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3.6简单的三角恒等变换


第六节 简单的三角恒等变换

[备考方向要明了]

考 什 么 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切 公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进 行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差 化积、半角公式,但对这三组公式不要求记 忆).

怎 么 考 1.以选择题或填空题的形式单独考查, 如 2012 年江苏 T11. 2.在解答题中,与三角函数的图象与性质、解 三角形等综合,突出考查三角恒等变换的工 具性作用,如 2012 年安徽 T16 等.

[归纳· 知识整合] 1.半角公式 α α α (1)用 cos α 表示 sin2 ,cos2 ,tan2 . 2 2 2 α 1-cos α α 1+cos α α 1-cos α sin2 = ;cos2 = ;tan2 = . 2 2 2 2 2 1+cos α α α α (2)用 cos α 表示 sin ,cos ,tan . 2 2 2 α sin =± 2 α cos =± 2 α tan =± 2 1-cos α ; 2 1+cos α ; 2 1-cos α . 1+cos α

α (3)用 sin α,cos α 表示 tan . 2 1-cos α α sin α tan = = . 2 1+cos α sin α [探究] 如何用 tan α 表示 sin 2α 与 cos 2α? 提示:sin 2α=2sin αcos α= 2sin αcos α 2tan α ; 2 2 = sin α+cos α tan2α+1

cos2α-sin2α 1-tan2α cos 2α=cos2α-sin2α= 2 = . cos α+sin2α 1+tan2α

2.形如 asin x+bcos x 的化简 b asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ),其中 tan φ= . a [自测· 牛刀小试] 1.(教材习题改编)化简 2+cos 2-sin21的结果是( A.-cos 1 C. 3cos 1 解析:选 C sin235° - B.cos 1 D.- 3cos 1 2+cos 2-sin21= 1+cos 2+1-sin21= 2cos21+cos2 1= 3cos 1. )

1 2 2. 的值为( sin 20° 1 A. 2 C.-1 sin235° - 解析:选 B =

) 1 B.- 2 D.1

1 2 2sin235° -1 -cos 70° = = sin 20° 2sin 20° 2sin 20°

-sin 20° 1 =- . 2sin 20° 2

x 2sin2 -1 2 π? 3.若 f(x)=2tan x- ,则 f? ?12?的值为( x x sin cos 2 2 4 A.- 3 3 C.4 3 B.8 D.-4 3

)

x 1-2sin2 2 π? 2cos x 2 4 4 解析: 选 B ∵f(x)=2tan x+ =2tan x+ = = , ∴f? ?12?= π 1 sin x sin xcos x sin2x sin x sin 2 6 =8. 4.(教材习题改编)函数 y= 3cos 4x+sin 4x 的最小正周期为________. 解析:y= 3cos 4x+sin 4x=2? 3 1 ? cos 4x+ sin 4x 2 ?2 ?

π π π cos cos 4x+sin sin 4x?=2cos?4x- ?, =2? 6 6? ? 6 ? ? 2π π 故 T= = . 4 2 π 答案: 2

α 1+tan 2 4 5.若 cos α=- ,α 是第三象限角,则 =________. 5 α 1-tan 2 4 3 解析:∵cos α=- ,且 α 是第三象限角,∴sin α=- , 5 5 α α +sin 2 2 α α α α cos 1+tan cos +sin 2 2 2 2 ∴ = = α α α α α 1-tan cos -sin cos -sin 2 2 2 2 2 α cos 2 cos

?cosα+sinα?2 2? ? 2 = α α ?cos -sin ??cosα+sinα? 2 ?? 2 2? ? 2
3 1- 5 1+sin α 1+sin α 1 = = = =- . cos α 4 2 2α 2α cos -sin - 2 2 5 1 答案:- 2

