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山西省太原五中2013—2014学年度第二学期月考(2月)高三数学(理)


山西省太原五中 2013—2014 学年度第二学期月考 (2 月)高三数学(理)
第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知命题 P : ?x ? R, x ? 2 ? lg x ,命题 q : ?x ? R, x ? 0 ,则(
2

)


A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q) 是真命题

B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q) 是假命题

2.设集合 A=B= {( x, y ) x ? R, y ? R} ,从 A 到 B 的映射 f : ( x, y) ? ( x ? y, x ? y) 在映射 下,B 中的元素为(4,2)对应的 A 中元素为 ( A. (4,2) B. (1,3) C. (6,2) ) D. (3,1)

3 .已知数列 5, 11, 17, 23, 29, ?, 则 5 5 是它的第 ( )项. A.19 4.复数 A. i B.20 C.21 D.22 ) D. ? 1

2i ( i 是虚数单位)的虚部是( 1? i
B. ? i
3

C.1

5.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m), 则该几何体的体积为( ) m . A.

7 3

B.

9 2

C.

7 2

D.

9 4

6.某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函 数是( )

x x e ? e? x C. f ? x ? ? x e ? e? x
n

A. f ? x ? ?

x

B. f ? x ? ? ln D. f ? x ? ?

?

x2 ? 1 ? x

?

sin 2 x 1 ? cos 2 x

2 ? ? 7.若 ? x ? 2 ? 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则 x ? ?
展开式中的常数项是( A. 180 B. 120 ) C. 90 D. 45 )

8.在△ ABC 中,若 AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB ,则△ ABC 是( A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

9 .函数 f ( x) ? A sin( ? x ? ? )(A ? 0,? ? 0,|? ? |

?
2

的部分图 )

像如图示,则将 y ? f ( x) 的图像向右平移 A. y ? sin 2 x C. y ? sin(2 x ? B. y ? cos 2 x

? 个单位后,得到的图像解析式为( 6



2? ) 3

D. y ? sin(2 x ?

?
6

)

10.已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,正三角形 AF1 F2 的一边 AF1 与 a 2 b2
???? ????


双曲线左支交于点 B ,且 AF1 ? 4 BF1 ,则双曲线 C 的离心率的值是( A.

3 ?1 2

B.

13 ? 1 3

C.

13 ?1 3

D.

3 ?1 2

11.已知函数 f ( x) ? ?

? ?sin ? x (0 ? x ? 1) , 若 a、b、c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) , ? ?log 2014 x ? x ? 1?
C. (2,2015) D.[2,2015] )

则 a+b+c 的取值范围是( ) A. (1,2014) B. (1,2015)

3 ? ?( x ? 2) ? 2 x ? sin( x ? 2) ? 2, 12.设 x , y ? R ,且满足 ? 则x? y ? ( 3 ? ?( y ? 2) ? 2 y ? sin( y ? 2) ? 6,

A.1

B.2

C.3

D.4

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作 答,第 22-第 24 题为选考题,考生根据要求做答。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

b ? ( 2, ? , ) 且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 ? 的取值范围 13 . 已 知 向 量 a ? (1,? 2),
是 .

?

?

?

?

{bn } 都是等差数列,S n 、Tn 分别是它们的前 n 项和, 14. 已知数列 {an } 、 且


Sn 7n ? 1 ? , Tn n?3

a2 ? a5 ? a17 ? a22 的值为_______________. b8 ? b10 ? b12 ? b16
A B P A1 B1 C1 C

15. 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 底面为直角三角形。 ∠ACB=900, AC=6 , BC=CC1= 2 , P 是 BC1 上一动点,则 CP+PA1 的最小值为 ___________

16.已知 a ? 0 ,函数 f(x) ? x ? ax ? bx ? c 在区间 [?2, 2] 单调递减,则 4a ? b 的最大值
3 2



.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 且 a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 20 . ⑴求数列 ?an ? 的通项公式 an ; ⑵求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

17. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 ?an ? 中,a1 ? 2 ,a3 ? 18 , 等差数列 ?bn ? 中,b1 ? 2 ,

18. (本小题满分 12 分)某数学老师对本校 2013 届高三学生的高考数学成绩按 1:200 进行 分层抽样抽取了 20 名学生的成绩, 并用茎叶图记录分数如图所示, 但部分数据不小心丢失, 同时得到如下所示的频率分布表: 分数段(分) [50,70) [70,90) 频数 频率 a 0.25 [90,110) [110,130) b [130,150) 总计

(1)求表中 a,b 的值及分数在[90,100)范围内的学生人数,并估计这次考试全校学生数
学成绩的及格率(分数在[90,150)内为及格) : (2)从成绩在[100,130)范围内的学生中随机选 4 人,设其中成绩在[100,110)内的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 19.(本小题满分 12 分)如图 1, 等腰梯形 ABCD 中, AD // BC, AB ? AD, ?ABC ? 60?, E 是 BC 的中点,如图 2,将 ?ABE 沿 AE 折起,使面 BAE ? 面 AECD ,连接 BC, BD , P 是棱 BC 上的动点. (1)求证: AE ? BD (2)若 AB ? 2, 当

BP 为何值时,二面角 P ? ED ? C 的大小为 45? BC

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上, 长轴长为 4 , 且点 ?1 , 在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程;

? ? ?

