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【解析】山东省临沂市2013届高三3月教学质量检测考试(一模)数学(理)试题


2013 年临沂市高三教学质量检测考试 理科数学
2013.3 一、第 I 卷 (选择题共 60 分) 1.i 是虚数单位,复数 (A)第一象限

2?i 在复平面上的对应点在 1? i
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

2.已知集合 A={ x | x ? sin (A){-1,0}

/>k? ,k ? Z },B={ x || x ? 1|? 1 },则 A ? B = 2
(C){0} (D){1}

(B){0,1}

3.已知 a,b 为非零向量,则“函数 f ( x) ? ( ax ? b) 2 为偶函数”是“ a ? b ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 4.函数 f ( x ) ? lg x ? (A)(3,4) 5.函数 f ( x ) ? e
1? x 2

?

?

?

?

(D)既不充分也不必要条件

1 的零点所在的区间是 x
(C)(1,2) (D)(0,1)

(B)(2,3)

的部分图象大致是

6.已知 F 是抛物线 y ? x 的焦点,A,B 为抛物线上的两点,且|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点 M 到 y
2

轴的距离为 (A)

5 4

(B)

7 4

(C)

3 2

(D)

3 4

7.春节期间,“厉行节约,反对浪费”之风悄然吹开,某市通过随机询问 100 名性别不同的居民是否能做 到“光盘”行动,得到如下的列联表: 能做到“光 做不到“光盘” 盘” 男 女 45 30 10 15 附: P(K ? k)
2

0.10

0.05 0.025

k

2.706 3.841 5.024

-1-

K2 ?

n( ad ? bc )2 ( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )

参照附表,得到的正确结论是 (A)在犯错误的概率不超过 l%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” (B)在犯错误的概率不超过 l%的前提下,认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” (C)有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关” (D)有 90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关” 8.具有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为

(A)13

(B)7+3 2

(C) ?

7 2

(D)14

9 . 如 图 所 示 , 在 边 长 为 l 的 正 方 形 OABC 中 任 取 一 点 P , 则 点 P 恰 好 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 为

(A)

1 3

(B)

1 4

(C)

1 5

(D)

1 6

10.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为

-2-

(A)4

(B)

3 2

(C)

2 3

(D)-1

11.函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? ) (其中 A>0,| ? |? 象,则只要将 f ( x ) 的图象

?
2

)的部分图象如图所示,为了得到 g( x ) ? cos 2 x 的图

(A)向左平移 (C)向左平移

?
12

个单位长度

(B)向右平移 (D)向右平移

?
12

个单位长度

?

6

个单位长度

?

6

个单位长度

12、已知集合 M={ ( x, y )| y ? f ( x ) },若对于任意 ( x1 , y1 ) ? M ,存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ①M={ ( x, y )| y ?

1 };②M={ ( x, y )| y ? sin x ? 1 }; x

③M={ ( x, y )| y ? log 2 x };④ M ? {( x, y ) y ? e x ? 2} .其中是“垂直对点集”的序号是 (A)①② (B)②③ (C)①④ (D)②④

二、填空题:本大题共 4 小题。每小题 4 分。共 16 分.把正确答案填在答题纸给定的横线上. 13.在 ( x ?

2 6 ) 的二项展开式中,常数项等于 x
2 2

。 。

14.直线 y=x 的任意点 P 与圆 x ? y ? 10 x ? 2 y ? 24 ? 0 的任意点 Q 间距离的最小值为

-3-

?x ? y ? 2 ? ???? ???? ? 1 ? 15. 已知 O 是坐标原点, M 的坐标为(2, 若点 N(x,)为平面区域 ? x ? 点 1), y 上的一个动点, OM ? 则 ON 2 ? ? y?x ?
的最大值是 。

16.给出下列四个命题: ①命题“ ?x ? R,cos x ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R,cos x ? 0 ”; ②若 lg a ? lg b ? lg( a ? b ) ,则 a ? b 的最大值为 4; ③定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) ,则 f ( 6 ) 的值为 0; ④已知随机变量 ? 服从正态分布 N( 1,? ),P( ? ? 5 ) ? 0.81 ,则 P( ? ? ?3 ) ? 0.19 ;其中真命题的序号是
2

(请把所有真命题的序号都填上). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,怨答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? cos

x x ? 3 sin . 2 2

(I)若 x ? [ ? 2? , 2? ] ,求函数 f ( x ) 的单调减区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,若 f ( 2 A ? 求△ABC 的面积. 18.(本小题满分 l2 分) 某次考试中,从甲,乙两个班各抽取 10 名学生的成绩进行统计分析,两班 10 名学生成绩的茎叶图如图 所示,成绩不小于 90 分为及格.

2 4 ? ) ? ,sin B ? 5 cos C,a ? 2 , 3 3

(I)从每班抽取的学生中各抽取一人,求至少有一人及格的概率; (Ⅱ)从甲班 l0 人中取两人,乙班 l0 人中取一人,三人中及格人数记为 X,求 X 的分布列和期望.