三角函数式的化简 sin 2α-2cos2α [例 1] (1)化简: =________; π α- ? sin? ? 4? π (2)已知 0<x< ,化简: 2 x π tan x+1-2sin2 ?+lg? 2cos?x- ??-lg(1+sin 2x). lg? 2? ?cos x· ? ? 4?? 2sin αcos α-2cos2 α [自主解答] (1)原式= =2 2· cos α. 2 ?sin α-cos α? 2 (2)原式=lg(sin x+cos x)+lg(sin x+cos x)-lg(1+sin 2x) ?sin x+cos x?2 1+sin 2x =lg =lg =lg 1=0. 1+sin 2x 1+sin 2x [答案] (1)2 2cos α

————— 1.三角函数式的化简原则

——————————————

一是统一角,二是统一函数名,能求值的求值,必要时切化弦,更易通分、约分. 2.三角函数式化简的要求 ?1?能求出值的应求出值; ?2?尽量使三角函数种数最少; ?3?尽量使项数最少; ?4?尽量使分母不含三角函数; ?5?尽量使被开方数不含三角函数. 3.三角函数化简的方法 化简的方法主要有弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.

1.化简:?

? 1 -tanα? α ?1+tan α· α 2? · tan ?. 2? ? tan ? 2 ?
α α α

?cos2 sin2 ? ? sin α sin2 ? 解:原式=? α - α?· ?1+cos α· α? sin cos cos ? ? 2 2? ? 2
sin ? 2 sin α cos α ? · ? = · 1+ α α α ? cos α cos ? sin cos ? 2 2 2 α sin 2 2cos α 2cos α sin α = + · · sin α sin α cos α α cos 2 α α 2sin 4sin2 2 2cos α 2 2cos α = + = + sin α α sin α sin α cos 2 2cos α+4sin2 = sin α α ? 2α 2α 2?1-2sin 2? + 4sin ? 2 2 2 = = . sin α sin α α

三角函数求值

3π 1 10 [例 2] 已知 <α<π,tan α+ =- . 4 tan α 3 (1)求 tan α 的值;

α α α α 5sin2 +8sin cos +11cos2 -8 2 2 2 2 (2)求 的值. π α- ? 2sin? ? 4? [自主解答] (1)∵tan α+ 1 10 =- , tan α 3

∴3tan2α+10tan α+3=0, 1 解得 tan α=- 或 tan α=-3. 3 ∵ 3π <α<π,∴-1<tan α<0. 4

1 ∴tan α=- . 3 1 (2)∵tan α=- , 3 α α α α 5sin2 +8sin cos +11cos2 -8 2 2 2 2 ∴ π? 2sin? ?α-4? 1+cos α 2α 2α? 5? ?sin 2+cos 2?+4sin α+6· 2 -8 = sin α-cos α = = 5+4sin α+3+3cos α-8 4sin α+3cos α = sin α-cos α sin α-cos α 4tan α+3 5 =- . 4 tan α-1

1-cos 2α-sin 2α 保持本例条件不变,求 的值. 1+cos 2α-sin 2α 1-cos 2α-sin 2α 2sin2α-2sin αcos α 解: = 1+cos 2α-sin 2α 2cos2α -2sin αcos α = 2sin α?sin α-cos α? 1 =-tan α= . 3 2cos α?cos α-sin α?

—————

——————————————

已知三角函数式的值,求其他三角函数式值的一般思路 ?1?先化简所求式子; ?2?观察已知条件与所求式子之间的联系?从三角函数名及角入手?; ?3?将已知条件代入所求式子,化简求值.

