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浙江省杭州市余杭中学、萧山八中、富阳新登中学、临安昌化中学2015-2016学年高二期中考试数学试题 Word版


2015 学年第一学期期中联考 高二年级 数学试题卷

考生须知: 1.本卷满分 100 分,考试时间 90 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中,

只有一 项是符合题目要求的) 1.在棱柱中 A.只有两个面平行 C.所有的面都是平行四边形 2.在△ABC 中,A= A.5 ,B= B.10 B.所有的棱都平行 D.两底面平行,且各侧棱也相互平行 ,a=10,则 b= C.10 D.5 ) ( ) ( )

3.已知 m,n 是两条不同的直线,α ,β ,γ 为三个不同的平面,则下列命题中错误 的是( .. A.若 m⊥α ,m⊥β ,则α //β C.若 α ⊥γ ,β ⊥γ ,则α //β B.若 m⊥α ,n⊥α ,则 m//n D.若α //γ ,β //γ ,则α //β (

4.若 a、b、c∈R,且 a>b,则下列不等式一定成立的是 A.ac>bc B. >0 C. (a﹣b)c ≥0 D. <
2



5.在等比数列 ?a n ?中,若 a3 ? 2S2 ? 1, a4 ? 2S3 ? 1 ,则公比 q = A.-3 B.3 C.-1 D.1





6.下列结论正确的是 A.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ?





1 ≥2 lg x

B.当 x ? 0 时, x ?

1 x

≥2

C.当 x ≥ 2 时, x ?

1 的最小值为 2 x

D.当 0 ? x ≤ 2 时, x ?

1 无最大值 x

7.一个正方体纸盒展开后如下图,在原正方体纸盒中有下列结论: ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 成 60°的角; ( )

③ EF 与 MN 是 异 面 直 线 ; ④ MN ∥ CD. 其 中 正 确 的 是

A.①②

B.③④

C.②③

D.①③

8.在数列 ?a n ?中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an = A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n D. 1 ? n ? ln n

1 n

(

)

9.在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、b 、c ,已知 则b = A.1 B.2 C.3

3 cos A a ? ,且 a 2 ? c 2 ? 2b , cos C c
( D.4 )

10.如图,已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, PA ? 底面 ABCD , AB ? 1,

π PA ? AC ? 1, ?ABC ? ? (0 ? ? ? ) ,则四棱锥 P ? ABCD 的体积 V 的取值范围是( 2
A .[



2 1 , ) 6 3

B. (

2 1 , ] 12 6

C. (

2 1 , ] 6 3

D. [

2 1 , ) 12 6

二、填空题 (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)
2 11.已知关于 x 不等式 x ? m x ? 6n ? 0 的解集为 x ?3 ? x ? 6 ,则 m ? n ? ___________.

?

?

12.如图是某几何体的三视图(单位:cm) ,则该几何体的表面积 是 cm ,
4

2 5 正视图 5

2

2

侧视图

13.设 Sn 是等差数列 ?a n ?的前 n 项和,公差 d ? 0 ,若

3

S11 ? 132, a3 ? ak ? 24 ,则正整数 k 的值为____________

俯视图

第 12 题 图

14.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底均为 1 的等腰梯形,

0

则这个平面图形的面积为______.

15.在△ABC 中,已知(b+c)∶(c+a)∶(a+b) =4∶5∶6,给出下列结论: ①由已知条件,这个三角形被唯一确定; ③sinA∶sinB∶sinC=7∶5∶3; 其中正确结论的序号是________. 16.已知 M 是△ABC 内的一点,且 AB · AC =2 3,∠BAC=30°,若△MBC,△MCA 和△MAB ②△ABC 一定是钝角三角形; 15 3 ④若 b+c=8,则△ABC 的面积是 . 2

??? ?

????

1 4 1 的面积分别为 , x , y ,则 ? 的最小值是 ______________ 2 x y
17.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? f ( x ) , f (?2) ? ?3 ,数列 ?an ? 的前 n 项 和为 Sn ,且 a1 ? ?1 , Sn ? 2an ? n(n ? N ? ) ,则 f (a5 ) ? f (a6 ) 的值是_____________ 三、解答题 (本大题共 4 小题,共 42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程) 18.已知 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别为 a , b, c 且 AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB . (1)判断△ ABC 的形状,确定角 C 的大小; (2)若 a ? b ? cx ,求 x 的取值范围。

3 2

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

19.如图所示,边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所在的平面,BC=2 2,M 为 BC 的中点.(1)证明:AM⊥PM;(2)求二面角 P-AM-D 的大小.

20.如图,已知小矩形花坛 ABCD 中,AB=3 m,AD=2 m,现要将小矩形花坛建成大矩形花坛 AMPN,使点 B 在 AM 上,点 D 在 AN 上,且对角线 MN 过点 C. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 m ,AN 的长应在什么范围内? (2)M,N 是否存在这样的位置,使矩形 AMPN 的面积最小?若存在,求出这个最小面积及相应的 AM,AN 的长度;若不存在,说明理由.
2

21.单调递增数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且满足 4Sn ? an ? 4n .
2

(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)数列 ?bn ?满足

1 an ?1 ? log 2 bn ? log 2 an ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . 2

2015 学年第一学期期中联考 高二年级理科数学学科答题卷 …………………………………密……………………………………封……………………………………线…………………………………… 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。

座位号

※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

考试号

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。

11. 14. 17.

