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几何证明选讲习题与详细答案
1. (2008 广东,15) (几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2, AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于点 B,PB=1,则圆 O 的半径 R= 1. 【答案】 3 【解析】作出图如下。 由切割线定理得 PA2=PB·PC,∴PC=4, 。

? AC ? 2 3, ? R

? 3. 故填 3.

[来源:Z|xx|k.Com]

2. (2007 广东,15) (几何证明选 讲选做题)如图所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一 点,BC=3。过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,AD 分别与直线 l、圆交于点 D、 E,则∠DAC= ,线段 AE 的长为 。

2. 【答案】30°;3 【解析】连结 OC,则 OC//AD,CB=OB=OC, ∴∠COB=∠EAO=60°, ∠CAO=30°, ∴∠DAC=30°; Rt△AEB≌ Rt△BCA, ∴BC=AE=3。
[来源:Zxxk.Com]

3. (2008 江 苏,21A,10 分)如图,设△ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点
1

E,∠BAC 的平分线与 BC 交于点 D。 求证:ED2=EC·EB。

3. 【解析】因为 AE 是圆的 切线,所以∠ABC=∠CAE。又因为 AD 是∠BAC 的平分线,所 以∠ BAD= ∠ CAD ,从而∠ ABC+ ∠ BAD= ∠ CAE+ ∠ CAD 。因为∠ ADE= ∠ ABC+ ∠ BAD,∠DAE=∠CAE+∠CAD,所以∠ADE=∠DAE,故 EA=ED。因为 EA 是圆的切 线,所以由切割线定理知,EA2=EC·EB。而 EA=ED,所以 ED2=EC·EB。

4. (2008 宁夏、海南,22,10 分) (选修 4—1:几何证明选讲)如图,过圆 O 外一点 M 作 它的一条切线,切点为 A,过 A 点作直线 AP 垂直直线 OM,垂足为 P。 (1)证明:OM·OP=OA2; (2)N 为线段 A P 上一点,直线 NB 垂直直线 ON,且交圆 O 于 B 点。过 B 点的切线交 直线 ON 于 K。证明:∠OKM=90°。

4. 【解析 】 (1)证明:因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA⊥AM。又因为 AP⊥OM,在 Rt △OAM 中,由射影定理知,OA2=OM·OP。 (2)证明:因为 BK 是圆 O 的切线,BN⊥OK,同(1) ,有 OB2=ON·OK,又 OB=OA, 所以 OP·OM=ON·OK,即

ON OM ? . 又∠NOP=∠MOK, OP OK
所以△ONP∽△OMK, 故∠OKM=∠OPN=90°
[来源:Z,xx,k.Com]

2

5. (2007 海南、宁夏,22A,10 分) (选修 4—1:几何证明选讲)如图,已知 AP 是⊙O 的 切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于 B、C 两点,圆心 O 在∠PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点。 (1)证明 A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小。

5. 【解析】 (1)连结 OP、OM。

[来源:学§科§网]

因为 AP 与⊙O 相切于点 P,所以 OP⊥AP。因为 M 是⊙O 的弦 BC 的中 点,所以 OM⊥BC。于是∠OPA+∠OMA=180°,由圆心 O 在∠PAC 的 内部,可知四边形 APOM 的对角 互补,所以 A,P,O,M 四点共圆。 (2)由(1)得 A,P,O,M 四点共圆,所以∠OAM=∠OPM。由(1) 得 OP⊥AP。由圆心 O 在∠PAC 的内部,可知∠OPM+∠APM=90°,所 以∠OAM+∠APM=90° 6.【解析】 (Ⅰ)证明:因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA⊥AM 又因为 AP⊥OM,在 Rt△OAM 中,由射影定理知,

OA2 ? OM ? OP.
(Ⅱ)证明:因为 BK 是圆 O 的切线,BN⊥OK, 同(Ⅰ) ,有 OB2=ON·OK,又 OB=OA, 所以 OP·OM=ON·OK,即

ON OM ? . OP OK

又∠NOP=∠MOK, 所以△ONP ∽△OMK,故∠OKM=∠OPN=90°

7. (2009 广东几何证明选讲选做题 15)如图 4,点 A,B,C 是圆 O 上的点, 且 AB ? 4, ?ACB ? 45? ,则圆 O 的面积等于

3

0 OB , OA ? OB , 7. 【解析】 解法一: 连结 OA 、 则 ?AOB ? 90 , ∵ AB ? 4 , ∴ OA ? 2 2 ,

则 S圆 ? ? ? (2 2 ) 2 ? 8? ; 解 法 二 : 2 R ?