π ? 3 12 ? π ? 2.已知 sin(2α-β)= ,sin β=- ,且 α∈? ?2,π?,β∈?-2,0?,求 sin α 的值. 5 13 π 解:∵ <α<π,∴π<2α<2π. 2 π π 5π ∵- <β<0,∴0<-β< ,π<2α-β< , 2 2 2 3 而 sin(2α-β)= >0, 5 5π 4 ∴2π<2α-β< ,cos(2α-β)= . 2 5 π 12 5 又- <β<0 且 sin β =- ,∴cos β= , 2 13 13 ∴cos 2α=cos[(2α-β)+β] =cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β 12 56 4 5 3 - ?= . = × - ×? 5 13 5 ? 13? 65 9 又 cos 2α=1-2sin2α,∴sin2α= . 130 π ? 3 130 又 α∈? ?2,π?,∴sin α= 130 .

asin x+bcos x=

a2+b2sin(x+φ)的应用

π ? [例 3] (2013· 西域模拟)已知函数 f(x)= 3sin2x+sin xcos x,x∈? ?2,π?. (1)求 f(x)的零点; (2)求 f(x)的最大值和最小值. [自主解答] (1)令 f(x)=0,得 sin x· ( 3sin x+cos x)=0, 所以 sin x=0 或 tan x=- 3 . 3

π ? 由 sin x=0,x∈? ?2,π?,得 x=π; 由 tan x=- π ? 3 5π ,x∈? ?2,π?,得 x= 6 . 3

5π 综上,函数 f(x)的零点为 或 π. 6 (2)f(x)= 3 1 (1-cos 2x)+ sin 2x 2 2

π? 3 =sin? ?2x-3?+ 2 . π ? π ?2π 5π? 因为 x∈? ?2,π?,所以 2x-3∈? 3 , 3 ?. π 2π π 所以当 2x- = ,即 x= 时, 3 3 2 f(x)的最大值为 3; π 3π 11π 当 2x- = ,即 x= 时, 3 2 12 f(x)的最小值为-1+ ————— 3 . 2 —————————————— 公式 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)的应用及注意事项 (1)利用 asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ)把形如 y=asin x+bcos x+k 的函数化为一个角 的某种函数的一次式,可以求三角函数的周期、单调区间、值域和最值、对称轴等. (2)该公式是逆用两角和的正弦公式得到的.当 φ 为特殊角即 要熟练掌握.对 φ 是非特殊角时,只要求会求最值即可.

a 3 的值为 1 或 3? ?时 3 ? ? b

3.(2013· 银川模拟)已知函数 f(x)=sin 2x-2 3sin2x+ 3+1. (1)求 f(x)的最小正周期及其单调递增区间; π π? (2)当 x∈? ?-6,6?时,求 f(x)的值域. π? 解:f(x)=sin 2x+ 3(1-2sin2x)+1=sin 2x+ 3cos 2x+1=2sin? ?2x+3?+1. (1)函数 f(x)的最小正周期 T= 2π =π. 2

π π π 由正弦函数的性质知,当 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ , 2 3 2 π? 5π π 即 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z)时,函数 y=sin? ?2x+3?为单调递增函数,故函数 f(x)的单 12 12 5π π? 调递增区间为? ?kπ-12,kπ+12?(k∈Z). π π? π ? 2π? (2)∵x∈? ?-6,6?,∴2x+3∈?0, 3 ?, π? ∴sin? ?2x+3?∈[0,1], π? ∴f(x)=2sin? ?2x+3?+1∈[1,3].

∴f(x)的值域为[1,3].

? 1 个公式——辅助角公式 可利用辅助角公式求最值、单调区间、周期. b y=asin α+bcos α= a2+b2sin(α+φ)其中 tan φ= 有 a2+b2≥|y|. a ? 2 个方向——三角恒等变换的基本方向 三角函数求值、化简的基本思路是“变换”、通过适当的变换达到由此及彼的目的.变 换的基本方向有两个:一是变换函数名称,可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角 的余弦公式等;二是变换角的形式,可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式、对角 进行代数形式的变换等. ? 3 个步骤——三角恒等变换的步骤 三角恒等变换可以归纳为以下三步:

创新交汇——三角恒等变换与函数性质的交汇问题

1.三角恒等变换作为高考命题的重点内容之一,主要与三角函数的求值、化简以及三 角函数的性质相结合命题,有时也与向量等其他知识交汇命题. 2.解决此类问题时,一要重视三角变化中的诸多公式,熟悉它们之间的内在联系;二 要熟悉三角变换中各方面的技巧,特别是切化弦、降幂和升幂、角的变换等技巧. [典例] (2012· 安徽高考)设函数 f(x)= (1)求 f(x)的最小正周期; π? π? 1 (2)设函数 g(x)对任意 x∈R, 有 g? 且当 x∈? g(x)= -f(x). 求 g(x) ?x+2?=g(x), ?0,2?时, 2 在区间[-π,0]上的解析式. [解] (1)f(x)= π 2 ? 2 cos?2x+4? ?+sin x 2 π 2 ? 2 cos?2x+4? ?+sin x. 2



π π 1-cos 2x 2? cos 2x cos -sin 2x sin ?+ 4 4? 2? 2

1 1 = - sin 2x, 2 2 故 f(x)的最小正周期为 π. π 1 1 0, ?时,g(x)= -f(x)= sin 2x,故 (2)当 x∈? ? 2? 2 2 π π π - ,0?时,x+ ∈?0, ?. ①当 x∈? ? 2 ? 2 ? 2? π? 由于对任意 x∈R,g? ?x+2?=g(x), π? 1 ? ? π?? 从而 g(x)=g? ?x+2?=2sin?2?x+2?? 1 1 = sin(π+2x)=- sin 2x. 2 2 π? ? π? ②当 x∈? ?-π,-2?时,x+π∈?0,2?, 1 1 从而 g(x)=g(x+π)= sin[2(x+π)]= sin 2x. 2 2 综合①②得 g(x)在[-π,0]上的解析式为

? ?2sin 2x,x∈? ?-π,-2?, g(x)=? π ? 1 ?-2sin 2x,x∈? ?-2,0?.
[名师点评] 1.本题具有以下创新点 (1)命题方式:本题突破以往依据函数图象确定三角函数解析式的传统,而是将抽象函 数与函数的周期性等相结合,考查函数解析式的求法. (2)考查内容的创新:本题考查了函数周期性及分类讨论思想在求抽象函数及分段函数 解析式中的应用,考查了考生分析问题、解决问题的能力以及逻辑推理能力. 2.解决本题的关键有以下几点 π (1)准确识别函数 g(x)的周期 T= ; 2 π? ? π ? (2)根据周期恰当地将区间[-π,0]分成? ?-π,-2?和?-2,0?两部分,并正确求出相应 的解析式; (3)具备较强的逻辑推理能力和运算能力. [变式训练] 1.设△ABC 的三个内角为 A,B,C,向量 m=( 3sin A,sin B),n=(cos B, 3cos A),

1

π

若 n· m=1+cos(A+B),则 C 的值为________. 解析:m· n= 3sin Acos B+ 3cos Asin B= 3sin(A+B)= 3sin(π-C)= 3sin C,又 π? cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C, 故 3sin C=1-cos C, 即 3sin C+cos C=1, 即 2sin? ?C+6? π? 1 π π 7π π 5π 2π =1,即 sin? ?C+6?=2,由于6<C+6< 6 ,故只有 C+6= 6 ,即 C= 3 . 2 答案: π 3 2.(2013· 江南十校联考)已知函数 f(x)=sin x+cos x. cos2x-sin xcos x (1)若 f(x)=2f(-x),求 的值; 1+sin2x (2)求函数 F(x)=f(x)· f(-x)+f2(x)的最大值和单调递增区间. 解:(1)∵f(x)=sin x+cos x,∴f(-x)=cos x-sin x. 又∵f(x)=2f(-x), ∴sin x+cos x=2(cos x-sin x),且 cos x≠0, 1 ∴tan x= , 3 ∴ cos2x-sin xcos x cos2x-sin xcos x 1-tan x 6 = = = . 1+sin2x 2sin2x+cos2x 2tan2x+1 11

(2)由题知 F(x)=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x, ∴F(x)=cos 2x+sin 2x+1, π? 即 F(x)= 2sin? ?2x+4?+1. π? 当 sin? ?2x+4?=1 时,[F(x)]max= 2+1. π π π 3π π 由- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ(k∈Z)得- +kπ≤x≤ +kπ(k∈Z),故所求函数 F(x)的单 2 4 2 8 8 3π π ? 调递增区间为? ?- 8 +kπ,8+kπ?(k∈Z).

