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1.4.2正弦函数余弦函数的性质1(教学设计)


SCH 高中数学(南极数学)同步教学设计

1.4.2(1)正弦、余弦函数的性质(教学设计) 教学目的: 知识目标:要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义; 能力目标:掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小 正周期。 德育目标:让学生自己根据函数图像而导出周期性,领会从特殊推广到一般的数学思 想,体会三角函数图像所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 教学重点:正、余弦函数的周期性 教学难点:正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程: 一、创设情境,导入新课: 1.现实生活中的“周而复始”现象: (1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢??? (2)现在下午 2 点 30,那么每过 24 小时候是几点? (3)路口的红绿灯(贯穿法律意识) 2.数学中是否存在“周而复始”现象,观察正(余)弦函数的图象总结规律
y
1–
O
?
2

?5?

?2?

??

?

?
2

?

2?

5?

x

?1 –

正弦函数 f ( x) ? sin x 性质如下: (观察图象) 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的;
1

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2?规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现) 3?这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx 可以说明 结论:象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得; 符号语言:当 x 增加 2k? ( k ? Z )时,总有 f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) . 也即: (1)当自变量 x 增加 2k? 时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意 x , sin( x ? 2k? ) ? sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 二、师生互动,新课讲解: 1.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域 内的每一个值时,都有:f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 问题: x ? R 是不是周期函数, k ?Z 且k ? 0) (1) 正弦函数 y ? sin x , 如果是, 周期是多少? ( 2k? , 余弦函数呢? (2) 观察等式
sin(

?
4

?

?
2

) ? sin

?
4

是否成立?如果成立, 能不能说

? 是 y=sinx 的周期? 2

(3)若函数 f ( x) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z * 也是 f ( x) 的周期吗?为什么? (是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) ) 2.最小正周期:T 往往是多值的(如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周 期 T 中最小的正数叫做 f (x)的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一般称为周期) 从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正周期为 2? ; 3、例题讲解 例 1(课本 P35 例 2) 求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x ② y ? sin 2 x (3) y ? 2sin( x ? ) , x ? R .
6 1 2

?

解: (1)∵ 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x , ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? 2? ,函数 y ? 3cos x , x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? 3cos x , x ? R 的周期是 2? . (2)∵ sin(2 x ? 2? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x , ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的值才能重复出现,
2

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所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? . 1 ? 1 ? 1 ? (3)∵ 2 sin[( x ? ) ? 2? ] ? 2 sin[ ( x ? 4? ) ? ] ? sin( x ? ), ,
2 6 2

6 2 6 ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? 4? ,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的值才能重复出现, 1 ? 所以,函数 y ? 2 sin( x ? ) , x ? R 的周期是 4? . 2 6

变式训练 1:求下列三角函数的周期: (1)y=sin3x (4) y=sin(x+ (2)y=cos
? ) 10
x 3

(3)y=3sin
? 3

x 4

(5) y=cos(2x+ ) 又 sin(3x+2?)=sin3(x+
2? ) 3

解:1? ? sin(3x+2?)=sin3x 即:f (x+

2?

2? 2? )=f (x) ∴周期 T= 3 3 x x 1 cos =cos( ? 2? )=cos ( x ? 6? ) 3 3 3

即:f (x+6?)=f (x)
x 4 x 4

∴T=6?
1 4

3? ? 3sin =3sin( +2?)=3sin( (x ? 8?) )=f (x+8?) 即:f(x+8 ? )=f(x) 4? ? sin(x+ ∴T=2? 5? ? cos(2x+ )=cos[(2x+ )+2?]=cos[2(x+?)+ ] 即:f(x+?)=f(x) ∴T=?
? 3 ? 3 ? 3

∴T=8?

? ? )=sin(x+ +2?) 即 f(x)=f(x+2?) 10 10

由以上练习,请同学们自主探究 T 与 x 的系数之间的关系。 小结:形如 y=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 为常数,A?0, x?R) 周期 T ? y=Acos(ω x+φ )也可同法求之 一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) ? b , x ? R 的周期 T ?
2? |? | 2? |? |

3

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课堂巩固练习 2 (1)y=sin x (5)y=3cos(- x ?
2 5
3 4

快速求出下列三角函数的周期 (2) y=cos4x+1
?
3

(3) y= ? cos( ?5 x)

1 2

(4)y=sin( ? x ?

1 3

?
4

)

)-1

三、课堂小结:1.周期函数定义:对定义域内任意 x,都有 f(x+T)=f(x). 2.y=sin x 与 y=cos x 的周期都是 2k?,最小正周期是 2π . 3. y ? A sin(? x ? ? ) ? b 及 y ? A cos(? x ? ? ) ? b 的周期 T ? 四、作业布置 1、P52 3
2? |? |

2、金太阳导学案与固学案

4.

