koorio.com
海量文库 文档专家
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

湖南省桃江县第一中学2013年上学期高一数学竞赛试题


湖南省桃江县第一中学 2013 年上学期高一数学竞赛试题
时量:120 分钟 总分:150 分

一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分。四个选项中只有一个选项正 确) 1、 已知 M, N 为集合 I 的非空真子集, 且 M, N 不相等, 若 N I ? I M = Φ, 则 M U N=( ) (A)M (B)N (C)I (D)Φ 2

设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( )
2 2 2 2 2 2 3 1 1

正视图

侧视图

俯视图(圆和正方形)

5? 3? ? B. 4+ C. 4+ D. 4+ ? 2 2 2 ax ? 1 3.函数 y ? 在 (??, 2) 上为增函数,则实数 a 的取值范围是( x?2 1 1 1 1 A. a ? ? B. a ? C. a ? D. a ? ? 2 2 2 2

A. 4+

)

4.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右 图是根据抽样检测后的产品净重(单位: 克)数据绘制的频率分布直方图,其中 产品净重的范围是[96,106],样本数据
0.150 0.125 0.100 0.075 0.050

频率/组距

96 98 100 102 104 106 克 第 8 题图

分组为[96,98) ,[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知 样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是( A.90 B.75 C. 60 ). D.45

5 已知三点 A、B、E 在平面 α 内,点 C、D 在 α 外(同侧),并且 AC、

DE 都 ? α, BD ? AB.若 AB=3, AC=BD=4, CD=5,则 BD 与平面 α 所 成的角等于( ) (A) 15 (B)30 (C)45 (D)60 2 2 6 在圆 x +y -2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) A. 5 2 B. 10 2 C. 15 2 D. 20 2 7 已知 f(x)是定义在实数集 R 上的函数, f (1) ? ? 3 且 f(x+1)[1-f(x)]= 1+f(x),则 f (2010) =( ) A. 2 ? 3 B. 3 ? 2 C. 3 D. ? 3 8 设 a,b,c,d,e 是五个不同的正整数,其中有且只有一个是偶数,若方 程(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=2010 有大于 a,b,c,d,e 的整数解 x,则 a+b+c+d+e 的末尾数字是( ) A.2 B.3 C.4 D.8

二、填空题: (每小题 5 分,共 35 分) 9、

10、 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的 正三棱柱的三条侧棱上,则此直角三角形的斜边长 是 .

11、 已知直线 x-my+1=0 是圆 C:x2+y2-4x+4y-5=0 的一 条对称轴,则实数 m= .

12 某程序框图如右图所示,现将输出(x,y)值依 次记为:(x1,y1),(x2,y2)……(xn,yn)……若程序运行中 输出的一个数组是(x,-10)则数组中的 x= 13、在平面直角坐标系内,有四个定点 A(-3,0) 、B(1,-1) 、C(0,3) 、 D(-1,3) 及一个动点 P,则 PA ? PB ? PC ? PD 的最小值为

14、 已知关于 x 的方程 x ? k ?

2 k x 在区间[k-1,k+1]上有两个不相等 2

的实根,则实数 k 的取值范围是
3 2 5 4



15、已知 a,b,c,d 均为正整数,且 log a b ? , log c d ? 若 a-c=9,则 b-d=___________. 三、解答题: (共 75 分) 16、 (本小题满分 12 分)设函数 y ? 2 ? x ? x ? 1 的定义域为 A,函 数 y ? log2 (a ? x) 的定义域为 B. (1)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (2) 设全集为 R, 若非空集合 (?R B) I A 的元素中有且只有一个是整数, 求实数 a 的取值范围.

17、 (本小题满分 12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,E,F 是线段 AB 上的两点, 且 DE⊥ AB, CF⊥ AB, AB=12, AD=5, BC=4 2 , DE=4. 现将△ ADE,△ CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合与点 G, 得到多面体 CDEFG.