3? ? 2 ? ?

(2) 设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点, 过 P 作方向向量 d ? (2 , 1) 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、

?

B 两点,求证: | PA | 2 ? | PB | 2 为定值.
21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (I)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (II)若 f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 6 在 (0, ??) 上恒成立,求实数 a 的取值范围; (III)过点 A(?e?2 , 0) 作函数 y ? f ( x) 图像的切线,求切线方程

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时 请写清题号。 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D,连结 EC、 CD.

E O D A C B

(Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (Ⅱ)若 tan∠CED=

1 ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 3 x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 在直角坐标系中,参数方程为 ? 的直线 l ,被以原点为极点, ?y ? 1 t ? 2 ?

x 轴的正半轴为极轴,极坐标方程为 ? ? 2 cos? 的曲线 C 所截,求截得的弦长.

24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? 4 | ? | x ? a | (a ? 4) (1)若 f ( x) 的最小值为 3,求 a 的值; (2)求不等式 f ( x) ? 3 ? x 的解集.









2013—2014 学年度第二学期(2 月)

高三数学理科模拟考试
第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D C C C B A D D B C D

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13、 15、

? ??, ?4 ? ? ? ?4,1?
5 2

14、 16、

31 5
-12

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17 . 解 (1) ∵
a3 ? 18,? 2q 2 ? 18, q 2 ? 9, q ? ?3,



q?3





a2 ? 6, a1 ? a2 ? a3 ? 26 ? 20 ,当 q ? ?3 时, a 2 ? ?6, a1 ? a2 ? a3 ? 14 ? 20 ,不满
足题意,所以 q ? 3 , a n = 2 ? 3n?1 .

(2) 由 已 知 b2 ? b3 ? b4 ? 24,? 3b3 ? 24, b3 ? 8 , 8 ? 2 ? 2d , ∴ d ? 3 , ∴
n(n - 1) 3 1 ? 3 ? n2 ? n . 2 2 2 18.解析: (1)由茎叶图可知分数在[50,70)范围内的有 2 人,在[110,130) 范围 内的有 3 人, 2 ∴a= ? 0.1, b=3;分数在[70,90)内的人数 20×0.25=5,结合茎叶图可得分数 20 在[70,80)内的人数为 2, 所以分数在[90,100)范围内的学生人数为 4,故数学成 13 绩及格的学生为 13 人,所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为 × 20 100%=65%. (2)由茎叶图可知分数在[100,130)范围内的有 7 人,分数在[100,110)范围内 的 有 4 人 , 则 随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 1,2,3,4. 相 应 的 概 率 为 : S n ? 2n ?
1 3 C4 C3 4 P(X=1)= = 4 C7 35

2 2 C4 C3 18 ; P(X=2)= = 4 C7 35

3 1 C4 C3 12 ; P(X=3)= = ; 4 C7 35

P(X=4)=

4 0 C4 C3 1 = . C74 35

随机变量 X 的分布列为 X 1 2 4 18 P 35 35 4 18 12 1 16 E(X)=1× +2× +3× +4× = 35 35 35 35 7

3 12 35

4 1 35

(2)
? 平面ABE ? 平面AECD, BO ? AE, 平面ABE ? 平面AECD ? AE ? BO ? 平面AECD

? BO ? DO,? OD ? AE 所以如图建立空间直角坐标系 O ? xyz

AB=2,则 BO ? DO ? 3 , B(0,0, 3 ), D(0,

3 ,0)

E(1,0,0),

C(2,

3 ,0)

BC ? (2, 3 , ? 3 ), ED ? (?1, 3,0) , EB ? (?1,0, 3 )


BP ?m BC
OP ? OB ? BP ? OB ? m BC ? (0,0, 3 ) ? m(2, 3,? 3 ) ? (2m, 3m, 3 ? 3m) EP ? (2m ? 1, 3m, 3 ? 3m) 设平面 PDE 的法向量为 n ? (x, y, z ) ,

,

? 3 ?y ? ? ? ? x ? 3 y ? 0 n ? ED ? 0 ? ? ? 3 令x ? 1, 则? 则? 即? ? ? z ? 1 ? 3m ?(2m ? 1) x ? 3my ? ( 3 ? 3m) z ? 0, ?n ? EP ? 0 ? ? 3 ? 3m ?
? n ? (1, 3 1 ? 3m , ) 3 3 ? 3m

易知平面 CDE 的法向量为 m ? (0,0,1)
1 ? 3m cos ? n, m ? ? 12 ? ( 3 ? 3m 3 2 1 ? 3m 2 ) ?( ) 3 3 ? 3m ? cos 45 0 ? 2 2

2 1 ? 3m 2 4 1 1 ? 3m 2 3 ? ( ) ? ? ( ) 解得 m ? ?1(舍),或m ? 3 1? m 3 3 1? m 5 BP 3 所以当 ? 时,二面角 P ? ED ? C 的大小为 45 0 。 BC 5 20.解: (1) 因为 C 的焦点在 x 轴上且长轴为 4 ,

故可设椭圆 C 的方程为

x2 y2 , ? ? 1( a ? b ? 0) 4 b2

? 1 3 3? ? 在椭圆 C 上,所以 ? 2 ? 1 , 1 , 因为点 ? ? ? 2 ? 4 4b ?

