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宁夏回族自治区银川一中2015届高三上学期第六次月考数学(文)试题


宁夏回族自治区银川一中2015届高三上学期第六次月考 数学(文)试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.设全集 U=I, M ? {x | y ? ln(1 ? x)}, N ? {x | 2 x ( x ? 2 ) ? 1} , 则右图中阴影部分表示的集合为

A. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} B. {x |1 ? x ? 2} D.{x | x ? 1} ) D.2-i

=( 2.若复数 1 ? 2i ? 1 ? 4i ,则 z A.9+i B.9- i C.2+i

z ? 3i

3.执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 6, 那么输出的 p 是( A.120 B.720 ) C.1440 D.5040

4.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 A.63.6 万元 5.若 B.65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元

sin α+cos α 1 = ,则 tan 2α= sin α-cos α 2 4 3 B. 4 3 3 C.- 4 D. 3 4

A.-

6.某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图、俯视图都是

边长为 1 的正方形,则此四面体的外接球的体积为 A.

4? 3

B. 3?

C.

3 ? 2

D. ?

7.已知数列{ an }满足 log 3 an ? 1 ? log 3 an ?1 ( n ? N* ) ,且 a2 ? a4 ? a6 ? 9 , 则 log 1 ( a5 ? a7 ? a9 ) 的值是
3

A. ?

1 5

B.

5

C. ?5

D.

1 5

8.函数 f ( x) ? x 2 ? e ln x 的零点个数为 A.0 B.1
2

C.2
2

D.3

x y 2 9.已知抛物线 y =4x 的准线过双曲线 2 - 2 =1(a>0, b>0)的左顶点, 且此双曲线的一条渐近线方程为 y=2x, 则双曲线 a b 的焦距等于 A. 5 B.2 5 C. 3 D.2 3

10.在△ABC 中,B =60° ,AC= 3,则 AB +2BC 的最大值为 A. B. C. D.

π? 11.设函数 f (x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)? ?ω>0,|φ|<2? 的最小正周期为 π, 且 f (-x)=f (x),则 π? A.f (x)在? ?0,2?单调递减 π? C.f (x)在? ?0,2?单调递增 π 3π? B.f (x)在? ?4, 4 ?单调递减 π 3π? D.f (x)在? ?4, 4 ?单调递增

12.设函数 f ( x ) 在 R 上的导函数为 f ' ( x ) ,且 2 f ( x ) ? xf ' ( x ) ? x 2 ,下面的不等式在 R 上恒成立的是 A. f ( x ) ? 0 B. f ( x ) ? 0 C. f ( x ) ? x D. f ( x ) ? x

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学生随机编号 1—50

号,并分组,第一组 1—5 号,第二组 6—10 号,……,第十组 46—50 号,若在第三组中抽得号码为 12 的学生, 则在第八组中抽得号码为 的学生.

14.若向量 a ? (?1, k ) , b ? (3,1) , 且 a ? b 与 a 垂直, 则实数 k 的值为_______. 15.已知 m ? ?1,6? , n ? ?1,6?,则函数 y ? ____________. 16.椭圆

2 3 mx ? nx ? 1 在 [1, ??) 上为增函数的概率是 3

x2 y 2 ? ? 1 上有动点 P , E (3, 0) ,则 PE 的最小值为_______. 36 9

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 设 S n 为数列{ a n }的前 n 项和, 已知 a1 ? 0 ,2 a n ? a1 ? S1 ? S n , n ? N (1)求 a1 , a 2 , 并求数列{ a n }的通项公式; (2)求数列{ na n }的前 n 项和. 18. (本小题满分 12 分) 为调查银川市某校高中生是否愿意提供志愿者服务,用简单随机抽样方法从该校调查了 50 人,结果如下: 是否愿意提供志愿服务 性别 男生 女生 愿意 20 10 不愿意 5 15

(1)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取 6 人,其中男生抽取多少人? (2)在(1)中抽取的 6 人中任选 2 人,求恰有一名女生的概率; (3)你能否有 99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关? 下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )

0.15 2.072
2

0.10 2.706
2

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6. 635

0.005 7.879

0.001 10.828

k

独立性检验统计量 K ? 19. (本小题满分 12 分)

n?ad ? bc ? , 其中 n ? a ? b ? c ? d . ?a ? b ??c ? d ??a ? c ??b ? d ?

如图,四边形 ABCD 为矩形,四边形 ADEF 为梯形, F

E

A G B C

D

AD//FE ,∠AFE =60? ,且平面 ABCD⊥平面 ADEF , AF =FE =AB =

1 AD =2,点 G 为 AC 的中点. 2

(1)求证:EG//平面 ABF ; (2)求三棱锥 B -AEG 的体积; (3)试判断平面 BAE 与平面 DCE 是否垂直?若垂直,请证明;若不垂直,请说明理由. 20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、F2 ,A 是椭圆 C 上的一点, AF2 ? F1 F2 ? 0 ,坐标 2 a2
1 3

原点 O 到直线 AF 1 的距离为 | OF1 | . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线交 x 轴于点 F (?1, 0) ,交 y 轴于点 M,若| MQ |? 2 | QF | ,求 直线的斜率. 21. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 2ax ?