(1)求证:平面 DEG⊥ 平面 CFG; (2)求多面体 CDEFG 的体积。

18、 (本小题满分 12 分)已知点 P(2,0) ,及 e C:x2+y2-6x+4y +4=0.(1)当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时,求直线 l 的 方程; (2)设过点 P 的直线与 e C 交于 A、B 两点,当|AB|=4,求以

线段 AB 为直径的圆的方程. 19、 (本小题满分 12 分)在?ABC 中,AB=AC,D 是?ABC 外接圆 AC 上的一点,AE ? BD 于 E,求证 BE=CD+DE.
A

D E
B

C

20、 (本小题满分 13 分)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对 某商场一种品牌服装销售情况的调查发现: 该服装在过去的一个月内 (以 30 天计)每件的销售价格 P(x)(百元)与时间 x(天)的函数 关系近似满足 P ( x ) ? 1 ? (k 为正常数),日销售量 Q(x)(件)与时间 x (天)的部分数据如下表所示:已知 10 20 25 30 x (天) 第 10 天的日销售收入为 121(百元) . Q( x) (件) 110 120 125 120 (1)求 k 的值; (2)给出以下四种函数模型: ①Q(x)=ax+b, ② Q( x) ? a x ? 25 ? b , ③ Q( x) ? agb x , ④ Q( x) ? a ? log b x . 请 你根据上表中的数据, 从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销 售量 Q(x)(件)与时间 x(天)的变化关系,并求出该函数的解析式; (3)求该服装的日销售收入 f(x)( 1 ? x ? 30, x ? N )的最小值.
k x

21、 (本小题满分 14 分) 已知二次函数 y=f(x)=x2+bx+c 的图象过点 (1 , 13) ,且函数 y ? f ( x ? ) 是偶函数.(1)求 f(x)的解析式; (2)函数 y= f(x)的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个 完全平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明 理由
1 2

湖南省桃江县第一中学 2013 年上学期高一数学竞赛试题
时量:120 分钟 总分:150 分

一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分。四个选项中只有一个选项正 确) 1、 已知 M, N 为集合 I 的非空真子集, 且 M, N 不相等, 若 N I ? I M = Φ, 则 M U N=( A ) (A)M (B)N (C)I (D)Φ 2 设有一立体的三视图如下,则该立体体积为( A )
2 2 2 2 2 2 3 1 1

侧视图 俯视图(圆和正方形) 5? 3? ? A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+ ? 2 2 2 ax ? 1 3.函数 y ? 在 (??, 2) 上为增函数,则实数 a 的取值范围是( D ) x?2 1 1 1 1 A. a ? ? B. a ? C. a ? D. a ? ? 2 2 2 2

正视图

4.某工厂对一批产品进行了抽样检测.右 图是根据抽样检测后的产品净重(单位: 克)数据绘制的频率分布直方图,其中 产品净重的范围是[96,106],样本数据
0.150 0.125 0.100 0.075 0.050

频率/组距

96 98 100 102 104 106 克 第 8 题图

分组为[96,98) ,[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知 样本中产品净重小于 100 克的个数是 36,则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是( A.90 B.75 C. 60 A ). D.45

5 已知三点 A、B、E 在平面 α 内,点 C、D 在 α 外(同侧),并且 AC、 DE 都 ? α, BD ? AB.若 AB=3, AC=BD=4, CD=5,则 BD 与平面 α 所 成的角等于( B ) (A) 15 (B)30 (C)45 (D)60 6 在圆 x2+y2-2x-6y=0 内,过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别是 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( B A. 5 2 B. 10 2 C. 15 2 ) D. 20 2

7 已知 f(x)是定义在实数集 R 上的函数, f (1) ? ? 3 且 f(x+1)[1-f(x)]= 1+f(x),则 f (2010) =( B A.
2? 3


3?2

B.

C.

3

D.

? 3

8 设 a,b,c,d,e 是五个不同的正整数,其中有且只有一个是偶数,若方 程(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)=2010 有大于 a,b,c,d,e 的整数解 x,则 a+b+c+d+e 的末尾数字是( A.2 B.3 A ) C.4 D.8

二、填空题: (每小题 5 分,共 35 分) 9、

10、 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为 4 的 正三棱柱的三条侧棱上, 则此直角三角形的斜边长是
4 3



11、 已知直线 x-my+1=0 是圆 C:x2+y2-4x+4y-5=0 的一 条对称轴,则实数 m=
? 3 2

.

12 某程序框图如右图所示,现将输出(x,y)值依 次记为:(x1,y1),(x2,y2)……(xn,yn)……若程序运行中 输出的一个数组是(x,-10)则数组中的 x= 32 13、在平面直角坐标系内,有四个定点 A(-3,0) 、B(1,-1) 、C(0,3) 、 D(-1,3) 及 一 个 动 点 P , 则 PA ? PB ? PC ? PD
3 2? 2 5

的最小值为

14、 已知关于 x 的方程 x ? k ?

