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2012届高考数学考前60天基础知识专练10 导数及


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高三数学基础知识专练

导数及其应用
一、填空题

?y 。 ? ?x 1 2、 一木块沿一斜面自由下滑, 测得下滑的水平距离 s 与时间 t 的函数关系为 s ? t 2 , 则 t=2 8
1、已知函数 f ( x) ? 2 x

? 1 图像上一点 (1,1) 及邻近点(1+△x,1+△y) ,则
2

时,此木块在水平方向的瞬时速度为 3、下列命题中,正确的是

.

(1)若 f ?( x 0 ) ? 0 ,则 f ( x0 ) 为函数 f ( x) 的极值; (2)若 f ( x0 ) 为函数 f ( x) 的极值点,则 f ?( x0 ) 必存在,且 f ?( x 0 ) ? 0 ; (3)若 x 0 在附近的左侧 f ?( x 0 ) ? 0 ,右侧 f ?( x 0 ) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的极大值; (4)若函数 f ( x) 有极大值 f ( x1 ) 和极小值 f ( x 2 ) ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 。 4、函数 y ? x sin x ? cos x 的导数为 5、曲线 y ? x ? x ? 1 在点 (1, 3) 处的切线方程是
3

。 。 个根。 。 。

6、若 a ? 2 ,则方程

1 3 x ? ax 2 ? 1 ? 0 在区间 (0 , 2) 上恰好有 3

7、函数 f ( x) ? x ln x( x ? 0) 的单调递增区间是

8、设函数 f ( x) ? sin( 3x ? ? )(0 ? ? ? ? ) ,如果 f ( x) ? f ?( x) 为偶函数,则 ? =

9、曲线 C : y ? x 3 ? 2ax 2 ? 2ax 上任一点处的切线的倾斜角都是锐角,那么实数 a 的取值范 围是 .
2 n ?1

10、设 f ( x) ? a0 ? a1 x ? a 2 x ? ? ? a n ?1 x

? a n x n ,则 f ?(0) ?

.

11 、设向量 a ? (1, x), b ? ( x,1) , a, b 夹角的余弦值为 f ( x) ,则 f ( x) 的单调递增区间 是 . .

12、曲线 y ? ln(2 x ? 1) 上的点到直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的最短距离是 13 、若函数 f ( x) ? 为 .
3 3

4x 在区间 (m, m ? 1) 上是单调递增函数,则实数 m 的取值范围 x ?1
2

14、设 x, y ? R ,满足 x ? 2, y ? 3 ,且 x ? y ? 3 ,则 z ? 4 x ? y 的最大值是

.

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二、解答题

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2 与 x ? 1 时都取得极值 3

15、已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c 在 x ? ?
3 2

(1)求 a, b 的值与函数 f ( x) 的单调区间 (2)若对 x ?[?1, 2] ,不等式 f ( x) ? c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

16、 设函数 f ? x ? ?

a 3 且 f ? x ? 的图象在点 p ?1, m ? x ? bx 2 ? 4cx ? d 的图象关于原点对称, 3

处的切线的斜率为-6,且当 x ? 2 时, f ? x ? 有极值. (Ⅰ)求 a, b, c, d 的值; (Ⅱ)若 x1 , x2 ? ? ?1,1? 时,求证 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?

44 . 3

参考答案
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1、 4 ? 2?x 2、

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1 2

3、(3) 4、 2 sin x ? x cos x 5、 4 x ? y ? 1 ? 0 6、1 7、 ? ,?? ? 8、

?1 ?e

? ?

? 6
3 2

9、 (0, ) 10、 a1 11、 (?1,1) 12、 5 13、 ? 1 ? m ? 0 14、33 15.解: (1) f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, f ( x) ? 3x ? 2ax ? b
3 2 ' 2

由 f (? ) ?
'

2 12 4 1 ? a ? b ? 0 , f ' (1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 得 a ? ? , b ? ?2 3 9 3 2 ' 2 f ( x) ? 3x ? x ? 2 ? (3x ? 2)( x ? 1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 1 2 2 2 (??, ? ) ? (? ,1) x (1, ??) 3 3 3 ? ? ? 0 0 f ' ( x)
f ( x)
?
极大值

?

极小值

?

所以函数 f ( x) 的递增区间是 (??, ? ) 与 (1, ??) ,递减区间是 (? ,1) ; (2) f ( x) ? x ?
3

2 3

2 3

1 2 2 2 22 x ? 2 x ? c, x ? [?1, 2] ,当 x ? ? 时, f (? ) ? ?c 2 3 3 27
2

为极大值,而 f (2) ? 2 ? c ,则 f (2) ? 2 ? c 为最大值,要使 f ( x) ? c , x ? [?1, 2] 恒成立,则只需要 c ? f (2) ? 2 ? c ,得 c ? ?1, 或c ? 2 。
2

16.解: (Ⅰ)

f ? x ? 的图象关于原点对称 ? b ? d ? 0 ,

f / ? x ? ? ax 2 ? 4c .
第 3 页 共 4 页

?a ? 4c ? ?6 ? f / ?1? ? ?6, f / ? 2 ? ? 0 ? ? ? a ? 2, c ? ?2 . ? a?c ?0

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(Ⅱ) f ? x ? ?

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2 3 x ? 8 x, f / ? x ? ? 2 x 2 ? 8 , 3
/

当 x ? ? ?1,1? 时, f

? x? ? 0 ,

? f ? x ? 在 ? ?11 , ? 上为减函数,若 x1 , x2 ? ? ?1,1? 时,

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? ?1? ? f ?1? ?

44 . 3

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