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浙江省绍兴一中2014届高三下学期回头考数学文试卷 Word版答案不全


绍兴一中

2013 学 年 第二 学期

高三数学(文科)回头考试题卷

本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷选择题部分(共 50 分) 一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。 2i

?( ) 1.已知 i 为虚数单位,则 1? i A. 1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D.

?1 ? i


?2 x x?0 2.已知 f ( x) ? ? ,则 f (?1) =( ? f ( x ? 1) x ? 0

A.0

B.1
x

C. 2

D.

4 )

3.设函数 f ( x ) ? 2 ,则下列结论中正确的是( A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f (? 2) ? f (?1)

B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2)

4.已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 则该四棱锥的体积是( )

5.已知不重合的直线 m 、和平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? , 给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m ? l ;②若 ? ⊥ ? ,则 m // l ; ③若 m ? l ,则 ? ∥ ? ; ④若 m // l ,则 ? ? ? .其中正确命题的个数是( ) A.1 B. 2 C. 3 D. 4 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 cos A ?

3 3 cm 3 8 3 3 cm C. 3
A.

B.

4 3 3 cm 3
3

4

D. 3cm

1 1 正视图

侧视图

3

1 俯视图

??? ? ??? ? ??? ? ???? AB ? |? ( ) 7.已知平面上不共线的四点 O,A、B、C,若 OA ? 5OB ? 4OC ? 0, 则 | ??? BC
A.2 B.3 C.4
2

1 , b ? 3c, 则sin C =( ) 3 2 2 2 2 A. B. 9 3

C.

1 3

D.

6 9

D.5

8.设 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x .若对任意的 x ? ?a, a ? 2? , 不等式 f ? x ? a ? ? f A. a ? 0

? 2 x ?恒成立,则实数 a 的取值范围是 (
B. a ?

) D. a ? 0

2

C. a ?

2

x2 y2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的两条渐近线为 l1 , l 2 ,过右焦点 F 作垂直 l1 的直线 a2 b2 交 l1 , l 2 于 A, B 两点。若 OA , AB , OB 成等差数列,则双曲线的离心率为( )
9.已知双曲线 A.

5 2

B. 5

C. 3

D. 3 ? 1

10.同时满足以下 4 个条件的集合记作 Ak :(1)所有元素都是正整数;(2)最小元素为 1;(3)最大元素为 2014;(4)各个元素可以从小到大排成一个公差为 k k ? N 数列.那么 A33 ? A61 中元素的个数是( A.96 B.94 C.92 ) D.90

?

?

? 的等差

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答题卷的相应位置. 11.按右图所示的程序框图运算,若输入 x ? 20 ,则输出的 k = 12.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, CC1 与平面 A1 BD 所成角的正弦值为 13.袋中有 4 个形状大小一样的球,编号分别为 1, 2,3, 4 ,从中任取 2 个球,则 这 2 个球的编号之和为偶数的概率为

? x2 ? y2 ? 1 ? 14. 点 P( x, y ) 为不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上一点, 则 x ? 2y 取 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
值范围为 15.已知 a, b 都是正实数,且满足 log 4 (2a ? b) ? log 2 小值为 16. 已知数列 {an } 中,a1 ? 1 ,an ?1 ? (?1) n (an ? 1) , 记 S n 为 {an } 前 n 项的和, 则 S 2014 = ;

ab ,则 2a ? b 的最

第 11 题

17.对于具有相同定义域 D 的函数 f(x)和 g(x),若存在函数 h(x)=kx+b(k,b 为常 数) , 对任给的正数 m, 存在相应的 x0, 使得当 x∈D 且 x>x0 时, 总有 ?

?0 ? f ? x ? ? h? x ? ? m , ?0 ? h? x ? ? g ? x ? ? m

则称直线 l:y=kx+b 为曲线 y=f(x)和 y=g(x)的“分渐近线”。给出定义域均为 D= x x ? 1 的四组函数如下: ① f ?x ? ? x ,g ?x ? ?
2

?

?

x ;② f ?x ? ? 10 ? x ? 2,g ?x ? ?

2x ? 3 ; x

③ f ?x ? ?

x2 ?1 x ln x ? 1 2x 2 ,g ?x ? ? ,g ?x ? ? 2 x ? 1 ? e ? x 。 ;④ f ?x ? ? x ln x x ?1

?

?

其中,曲线 y=f(x)和 y=g(x)存在“分渐近线”的是

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 .(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin (其中 ? x ? cos ? x? 2 A cos? x ? A
2

A ? 0,? ? 0)的最小正周期为 ? ,最大值为 2.
(1)求 A, ? 的值; (2)设

?