奇偶性

请同学们观察正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么? (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值。

例如: f(- )= ,f( )=
? 3
1 2

? 3

1 ? ? ,即 f(- )=f( );?? 2 3 3

由于 cos(-x)=cosx

∴f(-x)= f(x).

以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数 y=cosx 的图象上的任一点,那么, 与它关于 y 轴的对称点(-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上,这时,我们说函数 y=cosx 是 偶函数。
4

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定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)= f(x),那么 函数 f(x)就叫做偶函数。 (2)正弦函数的图形 观察函数 y=sinx 的图象, 当自变量取一对相反数时, 它们对应的函数值有什么关系? 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点 对称。 也就是说,如果点(x,y)是函数 y=sinx 的图象上任一点,那么与它关于原点对称 的点(-x,-y)也在函数 y=sinx 的图象上,这时,我们说函数 y=sinx 是奇函数。 定义:一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x) , 那么函数 f(x)就叫做奇函数。 如果函数 f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数 f(x)具有奇偶性。 注意:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称; (2)f(-x)= f(x)或 f(-x)=- f(x)必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时。 首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算 f(-x),看是等于 f(x)还是等 于- f(x),然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。 例 2: 判断下列函数的奇偶性 (1)y=sinxcosx (2)y=cos2x

变式训练 2:判断下列函数的奇偶性 (1)y=sinx+cosx (2)y=sin2x

5.单调性
5

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从 y=sinx,x∈[- ,
2

? 3?
2

]的图象上可看出:

当 x∈[- , ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增大到 1. 当 x∈[ ,
? 2
3? ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 2

? 2

? 2

结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间[- +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从- 1 增大到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , 小到-1. 余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 增加到 1;在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到 -1.
? 2
3? +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减 2

? 2

? 2

例 3:求函数 y= sin( x ? ) 的单调递增区间。
3

1 2

?

变式训练 3:求函数 y= sin( x ? ) 的单调递减区间。
3

1 2

?

6.最大值与最小值。 正弦函数 y=sinx 当 x= ? 2k? 时取最大值 1,当 x=
2

?

3? ? 2k? 时取最小值-1。 2

余弦函数 y=cosx 当 x= 2k? 时取最大值 1,当 x= ? ? 2k? 最取最小值-1。 (以上 k ? Z ) 例 4: (课本 P38 例 3)下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小 值时的自变量 x 的集合,并说出最大值、最小值分别是什么?
6

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(1)y=cosx+1

(2)y= -3sin2x

变式训练 4: (课本 P39 例 4)利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小。 ① sin(? )与 sin(?
18

?

?
10

);

② cos(?

23 17 ? )与 cos(? ? ) 5 4

课堂巩固练习 2(课本 P40 练习 NO:1;2;3)

三、课堂小结,巩固反思 1、正弦函数与余弦函数的周期性,最小正周期的求法。 2、正弦函数与余弦函数的奇偶性,会判定三角函数的奇偶性。 3、会求 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的单调区间。 4、会求 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的最值。

四、课时必记: 1、一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) ? b , x ? R 的周期 T ?
2? |? |

2、y=sinx 为奇函数,图象关于原点对称;y=cosx 是偶函数,图象关于 y 轴对称。 3、正弦函数 y=sinx 每一个闭区间[- +2kπ , +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值 从-1 增大到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , 1 减小到-1.
7

? 2

? 2

? 2

3? +2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 2

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余弦函数 y=cosx 在每一个闭区间[(2k-1)π ,2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值 从-1 增加到 1;在每一个闭区间[2kπ ,(2k+1)π ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 4、正弦函数 y=sinx 当 x= ? 2k? 时取最大值 1,当 x=
2

?

3? ? 2k? 时取最小值-1。 2

余弦函数 y=cosx 当 x= 2k? 时取最大值 1,当 x= ? ? 2k? 最取最小值-1。 (以上 k ? Z )

五、分层作业: A 组: 1、 (课本 P46 习题 1.4 A 组 NO:2)

2、 (课本 P46 习题 1.4 A 组 NO:3)

3、 (课本 P46 习题 1.4 A 组 NO:4)

4、 (课本 P46 习题 1.4 A 组 NO:5(1) )

8

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B 组: 1、 (课本 P46 习题 1.4 A 组 NO:5(2) )

2、(tb0135302)函数 y=Asin(wx+ ? )+C 中,A、w、 ? 、C 为常数,且 A>0,w>0,则这个函 数的最小值是(C) 。 (A)A+C (B)A-C (C)-A+C (D)-A-C

C 组: 1、作出下列函数的图象,若是周期函数,请写出它的周期 (1)y=|sinx| (2)y=|cosx|

2、函数 y=ksinx+b 的最大值为 2,

最小值为-4,求 k,b 的值。

9


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