-4-

19.(本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为矩形,PD ? 平面 ABCD,PD//QA,QA=AD= (I)求证:平面 PQC ? 平面 DCQ; (Ⅱ)若二面角 Q-BP-C 的余弦值为 ?

1 PD 2

3 AB ,求 的值 5 AD

20.(本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 S n 满足 S n ? an ? (

1 n ?1 ) ? 2( n ? N * ) ,设 cn ? 2n an . 2

(I)求证:数列{ cn }是等差数列,并求数列{ an }的通项公式; (II)按以下规律构造数列{ bn },具体方法如下: b1 ? c1 ,b2 ? c2 ? c3 ,b3 ? c4 ? c5 ? c6 ? c7 ,?第 n 项

bn 由相应的{ cn }中 2n-1 项的和组成,求数列{ bn }的通项 bn .
21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的 离 心 率 与 等 轴 双 曲 线 的 离 心 率 互 为 倒 数 关 系 , 直 线 a 2 b2

l : x ? y ? 2 ? 0 与以原点为圆心,以椭圆 C 的短半轴长为半径的圆相切.
(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 M 是椭圆的上顶点,过点 M 分别作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,设两直线的斜率分别为 k1, k2,且 k1+k2=4,证明:直线 AB 过定点( ? 22.(本小题满分 14 分)

1 ,-l). 2

2a 2 ? x( a ? 0 ) 已知函数 f ( x ) ? ?a ln x ? x
(I)若曲线 y ? f ( x ) 在点(1, f ( 1 ) ))处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性;
-5-

(Ⅲ)当 a ? ( ?? , 0 ) 时,记函数 f(x)的最小值为 g(a),求证: g (a ) ? ?e ?4 . 参考答案 一、选择题 1. 【答案】D

2 ? i (2 ? i )(1 ? i ) 1 ? 3i 1 3 1 3 ? ? ? ? i ,对应点为 ( , ? ) ,位于第四象限,选 D. 1 ? i (1 ? i )(1 ? i ) 2 2 2 2 2

2 .【 答 案 】 B A ? {x x ? sin

k? , k ? Z } ? {x 0,1, ?1} , B ? {x | x ? 1|? 1} ? {x 0 ? x ? 2} , 所 以 2

A ? B ? {0,1} ,选 B
3. 答案】 因为 f ( x) ? (ax ? b) 2 ? a x 2 ? 2a ? bx ? b , 【 C 所以若 f ( x) ? ( ax ? b) 2 为偶函数, 所以 2a ? b ? 0 , 即 a ?b ? 0 , 所以 a ? b 。 a ? b , 若 则有 a ? b ? 0 , 所以 f ( x) ? (ax ? b) ? a x ? 2a ? bx ? b ? a x ? b ,
2 2 2

?

?

?2

? ?

?2

?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

?2

? ?

?2

?2

?2

为偶函数,所以“函数 f ( x) ? ( ax ? b) 2 为偶函数”是“ a ? b ”的充要条件,选 C. 4. 【答案】B 因为 f (2) ? lg 2 ?

?

?

?

?

1 1 ? 0 , f (3) ? lg 3 ? ? 0 , 所以函数的零点在区间(2,3)上,选 B. 2 3
1? x 2

5. 【答案】C 函数为偶函数,所以图象关于 y 轴对称,排除 A,B.又因为 e 6. 【答案】A 抛物线的焦点为 F ( , 0) ,准线方程为 x ? ?

? 0 ,所以排除 D,选 C.

1 。因为|AF|+|BF|=3,所以设 A 到准线的距离为 4 3 AC ,B 到准线的距离为 AD ,则 AC ? AD ? 3 ,则线段 AB 的中点 M 到准线的距离为 ,所以线段 AB 的 2 3 1 5 中点 M 到 y 轴的距离为 ? ? ,选 A. 2 4 4

1 4

n( ad ? bc )2 ? 3.030 ,因为 K 2 ? 2.706 ,所以 K 2 ? 2.706 ? 0.10 , 7. 答案】 因为 K ? 【 C ( a ? b )( c ? d )( a ? c )( b ? d )
2

所以说有 90%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”,选 C. 8. 【答案】D 由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆 柱 . 由 图 象 可 知 四 棱 柱 的 体 积 最 大 。 四 棱 柱 的 高 为 1 , 底 面 边 长 分 别 为 1,3 , 所 以 表 面 积 为

2(1? 3 ? 1?1 ? 3 ?1) ? 14 ,选 D.
9. 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为

? ( x ? x )dx ? ( 2 x
3 0

1

1

2

?

1 4 x ) 4

1 0

?