6

?? ?

?

2 ? , f (? ) ? , 求f ( ? ? ) 的值. 3 3 3

19. (本题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx 的图像过点 (?4n,0) , 且 f) 0 (' 2 ? n , n ? N? , 数列 {an } 满足

1 a n ?1

? f /(

1 ) ,且 a1 ? 4 , an

(1)求数列 {an } 的通项公式 (2)记 bn ? an an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

20.(本题满分 14 分) 如图,已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平面,且 PA ? AB ? AC , (Ⅰ)求证: PA / / 平面 QBC ; (Ⅱ)若 PQ ? 平面QBC ,求 CQ 与平面 PBC 所成角的正弦值.

Q

P

C B

A

21. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 且 x1 ? x2 (1)求实数 a 的取值范围; (2)证明: f ( x2 ) ?

2 3 x ? x 2 ? ax ? 1 在 ? ?1, 0 ? 上有两个极值点 x1 , x2 , 3

11 . 12

22.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与长轴垂 2 2 a b

直的直线被椭圆截得的线段长为 2 ,O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 M(0,2)作直线 A B 交椭圆 C 于 A、B 两点,求△AOB 面积的最大值; (3)设椭圆的上顶点为 N,是否存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使点 F 为△PQN 的垂 心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

数学试卷(文科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷选择题部分(共 50 分)
一、选择题: 本大题共 10 小题, 每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的。 2i ?( B ) 1.已知 i 为虚数单位,则 1? i A. 1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i D.

?1 ? i

?2 x x?0 2.已知 f ( x) ? ? ,则 f (?1) =(C) ? f ( x ? 1) x ? 0

(A)0
x

(B)1

(C)2

(D)4 B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2)

3.设函数 f ( x ) ? 2 ,则下列结论中正确的是( B ) A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f ( ? 2) ? f ( ?1)

4.已知某四棱锥的三视图(单位:cm)如图所示, 则该四棱锥的体积是 C A.

3 3 cm 3 8 3 3 cm 3

B.

4 3 3 cm 3
3

4

C.

D. 3cm

1 1 正视图

侧视图

3

5. 已知不重合的直线 m 、 和平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? , 给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m ? l ;②若 ? ⊥ ? ,则 m // l ; ③若 m ? l ,则 ? ∥ ? ; ④若 m // l ,则 ? ? ? .其中正确命题的个数是 B A.1 B. 2 C. 3 D. 4 1 俯视图

6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 cos A ?

1 , b ? 3c, 则sin C =C 3
D.

A.

2 2 9

B.

2 2 3

C.

1 3

6 9

??? ? ??? ? ??? ? ???? AB ? |? C 7.已知平面上不共线的四点 O,A、B、C,若 OA ? 5OB ? 4OC ? 0, 则 | ??? BC
A.2 B.3 C.4 D.5

8.设 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ? x ? ? x .若对任意的 x ? ?a, a ? 2? ,
2

不等式 f ? x ? a ? ? f A. a ? 0 9.已知双曲线

? 2 x ?恒成立,则实数 a 的取值范围是 B
2
C. a ?

B. a ?

2

D. a ? 0

x2 y2 ? ? 1(b ? a ? 0) 的两条渐近线为 l1 , l 2 ,过右焦点 F 作垂直 l1 的直线 a2 b2

交 l1 , l 2 于 A, B 两点。若 OA , AB , OB 成等差数列,则双曲线的离心率为 B

(A)

5 2

(B) 5

(C) 3

(D) 3 ? 1

10.同时满足以下 4 个条件的集合记作 Ak :(1)所有元素都是正整数;(2)最小元素为 1;(3)最大元素为 2014;(4)各个元素可以从小到大排成一个公差为 k k ? N 差数列.那么 A33 ? A61 中元素的个数是 B A.96 B.94 C.92 D.90

?

?

? 的等

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答题卷的相应位置. 11.按右图所示的程序框图运算,若输入 x ? 20 ,则输出的 k = 3 3 12.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, CC1 与平面 A1 BD 所成角的正弦值为 3 13.袋中有 4 个形状大小一样的球,编号分别为 1, 2,3, 4 ,从中任取 2 个球, 则这 2 个球的编号之和为偶数的概率为

1 3

? x2 ? y2 ? 1 ? 14. 点 P( x, y ) 为不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 表示的平面区域上一点, 则 x ? 2y 取 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
值范围为 ? 2, 5

?