1 ? (2 ? a) ln x ( a ? 0) x

(1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)当 a>0 时,讨论 f(x)的单调性; (3)若对任意的 a∈(2, 3),x1 , x2 ∈[1, 3],恒有(m-ln3)a-2ln3>|f(x1 )-f(x2 )|成立,求实数 m 的取值范围。 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 答时用 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点, PO交圆O于B, C两点,

PA ? 20 , PB ? 10, ?BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点
D和 E.
(I)求证 AB ? PC ? PA ? AC (II)求 AD ? AE 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 立极坐标系. (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线的极坐标方程是 2 ? sin(? ? 为 Q,求线段 PQ 的长.

? x ? 1 ? cos ? .以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建 (? 为参数) y ? sin ? ?

?
3

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点为 O、P,与直线的交点

一、选择题: 题号 答数 1 B 2 A 3 B 4 B 5 D 6 C 7 C 8 A 9 B 10 D 11 A 12 A

二、填空题: 13、37. 14、 -2,1 15、

21 25

16、 6

三、解答题: 17、解:(Ⅰ) ? S1 ? a1 . ? 当n ? 1时, 2a1 ? a1 ? S1 ? S1 ? a1 ? 0, a1 ? 1. ……… 2 分 2a ? a1 2a n ?1 ? a1 当n ? 1时,a n ? s n ? s n ?1 ? n ? ? 2a n ? 2a n ?1 ? a n ? 2a n ?1 - ……… 4 分 S1 S1

? {a n }时首项为a1 ? 1公比为q ? 2的等比数列,a n ? 2 n ?1 , n ? N * . ……… 6 分
(Ⅱ) 设Tn ? 1 ? a1 ? 2 ? a 2 ? 3 ? a3 ? ? ? n ? a n ? qTn ? 1 ? qa1 ? 2 ? qa 2 ? 3 ? qa3 ? ? ? n ? qa n

? qTn ? 1 ? a 2 ? 2 ? a3 ? 3 ? a 4 ? ? ? n ? a n ?1
上式左右错位相减:
(1 ? q )Tn ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? ? a n ? na n ?1 ? a1 1? qn ? na n ?1 ? 2 n ? 1 ? n ? 2 n ……… 8 分 1? q

? Tn ? (n ? 1) ? 2 n ? 1, n ? N * . ……… 12 分
18、解: (Ⅰ)在愿意提供志愿者服务的学生中抽取 6 人,则抽取比例为 所以男生应该抽取 20 ? ? 4人.…… 4 分 (Ⅱ)在(Ⅰ)中抽取的 6 名学生中,女生有 2 人,男生有 4 人,男生 4 人记为 A1 , A2 , A3 , A4 , 女生 2 人记为 B1 , B2 ,则从 6 名学生中任取 2 名的所有情况为:共 15 种情况。…… 6 分 恰有一名女生的概率为 (Ⅲ)因为 K 2 ? …… 8 分 10 分
1 5 6 1 ? 30 5

50 ? (10 ? 20 ? 30 ? 15) 2 25 ? ? 8.333 30 ? 20 ? 25 ? 25 3

且 P( K 2 ? 6.635) ? 0.010 ? 1%. 所以能用 99%的把握认为是否愿意提供志愿者服务是与性别有关系的。 19、解: (I)证明:取 AB 中点 M,连 FM,GM.∵ G 为对角线 AC 的中点, 1 1 ∴ GM∥AD,且 GM= AD,又∵ FE ∥ AD,∴ GM∥FE 且 GM=FE . 2 2 ∴四边形 GMFE 为平行四边形,即 EG∥FM.又∵ EG ? 平面 ABF , FM ? 平面 ABF , ∴ EG∥平面 ABF .………… 4 分 (Ⅱ)解:作 EN⊥AD,垂足为 N, 由平面 ABCD⊥平面 AFED ,面 ABCD∩面 AFED=AD, 得 EN⊥平面 ABCD,即 EN 为三棱锥 E -ABG 的高. M B A N G C D F E 12 分

∵ 在△AEF 中,AF =FE ,∠AFE =60? , ∴ △AEF 是正三角形.∴ ∠AEF =60? , 由 EF //AD 知∠EAD=60? , ∴ EN=AE? sin60? = 3 .∴ 三棱锥 B -AEG 的体积为