4 ?4 2?R?2 2 , 则 sin 45 0

S圆 ? ? ? (2 2 ) 2 ? 8? .

8.(200 9 海南宁夏 22) 如图,已知 ?ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于 H, ?B ? 60? ,F 在 AC 上,且 AE=AF。 (I)证明:B,D,H,E 四点共圆;
[来源:Z,xx,k.Com]

(Ⅱ)证明: CE平分?DEF.

8.【解析】 (Ⅰ)在△ABC 中,因为∠=600, 所以∠BAC+∠BCA=1200. 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=600, 故∠AHC=1200. 于是∠EHD=∠AHC=1200. 因为∠EBD+∠EHD=1800, 所以 B、D、H、E 四点共圆. (Ⅱ)连结 BH,则 BH 为∠ABC 的平分线, 由(Ⅰ)知 B、D、H、E 四点共圆, 所以∠CED=∠HBD=300. 又∠AHE=∠EBD=600, 由已知可得 EF⊥AD, 可得∠CEF=300.
[来源:Zxxk.Com]

得∠HBD=300

4

所以 CE 平分∠DEF.

[来源:

xx|k

9. (2009 辽宁 22) 已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣弧 AC 的点(不与点 A,C 重合) ,延长 BD 至 E。 (I)求证:AD 的延长线平分∠CDE;
.Co

(II)若∠BAC=30°,△ABC 中 BC 边上的高为 2 ? 3 ,求△ABC 外接圆的面积。

9. 【解析】 (1)如图,设 F 为 AD 延长线上一点。

? A, B, C , D四点共圆 ? ?CDF ? ?ABC. 又AB ? AC,? ?ABC ? ?ACB, 且?ADB ? ?ACB,? ?ADB ? ?CDF , 对顶角?EDF ? ?ADB, 故?EDF ? ?CDF , ????5' (II)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H,则 AH ? BC 。
连结 OC,由题意 ?OAC ? ?OCA ? 15?, ?ACB ? 75?.

即AD的延长线平分 ?CDE.

? ?OCH ? 60 ?
设圆半径为 r,则 r ?

3 r ? 2 ? 3, 得r ? 2, 外接圆面积为 4 ? 。 2

[来源:Zx

[2010] 1.(2010 年高考天津卷理科 14)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 A B 和 DC
[来源

5

相交于点 P。若

PB 1 PC 1 BC ? , ? ,则 的值为 PA 2 PD 3 AD



1. 【答案】

6 6

【解析】因为 ABCD 四点共圆,所以∠ DAB ? ∠PCB, ∠CDA=∠PBC,因为∠P 为公共角,所以 ?PBC ∽ ?PAB ,所以

BC x PB PC BC x y 6y 6 ? ? ? ? ,设 PC=x,PB=y,则有 ,即 x ? ,所以 = 。 AD 3 y PD PA AD 3y 2x 2 6
【命题意图】本题考查四点共圆与相似三角形的性质。 2. (2010 年高考湖南卷理科 10)如图 1 所示,过 O 外一点 P 作一条直线与 O 交于 A,B 两点,已知 PA=2,点 P 到 O 的切线长 PT =4,则弦 AB 的长为________.

T O P A B

图 1 【解析】根据切线长 定理 2. 【答案】6

T O P A
图1

PT 2 16 PT ? PA PB, PB ? ? ?8 PA 2
2

B

所以 AB ? PB ? PA ? 8 ? 2 ? 6 【命题意图】本题考察平面几何的切线长定理,属容易题。

6

3. (2010 年高考广东卷理科 14)(几何证明选讲选做题)如图 3,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P,PD=

2a ,∠OAP=30°, 则 CP=______ 3

3. 【答案】

9 a 8

【解析】因为点 P 是 AB 的中点,由垂径定理知, OP ? AB . 在 Rt ?OPA 中, BP ? AP ? a cos 30 ?