解得 b 2 ? 1 ,

(1 分)
x2 ? y 2 ? 1. 4

所以,椭圆 C 的方程为

(2)设 P(m , 0) ( ? 2 ? m ? 2 ) ,由已知,直线 l 的方程是 y ?
1 ? y ? ( x ? m) , ? ? 2 由? 2 ? 2 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 4 ? 0 (*) ?x ? y2 ? 1 , ? ?4

x?m , 2

设 A( x1 , y1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 x1 、 x 2 是方程(*)的两个根,
m2 ? 4 所以有, x2 ? x2 ? m , x1 x 2 ? , 2
2 所以, | PA | 2 ? | PB | 2 ? ( x1 ? m) 2 ? y12 ? ( x2 ? m) 2 ? y 2

1 1 5 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ? [( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ] 4 4 4 5 5 2 ? [ x12 ? x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m 2 ] ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2m 2 ] 4 4 5 . ? [m 2 ? 2m 2 ? (m 2 ? 4) ? 2m 2 ] ? 5 (定值) 4

所以, | PA | 2 ? | PB | 2 为定值. 21.解(Ⅰ)? f '( x) ? ln x ? 1? f '( x) ? 0 得 ln x ? ?1
1 1 ? 0 ? x ? ?函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0, ) ; e e 6 (Ⅱ)? f ( x) ? ? x 2 ? ax ? 6 即 a ? ln x ? x ? x

x 2 ? x ? 6 ( x ? 3)( x ? 2) 6 ? 设 g ( x) ? ln x ? x ? 则 g '( x) ? x2 x2 x

当 x ? (0, 2) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递减; 当 x ? (2, ??) 时 g '( x) ? 0 ,函数 g ( x) 单调递增;
? g ( x) 最小值 g (2) ? 5 ? ln 2 ?实数 a 的取值范围是 (??,5 ? ln 2] ;

(Ⅲ)设切点 T ( x0 , y0 ) 则 k AT ? f '( x0 ) ?

x0 ln x0 ? ln x0 ? 1 即 e2 x0 ? ln x0 ? 1 ? 0 1 x0 ? 2 e

设 h( x) ? e2 x ? ln x ? 1 ,当 x ? 0 时 h '( x) ? 0 ? h( x) 是单调递增函数
? h( x) ? 0 最多只有一个根,又 h(
1 1 1 1 ) ? e2 ? 2 ? ln 2 ? 1 ? 0 ? x0 ? 2 2 e e e e

1 ? 0. e2 请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计 分,做答时请写清题号。

由 f '( x0 ) ? ?1 得切线方程是 x ? y ?

22.解: (1)连接 OC ,因为 OA ? OB, CA ? CB ,所以 OC ? AB ,所以 AB 是圆 O 的切线; ( 2 )因为 AB 是圆 O 的切线,所以 ?BCD ? ?E, 又 ? B ? ? B ,所以 ? BCD ∽
BC CE BE CE 2 BE ,所以 ( , 因 为 DE 是 圆 O 的 直 径 , 所 以 ? ? ) ? BD CD BC CD BD 1 ,在 ? ECD 中, tan ?CED ? ,所以 EC ? CD 2 BE BD ? 6 ? 4, ? 4 ,∴ BD ? 2 , OA ? 5 . BD BD

?BEC ,

23.解:由题意知,直线 l 的倾斜角为 30 ? ,并过点 A (2,0) ;曲线 C 是以(1, 0)为圆心、半径为 1 的圆,且圆 C 也过点 A (2,0) ;设直线 l 与圆 C 的另一个 交点为 B ,在 Rt?OAB 中, AB ? 2 cos 30 ? ? 3 . 24. 解:⑴因为 x ? 4 ? x ? a ? ( x ? 4) ? ( x ? a) ? a ? 4 , 因为 a ? 4 ,所以当且仅当 a ? x ? 4 时等号成立,故
a ? 4 ? 3,? a ? 1 为所求.

4分

⑵不等式 f ( x) ? 3 ? x 即不等式 x ? 4 ? x ? a ? 3 ? x (a ? 4) , ①当 x ? a 时,原不等式可化为 4 ? x ? a ? x ? 3 ? x, 即 x ? a ? 1. 所以,当 x ? a 时,原不等式成立. ②当 a ? x ? 4 时,原不等式可化为 4 ? x ? x ? a ? 3 ? x. 即 x ? a ?1. 所以,当 a ? x ? 4 时,原不等式成立. ③当 x ? 4 时,原不等式可化为 x ? 4 ? x ? a ? 3 ? x. a?7 a?7 即x? , 由于 a ? 4 时 4 ? . 3 3 所以,当 x ? 4 时,原不等式成立. 综合①②③可知: 不等式 f ( x) ? 3 ? x 的解集为 R.


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