?
ab ,则 2a ? b 的最
第 11 题

15.已知 a, b 都是正实数,且满足 log 4 (2a ? b) ? log 2 小值为 8

16 .已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ? (?1) n (an ? 1) ,记 S n 为 {an } 前 n 项的和,则 S 2014 = -1007 ; 17.对于具有相同定义域 D 的函数 f(x)和 g(x),若存在函数 h(x)=kx+b(k,b 为常 数) , 对任给的正数 m, 存在相应的 x0, 使得当 x∈D 且 x>x0 时, 总有 ?

?0 ? f ? x ? ? h? x ? ? m , ?0 ? h? x ? ? g ? x ? ? m

则称直线 l: y=kx+b 为曲线 y=f (x) 和 y=g (x) 的 “分渐近线” 。 给出定义域均为 D= x x ? 1 的四组函数如下: ① f ?x ? ? x ,g ?x ? ?
2

?

?

x ;② f ?x ? ? 10 ? x ? 2,g ?x ? ?

2x ? 3 ; x

③ f ?x ? ?

x2 ?1 x ln x ? 1 2x 2 ;④ f ?x ? ? ,g ?x ? ? ,g ?x ? ? 2 x ? 1 ? e ? x 。 x ln x x ?1

?

?

其中,曲线 y=f(x)和 y=g(x)存在“分渐近线”的是②④ 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

? x ? cos ? x? 2 A cos? x ? A 18 .(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin (其中
2

A ? 0,? ? 0)的最小正周期为 ? ,最大值为 2.
(I)求 A, ? 的值; (II)设

?

6

?? ?

?

3

, f (? ) ?

2 ? , 求f ( ? ? ) 的值. 3 3

提示:答案见宁波高三期末 19.(本题满分 14 分)已知二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx 的图像过点 (?4n, 0) ,且 f '(0) ? 2n ,
n ? N ? , 数列 {an } 满足

1 a n ?1

? f /(

1 ) ,且 a1 ? 4 , an

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式 (Ⅱ)记 bn ? an an ?1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 。

(Ⅱ) bn ? an an ?1 ?

4 1 1 ? 2( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2 n ? 1

……………11 分

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? a1 a2 ? a2 a3 ? ? ? an an ?1

1 1 1 1 1 ? 2 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? ) 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1
? 2(1 ? 1 ) 2n ? 1

?

……………14 分

20.(本题满分 14 分) 如图,已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平面,且 PA ? AB ? AC , (Ⅰ)求证: PA / / 平面 QBC ; (Ⅱ)若 PQ ? 平面QBC ,求 CQ 与平面 PBC 所成角的正弦值.

Q

P

C B

A

21.21、 (本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

2 3 x ? x 2 ? ax ? 1 在 ? ?1, 0 ? 上有两个极 3

值点 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 (1)求实数 a 的取值范围; 11 (2)证明: f ( x2 ) ? . 12
21、 (1) f ?( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,由题意知方程 2 x ? 2 x ? a ? 0 在 ? ?1, 0 ? 上有两不等实根,
2

2

设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a ,其图象的对称轴为直线 x ? ?
2

1 ,故有 2

? ? g ( ?1) ? a ? 0 ? 1 , 解得 0 ? a ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (6 g (0) ? a ? 0 ? 2 ? 1 1 ? g ( ? ) ? ? (?1) ? a ? 0 ? 2 2
分) ( a ? ?2 x ? 2 x
2

构造 g ( x) ? ?2 x ? 2 x 利用图象解照样给分)
2

2 ( 2 ) 由 题 意 知 x2 是 方 程 2 x ? 2 x ? a ? 0的 大 根 , 从 而 x2 ? ? ? , 0 ? 且 有

? 1 ? 2

? ?

2 x2 2 ? 2 x2 ? a ? 0 ,即 a ? ?2 x2 2 ? 2 x2 ,这样 f ( x2 ) ?

2 3 2 x2 ? x2 ? ax2 ? 1 3

?