1 ,所以由 4

1 ,选 B. 4 2 2 4 2 3 2 10. 【答案】 i ? 1, S ? A ? ;i ? 3, S ? ? ?1 ;i ? 2, S ? ? ;i ? 4, S ? ? 4; 2 2 3 2?4 2 ? (?1) 3 2? 2? 3 2 2 所以 周期为 4.由 i ? 1 ? 2013 时, i ? 2012 , 得 所以当 i ? 2012 i ? 5, S ? ? ?1 ; S 的取值具有周期性, 2?4
几何概型公式可得点 P 恰好取自阴影部分的概率为
-6-

时,输出 S ,此时 i ? 2012 ? 403 ? 4 ,所以输出 S 的值和 i ? 4 时,相同,所以 S ? 4 ,选 C. 11. 【答案】A 由图象可知 A ? 1 ,

T 7? ? ? 2? ? ? ? ,所以 T ? ? 。又 T ? ? ? ,所以 ? ? 2 ,即 4 12 3 4 ? 7? 7? 7? 7? 3? ? ? ) ? sin( ? ? ) ? ?1 ,所以 ?? ? ? 2 k? , k ? Z , f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 。又 f ( ) ? sin(2 ? 12 12 6 6 2



??

?

3

? 2 k? , k ? Z







??
?

?

g ( x) ? cos 2x ? sin( ? 2x )? sin[2( ? x ) ? ,所以直线将 f ( x) 向左平移 个单位长度即可得到 ] 2 12 3 12
g ( x) 的图象,选 A.
12. 【答案】D① ? y

?

?

3





f ( x) ? sin(2x ?

?

?

3

)







1 是以 x, y 轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为 90°,在同一支上,任意(x1, x

y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存 在 ( x2 , y2 ) ∈M , 使 得 x1x2+y1y2=0 成 立 , 所 以 不 满 足 “ 垂 直 对 点 集 ” 的 定 义 , 不 是 “ 垂 直 对 点 集 ” . ②M ? {( x, y ) y ? y ? sin x ? 1} , 如 图 在 曲 线 上 , 两 点 构 成 的 直 角 始 存 在 , 所 以

M ? {( x, y ) y ? y ? sin x ? 1}是“垂直对点集”。 M 对于③ ? {( x, y ) y ? log 2 x} ,如图在曲线上两点构成的直角始存在,例如取 M (0, ?1) ,N (log 2 2, 0) ,
满足“垂直对点集”的定义,所以正确.

对于④ ? {( x, y ) y ? e x ? 2} ,如图取点(1,0) ,曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相 M

垂直,所以不是“垂直对点集”.
-7-

,故选 D.

k k 13. 【答案】?160 展开式的通项公式为 Tk ?1 ? C6 x 6? k (? ) k ? (?2) k C6 x 6 ? 2 k , 6 ? 2k ? 0 , k ? 3 , 由 得
3 所以 T4 ? (?2)3 C6 ? ?160 ,即常数项为 ?160 。

2 x

14. 【答案】 2 圆的标准方程为 ( x ? 5) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ,所以圆心为 (5,1) ,半径为 r ?

2 。圆心到直线

y ? x 的距离为 d ?

5 ?1 2

? 2 2 ,所以 PQ 的最小值为 d ? r ? 2 2 ? 2 ? 2 。

15 .【 答 案 】 3 OM ? ON ? 2 x ? y , 设 z ? 2 x ? y , 则 y ? ?2 x ? z 。 不 等 式 对 应 的 区 域 为

???? ???? ?

BCD,

平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? ?2 x ? z 经过点 C 时,直线

?x ? y ? 2 ?x ? 1 ,解得 ? ,即 C (1,1) ,代入 z ? 2 x ? y 得 y ? ?2 x ? z 的截距最大,此时 z 最大,由 ? ?y ? x ?y ?1 ???? ???? ? ON 的最大值是 3. z ? 2 x ? y ? 3 ,所以 OM ?
16. 【答案】①③④ ①命题“ ?x ? R,cos x ? 0 ”的否定是: ?x ? R,cos x ? 0 ” “ ;所以①正确。 ②若 lg a ? lg b ? lg( a ? b ) , lg ab ? lg( a ? b ) , ab ? a ? b , a ? 0, b ? 0 。 则 即 所以 ab ? a ? b ? (
2

a?b 2 ) , 2

即 (a ? b) ? 4(a ? b) , 解得 a ? b ? 4 , a ? b 的最小值为 4; 则 所以②错误。 ③定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满 足 f ( x ? 2 ) ? ? f ( x ) , 则 f ( x ? 4) ? f ( x ) , 且 f (0) ? 0 , 即 函 数 的 周 期 是 4. 所 以

f (6) ? f (2) ? ? f (0) ? 0 ;所以③正确。
④已知随机变量 ? 服从正态分布 N( 1,? ),P( ? ? 5 ) ? 0.81 , P (? ? 5) ? 1 ? P(? ? 5) ? 1 ? 0.81 ? 0.19 , 则
2

所以 P( ? ? ?3 ) ? P( ? ? 5 ) ? 0.19 ;所以④正确,所以真命题的序号是①③④。 17.

-8-

18.

-9-

19.

- 10 -

20.

- 11 -

21.

- 12 -

22.

- 13 -

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