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) π ? 1.(2013· 济南模拟)函数 y=sin xsin? ?2+x?的最小正周期是( π A. 2 C.2π B.π D.4π )

1 2π 解析:选 B ∵y=sin xcos x= sin 2x,∴T= =π. 2 2 1+cos 2α 1 2.(2013· 沈阳四校联考)若 = ,则 tan 2α 等于( sin 2α 2 5 A. 4 4 C. 3 5 B.- 4 4 D.- 3 )

1+cos 2α 2cos2α cos α 1 解析:选 D ∵ = = = , sin 2α 2sin αcos α sin α 2 2tan α 4 4 ∴tan α=2,∴tan 2α= = =- . 3 1-tan2α 1-4 3 1 ? 3.已知 α∈(-π,0),tan(3π+α)=aloga (a>0,且 a≠1),则 cos? ?2π+α?的值为( 3 A. 10 10 B.- 10 10 )

3 10 C. 10

3 10 D.- 10

1 解析:选 B ∵由题意可知 tan(3π+α)= , 3 1 ∴tan α= . 3 3 ? ?π ? 又∵cos? ?2π+α?=cos?2-α?=sin α, 3π ? 10 ∴cos? ? 2 +α?=- 10 . ∵α∈(-π,0), ∴sin α=- 10 . 10 ) 1-a 2 1+a 2

π ? 4.已知 x∈? ?2,π?,cos 2x=a,则 cos x=( A. C. 1-a 2 1+a 2 B.- D.-

解析:选 D 依题意得 cos2x= π ? 又 x∈? ?2,π?,因此 cos x=-

1+cos 2x 1+a = ; 2 2 1+a . 2 )

cos 2α 2 5.若 =- ,则 sin α+cos α 的值为( 7π 2 sinα+ 4

1 B.- 2 1 7 C. D. 2 2 cos2α-sin2α 2 1 解析:选 C 由已知三角等式得 =- ,整理得 sin α+cos α= . 2 2 2 ?sin α-cos α? 2 π sin3α cos3α 0, ?,则 6.设 α∈? + 的最小值为( ) ? 2? cos α sin α A.- 27 A. 64 5 3 C. 6 解析: 选D αcos α. 1 令 sin αcos α=t,则 t= sin 2α. 2 π? ? 1? ∵α∈? ?0,2?,∴t∈?0,2?. 1? 1 令 g(t)= -2t,g(t)在? ?0,2?上是减函数, t 1 ∴当 t= 时,g(t)min=2-1=1. 2 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 1 1 7.若 α、β 是锐角,且 sin α-sin β=- ,cos α-cos β= ,则 tan(α-β)=________. 2 2 1 1 解析:∵sin α-sin β=- ,cos α-cos β= , 2 2 1 两式平方相加得:2-2cos αcos β-2sin αsin β= , 2 1 3 即 2-2cos(α-β)= ,∴cos(α-β)= . 2 4 1 π ∵α、β 是锐角,且 sin α-sin β=- <0,∴0<α<β< . 2 2 π ∴- <α-β<0. 2 ∴sin(α-β)=- 1-cos2?α-β?=- 答案:- 7 3 sin?α-β? 7 7 .∴tan(α-β)= =- . 4 3 cos?α-β? 3 2 B. 5 D.1
4 4 2 2 2 2 2 sin3α cos3α sin α+cos α ?sin α+cos α? -2sin αcos α 1 + = = = -2sin cos α sin α sin αcos α sin αcos α sin αcos α

