) 教育部、 国家体育总局和共青团中央共同号召全国各级各类学校要广泛、 深入地开展全 国亿万大中学生阳光体育运动.为此,某校学生会对高二年级学生 2013 年 6 月这一个月时 间内参加体育运动的情况进行统计,随机抽取了 M 名学生作为样本,得到这 M 名学生该月 参加体育运动总时间的小时数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图 (如图①)如下: 分组 序号 1 2 3 4 2013 年 6 月参加体育运动总 时间(小时) 组中值 ( ai ) 22.5 27.5 32.5 37.5 —— 频数 10 25 频率

( fi )
0.25

[20, 25)

[25,30)
[30,35) [35, 40)
合计

n
p
0.05
1

m
2 M

频率/组距

a

O

20

25 30

35

40

参加体育运动 小时数

图① 第 19 题图 (Ⅰ)求出表中 M , p 及图①中 a 的值;

图②

(Ⅱ)现以这 M 人为样本来估计总体,若该校高二学生有 720 人,试估计该校高二学 生在 2013 年 6 月参加体育运动总时间不超过 30 小时的人数; (Ⅲ)该校数学兴趣小组利用算法流程(如图②) ,对样本数据作进一步统计分析,求 输出的 S 的值.

20. (本小题满分 13 分) 将图①所示的直角梯形 ABEF (图中数字表示对应线段的长度)沿直线 CD 折成直二 面角,连接部分线段后围成一个空间几何体,如图②所示. (Ⅰ)证明: BE ∥平面 ADF ; (Ⅱ)求平面 BEF 与平面 ABCD 所成锐二面角的正切值; (Ⅲ)求空间几何体 ABCDFE 的表面积.

图① 第 20 题图

图②

21. (本小题满分 14 分)

BC ? CD ,AD ? 2 , AD ? 平面 BCD , BD ? 2 2 . 如图, 在四面体 A ? BCD 中, M
是 AD 的中点, P 是 BM 的中点. (Ⅰ)若 ?BDC ? 45? ,求直线 CD 与平面 ACB 所成角的大小; (Ⅱ)若二面角 C ? BM ? D 的大小为 60 ? ,求 ?BDC 的大小; (Ⅲ) 若 CD ? x , 对任意 x ?[1, 2] , 则线段 BD 上是否存在点 E , 使得平面 CPE ? 平面 CMB ?若存在,设 BE ? y ,试写出 y 关于 x 的函数表达式,并求出 y 的最大值;若 不存在,说明理由.

第 21 题图


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