2 3 4 3 2 2 x2 ? x2 ? (?2 x2 2 ? 2 x2 ) x2 ? 1 ? ? x2 ? x2 ? 1 3 3 4 1 2 设 ? ( x) ? ? x3 ? x 2 ? 1 , ? ?( x) ? ?4 x ? 2 x =0 , 解 得 x1 ? ? , x2 ? 0 , 由 3 2

1? ? ? 1 ? x ? ? ??, ? ? , ? ?( x) ? 0 ; x ? ? ? , 0 ? , ? ?( x) ? 0 ; x ? ? 0, ?? ? , ? ?( x) ? 0 知, 2? ? ? 2 ?
又 Q ? ? x2 ? 0 , 从而 ? ( x2 ) ? ? (? ) ? ? ( x) ? ? x3 ? x 2 ? 1在 (? , 0) 单调递增, 即 f ( x2 ) ? 分) (2) 另解: 由题意知 x2 是方程 2 x ? 2 x ? a ? 0 的大根, 从而 x2 ? ? ? , 0 ? , 由于 0 ? a ?
2

4 3

1 2

1 2

1 2

11 , 12

11 成立。 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (13

? 1 ? 2

? ?

1 2

ax2 ?

1 2 3 2 3 1 2 2 x2 , f ( x2 ) ? x2 ? x2 ? ax2 ? 1 ? x2 ? x2 ? x2 ? 1 , 2 3 3 2 2 3 1 1 1 ? 1 ? x ? x 2 ? x ? 1 , x ? ? ? , 0 ? , h?( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? 1 ? 2( x ? ) 2 ? ? 0 3 2 2 2 ? 2 ?

设 h( x ) ?

h(x)在 ? ?

1 11 11 ? 1 ? 即 f ( x2 ) ? 成立。 . . . . . . . . . . . . . . . (13 , 0 ? 递增,h( x) ? h(? ) ? , 2 12 12 ? 2 ?

分) 22.(本小题满分 15 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与长轴垂 2 2 a b

直的直线被椭圆截得的线段长为 2 ,O 为坐标原点. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过点 M(0,2)作直线 A B 交椭圆 C 于 A、B 两点,求△AOB 面积的最大 值; (Ⅲ)设椭圆的上顶点为 N,是否存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使点 F 为△PQN 的 垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ)设 F (c,0) ,则

c 2 ? ,知 a ? 2c . a 2

过点 F 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? c ,代入椭圆方程,有

(c ) 2 y 2 2 b. ? 2 ? 1 ,解得 y ? ? 2 2 a b
于是 2b ?

2 ,解得 b ? 1 .

又 a 2 ? c 2 ? b 2 ,从而 a ? 所以椭圆 C 的方程为

2, c ? 1.

x2 ? y 2 ? 1 . …………………………………………(5 分) 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .由题意可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 .

? y ? k x ? 2, ? 2 2 由 ? x2 消去 y 并整理,得 ? 2k ? 1? x ? 8kx ? 6 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?2
2 由 ? ? (8k ) ? 24(2k ? 1) ? 0 ,得 k ?
2 2

3 . 2

由韦达定理,得 x1 ? x2 ? ?

8k 6 . , x1 x2 ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1
2 1? k 2
, AB ?

?点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? , ?

? S ?AOB ?
2

1 8(2k 2 ? 3) | AB | d ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? . 2 (2k 2 ? 1) 2
2

设 t ? 2k ? 3 ,由 k ? 于是 S ?AOB ?

3 ,知 t ? 0 . 2
8 . 16 t ? ?8 t

8t ? (t ? 4) 2

由t ?

2 16 7 2 .当且仅当 t ? 4, k ? 时等号成立. ? 8 ,得 S ?AOB ? 2 t 2

所以△ AO B 面积的最大值为

2 .…………………………………………(10 分) 2

(Ⅲ)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQN 的垂心. 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ), 因为 N (0,1) , F (1,0) ,所以 k NF ? ?1 . 由 NF ? PQ ,知 k PQ ? 1 .设直线 l 的方程为 y ? x ? m , 由?

? y ? x ? m, 2 2 得 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 . 2 2 x ? 2 y ? 2 , ?
2

由 ? ? 0 ,得 m ? 3 ,且 x1 ? x 2 ? ?

2m 2 ? 2 4m , x1 x 2 ? . 3 3

由题意,有 NP ? FQ ? 0 . 因为 NP ? ( x1 , y1 ? 1), FQ ? ( x 2 ? 1, y 2 ) , 所以 x1 ( x2 ? 1) ? y 2 ( y1 ? 1) ? 0 ,即 x1 ( x2 ? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 , 所以 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 )( m ? 1) ? m ? m ? 0 .
2

2m 2 ? 2 4 于是 2 ? ? m(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 . 3 3
解得 m ? ?

4 或 m ? 1. 3

经检验,当 m ? 1 时,△ PQN 不存在,故舍去 m ? 1 . 当m ? ?

4 4 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y ? x ? .……………(15 分) 3 3


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