2 2

4 α α α 8.设 α 是第二象限角,tan α=- ,且 sin <cos ,则 cos =________. 3 2 2 2

α α α α 解析:∵α 是第二象限角,∴ 可能在第一或第三象限.又 sin <cos ,∴ 为第三象限 2 2 2 2 α 角,∴cos <0. 2 4 ∵tan α=- , 3 3 α ∴cos α=- ,∴cos =- 5 2 答案:- 5 5 1+cos α 5 =- . 2 5

π? 4 π? ? 9.(2012· 江苏高考)设 α 为锐角,若 cos? ?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为________. π? 4 ? π? 3 ? π? 24 ? π? 解析:因为 α 为锐角,cos? ?α+6?=5,所以 sin?α+6?=5,sin 2?α+6?=25,cos 2?α+6? π? 7 π ? ? π? π? ? π? ? π? π 17 2 = ,所以 sin? ?2α+12?=sin?2?α+6?-4?=sin 2?α+6?cos 4-cos 2?α+6?sin 4= 50 . 25 17 2 答案: 50 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 4cos4x-2cos 2x-1 10.(1)化简 ; π ? 2? π ? ? tan?4+x?sin ?4-x? (2)化简[2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280° . 解: (1) 原式= ?1+cos 2x?2-2cos 2x-1 cos22x 2cos22x 2cos22x = = = = π ? 2?π ? π ? ?π ? π cos 2x ? ? ? ? tan?4+x?cos ?4+x? sin?4+x?cos?4+x? sin?2+2x?

2cos 2x. cos 10° + 3sin 10° ? ?· 2· (2)原式=?2sin 50° sin 80° ? +sin 10° · cos 10° ? ? =? 1 3 ? ? cos 10° + sin 10° ?· 2cos 10° 2 2 ?2sin 50° ? +2sin 10° · cos 10° ? ?

=2 2[sin 50° · cos 10° +sin 10° · cos(60° -10° )] =2 2sin(50° +10° )=2 2× 3 = 6. 2

11.已知函数 f(x)=sin x+cos x,f′(x)是 f(x)的导函数. (1)求 f′(x)及函数 y=f′(x)的最小正周期; π? 2 (2)当 x∈? ?0,2?时,求函数 F(x)=f(x)f′(x)+f (x)的值域. π? 解:(1)由题意可知,f′(x)=cos x-sin x=- 2· sin? ?x-4?,

所以 y=f′(x)的最小正周期为 T=2π. (2)F(x)=cos2x-sin2x+1+2sin xcos x =1+sin 2x+cos 2x π? =1+ 2sin? ?2x+4?. π? π ?π 5π? ∵x∈? ?0,2?,∴2x+4∈?4, 4 ?, π 2 2x+ ?∈?- ,1?. ∴sin? 4? ? 2 ? ? ∴函数 F(x)的值域为[0,1+ 2 ]. π 5π ? ? 12. 已知函数 f(x)=3cos(ωx+φ)? 且其图象经过点? ?-2<φ<0?的最小正周期为 π, ?12,0?. (1)求函数 f(x)的解析式; x π? 3 2 ? π? (2)若函数 g(x)=f? ?2+6?,α,β∈?0,2?,且 g(α)=1,g(β)= 4 ,求 g(α-β)的值. 2π 解:(1)依题意函数的最小正周期 T= =π,解得 ω=2,所以 f(x)=3cos(2x+φ). ω 5π ? 因为函数 f(x)的图象经过点? ?12,0?, 5π 5π π π ? 所以 3cos? ?2×12+φ?=0,得到 2×12+φ=kπ+2,k∈Z,即 φ=kπ-3,k∈Z. π π 由- <φ<0 得 φ=- . 2 3 π? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=3cos? ?2x-3?. x π? π? + (2)依题意有 g(x)=3cos?2×? ? ?2 6?-3?=3cos x, 1 由 g(α)=3cos α=1,得 cos α= , 3 3 2 2 同理 g(β)=3cos β= ,得 cos β= . 4 4 π? 而 α,β∈? ?0,2?, 所以 sin α= sin β= 1-? 1?2 2 2 1-? ?3? = 3 , 14 2?2 = , 4 ?4?