1 1 1 2 3 ………8 分 VB ? AEG ? VE ? ABG ? S ?ABG ? EN ? ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 3 2 3
(Ⅲ)解:平面 BAE ⊥平面 DCE .证明如下 ∵ 四边形 ABCD 为矩形,且平面 ABCD⊥平面 AFED, ∴ CD⊥平面 AFED,∴ CD⊥AE . ∵ 四边形 AFED 为梯形,FE ∥AD,且 ?AFE ? 60°,∴ ?FAD =120°. 又在△AED 中,EA =2,AD=4, ?EAD ? 60° ,由余弦定理,得 ED= 2 3 . ∴ EA 2 +ED2 =AD2 ,∴ ED⊥AE . 又∵ ED∩CD=D, ∴ AE ⊥平面 DCE ,又 AE ? 面 BAE , ∴ 平面 BAE ⊥平面 DCE . ………12 分

20、解: (1)由题设知 F1 (? a 2 ? 2, 0), F2 ( a 2 ? 2, 0), 其中a ? 所以点 A 的坐标为 ( a 2 ? 2, ? ) , 故 AF1 所在直线方程为 y ? ? (

2 .由于 AF2 ? F1 F2 ? 0 ,则有 AF2 ? F1 F2 ,

2 a

1 ? ) ,…… 2 分 a a ?2 a
2

x

a2 ? 2 所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 2 a ?1 .
又 OF1 ?

…… 4 分

a 2 ? 2 ,所以

a2 ? 2 1 2 ? a ? 2 ,解得 a ? 2 , a2 ?1 3

所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 .…… 6 分 4 2 (2)设直线斜率为 k ,直线的方程为 y ? k ( x ? 1) ,则有 M (0, k ) .
设 Q ( x1 , y1 ) ,由于 Q 、 F 、 M 三点共线,且 MQ ? 2 QF ,

2 ? x1 ? ? , ? ? x1 ? ?2, ? 3 根据题意得 ( x1 , y1 ? k ) ? ?2( x1 ? 1, y1 ) , 解得 ? 或? …… 8 分 y ? ? k k ? 1 ?y ? . 1 ? 3 ? 2 k (? ) 2 ( ) 2 2 2 (?2) (?k ) ? ? 1 或 3 ? 3 ? 1 ,…… 10 分 又 Q 在椭圆 C 上,故 4 2 4 2 解得 k ? 0 或 k ? ?4 ,所以所求直线的斜率为 0 或 ? 4 . …… 12 分

1 1 2 1-2x ? 2 ln x ? f 、 ( x)= 2 - = 2 ( x ? 0) …… 2 分 x x x x 1-2x 1 ? 1? ?1 ? 由 f、 ,可知 f ? x ? 在 ? 0, ? 上是增函数,在 ? , ?? ? 上是减函数. ( x)= 2 ? 0 , 解得 x ? x 2 ? 2? ?2 ? 1 ∴ f ? x ? 的极大值为 f ( ) ? 2 ln 2 ? 2 ,无极小值. ………………4 分 2 1 1 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 (2) f ( x) ? 2ax ? ? (2 ? a) ln x ? f 、 ( x)=2a ? 2 ? (2 ? a) ? x x x x2 ? 1? ?1 ? ?1 1? . ①当 0 ? a ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0, ? 和 ? , ?? ? 上是增函数,在 ? , ? 上是减函数;…6 分 ? 2? ?a ? ?2 a?
21. 解: (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? ? ②当 a ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是增函数; ③当 a ? 2 时, f ? x ? 在 ? 0, ………… 7 分

? ?

1? ?1 ? ?1 1? ? 和 ? , ?? ? 上是增函数,在 ? , ? 上是减函数 8 分 a? ?2 ? ?a 2?
4 . 3

(3)当 2 ? a ? 3 时,由(2)可知 f ? x ? 在 ?1,3? 上是增函数, ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (3) ? f (1) ? 4a ? (2 ? a ) ln 3 ? …………… 9 分

由 (m ? ln 3) a ? 2 ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 对任意的 a∈(2, 3),x1 , x2 ∈[1, 3]恒成立, ∴ (m ? ln 3) a ? 2 ln 3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) max 即 (m ? ln 3) a ? 2 ln 3 ? 4a ? (2 ? a) ln 3 ? 即m ? 4? ……… 10 分

4 对任意 2 ? a ? 3 恒成立, 3
……… 11 分

4 对任意 2 ? a ? 3 恒成立, 3a 10 4 32 32 由于当 2 ? a ? 3 时, ,∴ m ? . ? 4? ? 3 3a 9 9

…………… 12 分

2 ) ? y 2 ? 1, 又x ? ? cos? , y ? ? sin ? : 23. 【解析】. 解:(I)圆C的普通方程是(x ? 1

所以圆C的极坐标方程是? ? 2 cos? ? ?1 ? 2 cos?1 ? ?1 ? 1 ? ? ( II )设( ?1 ,?1 )为点P的极坐标,则有? 解得 ? ? ? ?1 ? ?1 ? ? ? 3 3 ? ? ? ? 2 (sin ? 2 ? 3 cos? 2 ) ? 3 3 ??2 ? 3 ? ? 设( ?1 ,?1 )为点Q的极坐标,则有? .解得? ? ? ?2 ? ?? 2 ? ? 3 ? 3 ?


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