2 k x 在区间[k-1,k+1]上有两个不相等 2

的实根,则实数 k 的取值范围是

0? k ?1
3 2 5 4



15、已知 a,b,c,d 均为正整数,且 log a b ? , log c d ? 若 a-c=9,则 b-d=____93________.
b? ?d ? 提示: 由已知得 a2 ? b ,c4 ? d , a ? ? ? ? , c ? ? ? ,又 a ? c ? 9 ,故 ?a? ?c?
?b d 2 ? ?9 2 4 ? a ? 25 , c ? 16 ? b d 2 ?? b d 2 ? ?b? ?d ? ?a c2 ? ? ? ? , ; ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?? ? 2 ? ? 9 ,推得 ? 2 ?a? ? c ? ? a c ?? a c ? ? b ? d ? 1 b ? 125, d ? 32 ? ?a c2
3 5
2 4

三、解答题: (共 75 分) 16、 (本小题满分 12 分)设函数 y ? 2 ? x ? x ? 1 的定义域为 A,函 数 y ? log2 (a ? x) 的定义域为 B. (1)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围; (2) 设全集为 R, 若非空集合 (?R B) I A 的元素中有且只有一个是整数, 求实数 a 的取值范围.
?2 ? x ? 0 解: (1)由 ? ? ?1 ? x ? 2 ,? A ? [?1, 2] . ?x ?1 ? 0 由 a ? x ? 0 得 x ? a ,? B ? (??, a) .
Q A ? B,? a ? 2 .

………3 分 ………5 分 ………8 分

(2) Q B ? (??, a) ,
??R B ? [a, ??) .
………10 分

Q (?R B) ? A 的元素中有且只有一个是整数,
?1 ? a ? 2 .

………12 分

17、 (本小题满分 12 分)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥ CD,E,F 是线段 AB 上的两点, 且 DE⊥ AB, CF⊥ AB, AB=12, AD=5, BC=4 2 , DE=4. 现将△ ADE,△ CFB 分别沿 DE,CF 折起,使 A,B 两点重合与点 G, 得到多面体 CDEFG.

(1) 求证:平面 DEG⊥ 平面 CFG; (2) 求多面体 CDEFG 的体积。

18、 (本小题满分 12 分)已知点 P(2,0) ,及 e C:x2+y2-6x+4y +4=0.(1)当直线 l 过点 P 且与圆心 C 的距离为 1 时,求直线 l 的 方程; (2)设过点 P 的直线与 e C 交于 A、B 两点,当|AB|=4,求以

线段 AB 为直径的圆的方程.

5分 7分 10 分 12 分

19、 (本小题满分 12 分)在?ABC 中,AB=AC,D 是?ABC 外接圆 AC 上的一点,AE ? BD 于 E,求证 BE=CD+DE.
证明:延长 BD 到 F 使 AF ? AC .连结 AF 、 CF 、 CD ,则有 ?AFB ? ?ABF ,

A

?AFC ? ?ACF . Q D 在 ?ABC 的外接圆上, ? ?ACD ? ?ABD , 从而 ?AFD ? ?ACD , ??DCF ? ?DFC , ? DF ? CD .
Q AE ? BF , AB ? AF ,

D E B

C

? BE ? EF ? ED ? DF ? ED ? CD .

20、 (本小题满分 13 分)某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对 某商场一种品牌服装销售情况的调查发现: 该服装在过去的一个月内 (以 30 天计)每件的销售价格 P(x)(百元)与时间 x(天)的函数 关系近似满足 P ( x ) ? 1 ? (k 为正常数),日销售量 Q(x)(件)与时间 x (天)的部分数据如下表所示:已知 10 20 25 30 x (天) 第 10 天的日销售收入为 121(百元) . Q( x) (件) 110 120 125 120 (1)求 k 的值; (2)给出以下四种函数模型: ①Q(x)=ax+b, ② Q( x) ? a x ? 25 ? b , ③ Q( x) ? agb x , ④ Q( x) ? a ? log b x . 请 你根据上表中的数据, 从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销 售量 Q(x)(件)与时间 x(天)的变化关系,并求出该函数的解析式; (3)求该服装的日销售收入 f(x)( 1 ? x ? 30, x ? N )的最小值.
k x

解: (1)依题意有: f (10) ? P(10) ? Q(10) ,
k ) ?110 ? 121 ,所以 k ? 1 . ………2 分 10 (2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调,

即 (1 ?

