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高中数学人教版必修1


高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大

西 洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1) 列举法:{a,b,c……} 2) 描述法: 将集合中的元素的公共属性描述出来, 写在大括号内 表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4) Venn 图: 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5} 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,(2)A 与 B 是同 ; 一集合。

? 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B

? 或 B?A 2. ?相等?关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例: 设 A={x|x -1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记
作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 ? 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集 三、集合的运算
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运算 类型 定 义













由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集. 记作 A ? B 读 ( 作‘A 交 B’ ,即 ) A ? B={x|x ? A,且 x ? B} .

由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作:A ? B (读作‘A 并 B’,即 ) A ? B ={x|x ? A,或 x ? B}).

设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做 S 中子 集 A 的补集(或余集) 记作 C S A ,即 CSA= {x | x ? S , 且x ? A} S A

韦 恩 图 示 性

A

B

A

B

图1

图2



A ? A=A A ? Φ=Φ A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

A ? A=A A ? Φ=A A ? B=B ? A A? B ?A A? B ?B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ.

例题:
1.下列四组对象,能构成集合的是 A 某班所有高个子的学生
2

( 个 .



B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a,b,c }的真子集共有

3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 4.设集合 A= x 1 ? x ? 2 ,B= x x ? a ,若 A ? B,则 a 的取值范围是

?

?

?

?

5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化 学实验做得正确得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 M= .
2 2 2 2

人。

6. 用 描 述 法 表 示 图 中 阴 影 部 分 的 点 ( 含 边 界 上 的 点 ) 组 成 的 集 合 7.已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x -5x+6=0}, C={x| x -mx+m -19=0}, 若 B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求 m 的值

第 2 页 共 11 页

二、函数的有关概念 1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对 应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一 确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的 取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数 值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意: 1. 定义域: 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它 的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. ? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数 值的字母无关) ;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. 上每一点的坐标(x, 均满足函数关系 C y) y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标 的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对 应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯
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一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射。记作?f(对应关系) :A(原象) ? B(象) ? 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素, 在集合 B 中都有象, 并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集, 值域是各段值域的并 集. 补充:复合函数 如 果 y=f(u)(u ∈ M),u=g(x)(x ∈ A), 则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈ A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那 么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区 间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数 的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 2 ○ 3 ○ 4 ○ 5 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; 作差 f(x1)-f(x2); 变形(通常是因式分解和配方) ; 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) .

(B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的 单调性密切相关,其规律: ?同增异减? 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调 性相同的区间和在一起写成其并集.
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8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= —f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0, 则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条 件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是 非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x) ± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理, 或借助函数的 图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间 的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函 数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 2 ○ 3 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 利用图象求函数的最大(小)值 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调 递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调 递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 例题:
1.求下列函数的定义域: ⑴y?

x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

第 5 页 共 11 页

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_ _ 3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2 , 3] ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域是 4.函数

? x ? 2( x ? ?1) ? ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ?2 x( x ? 2) ?
⑵ y ? x 2 ? 2 x ? 3 x ? [1, 2] (4) y ?

5.求下列函数的值域: ⑴ y ? x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? R) (3)

y ? x ? 1? 2x

? x2 ? 4 x ? 5

6.已知函数 f ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ,求函数 7.已知函数

f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式


f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) =

8.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??, 0) 时

f ( x) =

f ( x) 在 R 上的解析式为
9.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2x ? 3 ⑵y?

? x2 ? 2 x ? 3



y ? x2 ? 6 x ?1

10.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论. 11.设函数 f ( x) ?

1 ? x 2 判断它的奇偶性并且求证: 1 f ( ) ? ? f ( x) . 1? x2 x

第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1. 根式的概念: 一般地, 如果 x ? a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根, * 其中 n >1,且 n ∈ N .
n

?

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。
n n

当 n 是奇数时, a

?a (a ? 0) ? a , n 是偶数时,n a n ?| a |? ? 当 ?? a (a ? 0)

2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)
a
m ? n



?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质
第 6 页 共 11 页

(1) a 〃 a ? a
r r

r ?s

(a ? 0, r, s ? R) ; (a ? 0, r, s ? R) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs r s

(3) (ab) ? a a (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指 数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
x
6 6 5 5

(a ? 0, r, s ? R) .

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1) 在[a,b]上,f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或
x

[f (b), f (a )] ; (2) x ? 0 , f ( x ) ? 1 ;f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; 若 则
(3)对于指数函数 f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数
x

1. 对数的概念: 一般地, 如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) , 那么数 x 叫
x

做以 a 为底 N 的对数,记作: x ? log a N ( a — 底数, N — 真 . .. 数, log a N — 对数式) 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 1 2 ○ 3 ○

a x ? N ? log a N ? x ;
注意对数的书写格式.

loga N
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两个重要对数:

1 ○ 2 ○ ?

常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 自然对数: 以无理数 e ? 2.71828 ?为底的对数的对数 ln N . 指数式与对数式的互化 幂值 真数

a b = N ? log a N = b
底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ log a ( M 〃 N ) ? log a M + log a N ;

M ? log a M - log a N ; N n 3 ○ log a M ? n log a M (n ? R) .
2 ○ log a 注意:换底公式

log a b ?

log c b log c a

( a ? 0 , a ? 1 ;c ? 0 , c ? 1 ;b ? 0 ) 且 且 .

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ?

1 n (2) log a b ? . log a b ; log b a m

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? log a x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数 函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+≦) . 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注 1 意辨别。如: y ? 2 log 2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数,而只能
5

称其为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 0<a<1
3 2.5 2 1.5

2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

第 8 页 共 11 页

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过 定点(1,0) (三)幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点 (1,0)

1、 幂函数定义: 一般地, 形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数, 其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1) 所有的幂函数在 (0, +≦) 都有定义并且图象都过点 (1, ; 1) (2)? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是 增函数. 特别地, ? ? 1时, 当 幂函数的图象下凸; 0 ? ? ? 1时, 当 幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一 象限内, x 从右边趋向原点时, 当 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴 正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半 轴. 例题:
1. 已知 a>0,a 0,函数 y=a 与 y=loga(-x)的图象只能是
x

?

(

)

2.计算: ① log 3 2 ? log 27 64
1 3

;② 2 4?log2 3 = =

; 25 3

1

log5 27 ? 2 log5 2

=

;

③ 0.064 ? ? (? 7 ) 0 ? [( ?2)3 ]? ? 16 ?0.75 ? 0.01
4 3

1 2

8

3.函数 y=log 1 (2x -3x+1)的递减区间为
2

2

4.若函数 f ( x) ? log a x(0 ? a ? 1) 在区间 [a,

2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a=
f ( x) ? 0 的

5.已知 f ( x) ? log 1 ? x (a ? 0且a ? 1) , (1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 a 1? x

x 的取值范围

第 9 页 共 11 页

第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x)( x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f (x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实 数根,亦即函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f (x) 的图象与 x 轴有交 点 ? 函数 y ? f (x) 有零点. 3、函数零点的求法: 1 ○ 2 ○ (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数

y ? f (x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) .
2

(1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的 图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.
2

(2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的 图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

(3) △<0, 方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根, 二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 5.函数的模型
2

收集数据

画散点图

不 符 合 实 际

选择函数模型

求函数模型

检验 符合实际 用函数模型解释实际问题
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