3 a .由相交线定理知, 2

BP ? AP ? CP ? DP ,即

9 3 3 2 a? a ? CP ? a ,所以 CP ? a . 8 2 2 3

4. ( 2010 年高考陕西卷理科 15 ) ( 几何证明选做题 ) 如图 , 已知 Rt ?ABC 的两条直角边

AC, BC 的 长 分 别 为 3cm,4cm , 以 AC 为 直 径 的 圆 与 AB 交 于 点 D , 则
BD ? __________ . DA
A

O

B

C

4. 【解析】 (方法一)∵易知 AB ? 32 ? 4 2 ? 5 ,又由切割线定理得 BC ? BD ? AB ,∴
2

7

4 2 ? BD ? 5 ? BD ?

16 . 5 16 9 BD 16 5 16 ? .故所求 ? ? ? . 5 5 DA 5 9 9
2

于是, DA ? AB ? BD ? 5 ?

(方法二)连 CD ,∵易知 CD 是 Rt ?ABC 斜边上的高,∴由射影定理得 BC ? BD ? AB ,

AC 2 ? DA ? AB .故所求

BD BD ? AB BC 2 4 2 16 ? ? ? ? . DA DA ? AB AC 2 32 9

【试题评析】本题主要考查平面几何中的直线与圆的综合,要注意有关定理的灵活运用. 【考点分类】第十六章选考系列.

5. (2010 年高考北京卷理科 12)如图, O 的弦 ED,CB 的延长线交于点 A。若 BD ? AE, AB=4, BC=2, AD=3,则 DE= ;CE= 。

5. 【答案】5; 2 7 解 析 : 首 先 由 割 线 定 理 不 难 知 道 AB ? AC ? AD ? AE , 于 是
A E? 8 , D E ? 5 ,又 BD ? AE ,故 BE 为直径,因此 ?C ? 90? ,
2 2 2 由勾股定理可知 CE ? AE ? AC ? 28 ,故 CE ? 2 7 .

二、解答题: 1. (2010 年高考江苏卷试题 21)选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) AB 是圆 O 的直径,D 为圆 O 上一点,过 D 作圆 O 的
D

切线交 AB 延长线于点 C, 若 DA=DC, 求证: AB=2BC。
A O B C

8

(2010) 二、解答题: 1. [解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识,考查推理论证能力。 (方法一)证明:连结 OD,则:OD⊥DC, 又 OA=OD,DA=DC,所以∠DAO=∠ODA=∠DCO, ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO, 所以∠DCO=300,∠DOC=600, 所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC。 (方法二)证明:连结 OD、BD。 因为 AB 是圆 O 的直径,所以∠ADB=900,AB=2 OB。 因为 DC 是圆 O 的切线,所以∠CDO=900。 又因为 DA=DC,所以∠DAC=∠DCA, 于是△ADB≌△CDO,从而 AB=CO。 即 2OB=OB+BC,得 OB=BC。 故 AB=2BC。

9

2. (2010 年全国高考宁夏卷 22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已经圆上的弧 (Ⅰ)∠ACE=∠BCD; 2 (Ⅱ)BC =BF×CD。 ,过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明:

2. (22)解:

(I)因为 AC ? BC , 所以 ?BCD ? ?ABC . 又因为 EC 与圆相切于点 C ,故 ?ACE ? ?ABC , 所以 ?ACE ? ?BCD . (II)因为 ?ECB ? ?CDB, ?EBC ? ?BCD , 所以 ?BDC ∽ ?ECB ,故 即 BC ? BE ? CD .
2

BC CD ? , BE BC

3. (2010 年高考辽宁卷理科 22) (本小题满分 10 分)选修 4-1: 几何证明 选讲 如图, ?ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E
10

?ADC 1 (II)若 ?ABC 的面积 S ? AD ? AE ,求 ?BAC 的大小。 2
(I)证明: ?ABE

3

[来源:学科网

[来源:学科

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