故只能选② Q( x) ? a x ? 25 ? b . 从表中任意取两组值代入可求得:

………4 分

Q( x) ? ? x ? 25 ?125 ? 125 ? x ? 25 .
?100 ? x,(1 ? x ? 25) (3) Q( x) ? 125 ? x ? 25 ? ? , ?150 ? x.(25 ? x ? 30)
? 100 x? ? 101, (1 ? x ? 25) ? ? x ? f ( x) ? ? . ?150 ? x ? 149.(25 ? x ? 30) ? ? x
x

………7 分

………9 分

100 ① 当 1 ? x ? 25 时, x ? 在 [1,10] 上是减函数,在 [10, 25) 上是增函数,

所以,当 x ? 10 时, f ( x)min ? 121 (百元) .
②当 25 ? x ? 30 时,

………11 分

150 ? x 为减函数, x

所以,当 x ? 30 时, f ( x)min ? 124 (百元) . 综上所述:当 x ? 10 时, f ( x)min ? 121 (百元) .

………12 分 ………13 分

21、 (本小题满分 14 分) 已知二次函数 y=f(x)=x2+bx+c 的图象过 点(1,13) ,且函数 y ? f ( x ? ) 是偶函数.(1)求 f(x)的解析式; (2) 函数 y= f(x)的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐 标是一个完全平方数?如果存在, 求出这样的点的坐标; 如果不存在, 请说明理由.
2 解 (1)因为函数 y ? f ( x ? ) 是偶函数,所以二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的对称轴

1 2

1 2

方程为 x ? ?

1 ,故 b ? 1 . 2

----------------------4 分
2

又因为二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c 的图象过点 (1, 13) , 所以 1 ? b ? c ? 13 , 故 c ? 11 .

因此, f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? x 2 ? x ? 11.

-------------------------------------5 分

(2)如果函数 y ? f ( x) 的图象上存在符合要求的点,设为 P (m, n2 ) ,其中 m 为正整 数 ,

n 为 自 然 数 , 则 m2 ? m ? 11 ? n2 , 从 而 4n2 ? (2m ? 1)2 ? 43 , 即
(m 2?
.---------------------------------9 分 1 ) n? ] [ 2 m? ( 2 ? 1 ) ] 4 3

[ 2 n?

注 意 到 43 是 质 数 , 且 2n ? (2m ? 1) ? 2n ? (2m ? 1) , 2n ? (2m ? 1) ? 0 , 所 以 有

?2n ? (2m ? 1) ? 43, ?m ? 10, 解得 ? ? ?2n ? (2m ? 1) ? 1, ?n ? 11.
因此,函数 y ? f ( x) 的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121).

------------------------------------------14 分


推荐相关:

湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试...

湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。2015 年下学期高一年级入学考试数学试卷温馨提示: (1)本试卷共 4 页,19...


湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一数学上学期第一...

湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一数学上学期第一次月考试题_数学_高中教育_教育专区。桃江一中 2015 年下学期高一第一次月考试卷 数学 一、单项选择(本大...


湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期第一次月...

湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题_数学_高中教育_教育专区。桃江一中 2015 年下学期高一第一次月考试卷 数学 一、单项选择(本大...


湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试...

湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试数学试题_数学_高中教育_教育专区。2015 年下学期高一年级入学考试数学试卷温馨提示: (1)本试卷共 4 页,19...


湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试...

湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试数学试题_高中教育_教育专区。2015 年下学期高一年级入学考试数学试卷 温馨提示: (1)本试卷共 4 页,19 小...


湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试...

湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试数学试卷_数学_高中教育_教育专区。高一上学期入学考试 2015 年下学期高一年级入学考试数学试卷 温馨提示: (1...


湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试...

湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试数学试题 Word版含答案_高中教育_教育专区。2015 年下学期高一年级入学考试数学试卷 温馨提示: (1)本试卷共...


湖南省桃江县第一中学2017-2018学年高一上学期入学考试...

湖南省桃江县第一中学2017-2018学年高一上学期入学考试数学试题word版 含答案_高一理化生_理化生_高中教育_教育专区。桃江一中 2017 级高一入学考试数学试卷 时量:...


【2016年高考数学】湖南省桃江县第一中学2015-2016学年...

【2016年高考数学】湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试数学试题及答案_数学_高中教育_教育专区。高中数学学习,高考数学总复习,高考数学状元之路,...


湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试...

湖南省桃江县第一中学2015-2016学年高一上学期入学考试数学试卷 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2015 年下学期高一年级入学考试数学试卷 温馨提示: (1)本...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com