1 2 2 2 14? 所以 g(α - β) = 3cos(α - β) = 3(cos αcos β + sin αsin β) = 3× ? × + = × 3 4 3 4 ? ? 2+4 7 . 4

1.求值:(1)sin 10° sin 30° sin 50° sin 70° ; 2cos 10° -sin 20° (2) . cos 20° sin 10° cos 10° sin 50° sin 70° 解:(1)原式= 2cos 10° = = sin 20° sin 50° sin 70° sin 20° cos 20° sin 50° = 4cos 10° 4cos 10° sin 40° sin 50° sin 80° 1 = = . 8cos 10° 16cos 10° 16

2cos?30° -20° ?-sin 20° (2)原式= cos 20° = = 2cos 30° cos 20° +2sin 30° sin 20° -sin 20° cos 20° 2cos 30° cos 20° = 3. cos 20°

2.已知 sin(2α+β)=3sin β,设 tan α=x,tan β=y,记 y=f(x). (1)求 f(x)的解析式; (2)若角 α 是一个三角形的最小内角,试求函数 f(x)的值域. 解:(1)∵由 sin(2α+β)=3sin β, 得 sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α], 即 sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3sin(α+β)· cos α-3cos(α+β)sin α,∴sin(α+β)cos α =2cos(α+β)· sin α, tan α+tan β ∴tan(α+β)=2tan α,于是 =2tan α, 1-tan αtan β 即 x+y x x =2x,∴y= ,即 f(x)= . 1-xy 1+2x2 1+2x2

(2)∵角 α 是一个三角形的最小内角, π ∴0<α≤ ,则 0<x≤ 3 f(x)= x 1 = ≤ 1+2x2 1 +2x 2 x 3, 1 1 · 2x x = 2? 2 ?,故函数 f(x)的值域 4 ?当且仅当x= 2 时取“=”?

为?0,

?

2? . 4?

3.已知 sin θ 和 cos θ 是关于 x 的方程 x2-2xsin α+sin2β=0 的两个根. 求证:2cos 2α=cos 2β. 证明: 因为 sin θ, cos θ 是方程 x2-2xsin α+sin2 β=0 的两根, 所以 sin θ+cos θ=2sin α,

sin θ· cos θ=sin2β. 因为(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以(2sin α)2=1+2sin2β,即 4sin2α=1+2sin2β, 所以 2(1-cos 2α)=1+1-cos 2β,所以 2cos 2α=cos 2β. 4. A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点, 点 P 在单位圆上, ∠AOP=θ(0<θ<π),OQ = OA + OP ,四边形 OAQP 的面积为 S. (1)求 OA · OQ +S 的最大值及此时 θ 的值 θ0; 3 4? (2)设点 B 的坐标为? ?-5,5?,∠AOB=α,在(1)的条件下,求 cos(α+θ0). 解:(1)由已知,A,P 的坐标分别为(1,0),(cos θ,sin θ). 则 OQ =(1+cos θ,sin θ), OA · OQ =1+cos θ.

????

??? ?

??? ?

??? ? ????

????

??? ? ????

??? ? ???? π? 1 又 S=2× |OP|· |OA|· sin θ=sin θ,所以 OA · sin? OQ +S=cos θ+1+sin θ= 2· ?θ+4?+ 2
1(0<θ<π).

??? ? ???? π 故 OA · OQ +S 的最大值是 2+1,此时 θ0=4.
3 4 2 (2)∵cos α=- ,sin α= ,且 sin θ0=cos θ0= , 5 5 2 7 2 ∴cos(θ0+α)=cos θ0cos α-sin θ0sin α=- . 10


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