, 12. , 15. .

,13. , 16.

学号

三、解答题:本大题共 4 小题,共 42 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本小题满分 10 分)

学校

班级

姓名

19. (本小题满分 10 分)

20. (本小题满分 10 分)

21. (本小题满分 12 分)

2015 学年第一学期期中联考 高二年级数学学科参考答案

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分. 题号 答案 1 D 2 A 3 C 4 C 5 B 6 B 7 D 8 A 9 D 10 A

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 题号 11 12 13 14 15 16 17

答案

6

14 ? 2 13

9

2? 2

②③

18

3

三、解答题:本大题共 4 小题,共 42 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 考点:1.平面向量的数量积;2.余弦定理;3.正弦定理 【解析】(1)法一:因为 AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB 所以 AB ? AB ? ( AC ? BC ) ? CA ? CB 即 AB ? AB ? CA ? CB ……………………2 分 所以 CA ? CB ? 0 ,所以 CA ? CB 所以 ?ABC 是以 C 为直角的直角三角形 法二:因为 AB ? AB ? AC ? BA ? BC ? CA ? CB

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?
??? ?2

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? 2 ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

……………………4 分 …………… ………5 分

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

c2 ? c ? b cos A ? c ? a cos B ? b ? a cos C

……………………2 分

c2 ? c ? b

c 2 ? b2 ? a 2 c 2 ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? c 2 ? c?a ?b?a 2cb 2ca 2ab

……………………4 分

c 2 ? a 2 ? b2
所以 ?ABC 是以 C 为直角的直角三角形 (2) a ? b ? cx 由正弦定理可得 sin A ? sin B ? x sin C = x

……………………5 分

……………………6 分

? sin A ? sin B ? ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) 4 ? ? 3? ? ? A? ?( , ) ? A ? (0, ) 4 4 4 2

……………………8 分 ……………………9 分

? 2 2 2 sin( A ? ) ? ( ,1] 即 sin A ? sin B ? ( ,1] 即 x ? ( ,1] ……………………10 分 4 2 2 2
19. (1)证明:如图所示,取 CD 的中点 E,连接 PE,EM,EA,

∵△PCD 为正三角形, ∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60°= 3. ∵平面 PCD⊥平面 ABCD, ∴PE⊥平面 ABCD,而 AM? 平面 ABCD,∴PE⊥AM ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴△ADE,△ECM,△ABM 均为直角三角形,由勾股定理可求得 EM= 3,AM= 6,AE=3, ∴EM +AM =AE .∴AM⊥EM. 又 PE∩EM=E,∴AM⊥平面 PEM, ∴AM⊥PM. (2)解:由(1)可知 EM⊥AM,PM⊥AM, ∴∠PME 是二面角 P-AM-D 的平面角. PE 3 ∴tan∠PME= = =1, EM 3 ∴∠PME=45°. ∴二面角 P-AM-D 的大小为 45°. ……………………8 分 ……………………9 分 ……………………10 分 ……………………5 分 ……………………6 分
2 2 2

……………………1 分

.

……………………3 分

20.【解析】解:(1)设 AM=x,AN=y(x>3,y>2),

矩形 AMPN 的面积为 S,则 S=xy. ∵△N DC∽△NAM,∴

……………………1 分 ……………………2 分

y?2 3 = , x y

∴ x=

3y2 3y ∴S= (y>2). y?2 y?2

……………………3 分

3y2 8 由 >32,得 2<y< ,或 y>8, 3 y?2
∴AN 的长度应在(2,

8 )或(8,+∞)内. 3

……………………5 分

(2)当 y>2 时,S=

3y2 4 =3(y-2+ +4) y?2 y?2
≥3×(4+4)=24,

……………………7 分 ……………………8 分 ……………………9 分

当且仅当 y-2=

4 , y?2

即 y=4 时,等号成立,解得 x=6. ∴存在 M,N 点,当 AM=6,AN=4 时,Smin=24. ……………………10 分

21.考点: 数列的求和;数列递推式. 【解析】 : 解: (1)∵4Sn=an +4n. ∴当 n=1 时,4a1= 当 n≥2 时, ∴4an=4Sn﹣4Sn﹣1=an +4n﹣ 化为 ∴an+an﹣1=2 或 an﹣an﹣1=2. ∵数列{an}是单调递增数列,an+an﹣1=2 应该舍去, ∴an﹣an﹣1=2. ……………………5 分
2 2

+4,解得 a1=2; +4(n﹣1) , ,

……………………1 分 ……………………2 分 ……………………3 分

,变为(an﹣2 +an﹣1) (an﹣2﹣an﹣1)=0,……………4 分

∴数列{an}是等差数列,首项为 2,公差为 2, ∴an=2+2(n﹣1)=2n. (2)∵数列{bn}满足 , ……………………6 分



=





=



……………………8 分

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=

+…+



=

+… +



……………………9 分



=

+

+…+

……………………10 分

=



=







……………………12 分


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