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第七篇 不等式 第2讲 一元二次不等式及其解法


第2讲

一元二次不等式及其解法

1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型. 2.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题. 3.以函数、导数为载体,考查不等式的参数范围问题. 【复习指导】 1.结合“三个二次”之间的联系,掌握一元二次不等式的解法. 2.熟练掌握分式不等式、无理不等式、含绝对值不等式、高次不等式、指数不 等式和对数不等式的解法. 基础梳理 1.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2+bx+c> 0(a>0)或 ax2+bx+c<0(a>0). (2)求出相应的一元二次方程的根. (3)利用二次函数的图象与 x 轴的交点确定一元二次不等式的解集. 2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 如下表: 判别式 Δ=b2-4ac 二次函数 y=ax2+ bx+c (a>0)的图 象 一元二次方程 ax2 +bx+c=0 (a>0) 的根 ax2+bx+c>0 (a >0)的解集 ax2+bx+c<0 (a >0)的解集 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) 有两相等实根 b x1=x2=- 2a
? b? ?x|x≠- ? 2a? ?

Δ>0

Δ=0

Δ<0

没有实数根

{x|x>x2 或 x<x1}

R

{x|x1<x<x2}

?

?

一个技巧 一元二次不等式 ax2+bx+c<0(a≠0)的解集的确定受 a 的符号、b2-4ac 的符号 的影响,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数 y =ax2+bx+c(a≠0)的图象,数形结合求得不等式的解集.若一元二次不等式经 过不等式的同解变形后,化为 ax2+bx+c>0(或<0)(其中 a>0)的形式,其对应 的方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 x1,x2,(x1<x2)(此时 Δ=b2-4ac>0),则 可根据“大于取两边,小于夹中间”求解集. 两个防范 (1)二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的解集;不要忘了二次项 系数是否为零的情况; (2)解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨 论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏. 双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)不等式 x2-3x+2<0 的解集为( A.(-∞,-2)∪(-1,+∞) C.(-∞,1)∪(2,+∞) 解析 ∵(x-1)(x-2)<0,∴1<x<2. 故原不等式的解集为(1,2). 答案 D 2.(2011· 广东)不等式 2x2-x-1>0 的解集是( ? 1 ? A.?-2,1? ? ? C.(-∞,1)∪(2,+∞) 解析 ∵2x2-x-1=(x-1)(2x+1)>0, 1 ∴x>1 或 x<-2. 1? ? 故原不等式的解集为?-∞,-2?∪(1,+∞). ? ? 答案 D 3.不等式 9x2+6x+1≤0 的解集是( ). ). B.(1,+∞) 1? ? D.?-∞,-2?∪(1,+∞) ? ? B.(-2,-1) D.(1,2) ).

? 1? A.?x|x≠-3? ? ? ? 1 1? C.?x|-3≤x≤3? ? ?

? 1? B.?-3? ? ?

D.R

解析 ∵9x2+6x+1=(3x+1)2≥0,
? 1? ∴9x2+6x+1≤0 的解集为?x|x=-3?. ? ?

答案 B
? 1? 4.(2012· 许昌模拟)若不等式 ax2+bx-2<0 的解集为?x|-2<x<4?,则 ab= ? ?

( A.-28 B.-26 C.28 D.26

).

解析

-2 1 1 ? = ? - 2 ? × =- ? a 4 2, 1 2 ∵x=-2,4是方程 ax +bx-2=0 的两根,∴? b 7 - =- ? ? a 4,

∴a=4,b=7.∴ab=28. 答案 C 5. 不等式 ax2+2ax+1≥0 对一切 x∈R 恒成立, 则实数 a 的取值范围为________. 解析 当 a=0 时,不等式为 1≥0 恒成立; ?a>0, ?a>0, 当 a≠0 时,须? 即? 2 ?Δ≤0, ?4a -4a≤0. ∴0<a≤1,综上 0≤a≤1. 答案 [0,1] 考向一 一元二次不等式的解法
2 ?x +2x,x≥0, 【例 1】?已知函数 f(x)=? 2 解不等式 f(x)>3. ?-x +2x,x<0,

[审题视点] 对 x 分 x≥0、x<0 进行讨论从而把 f(x)>3 变成两个不等式组. ?x≥0, ?x<0, 解 由题意知? 2 或? 2 解得:x>1. ?x +2x>3 ?-x +2x>3, 故原不等式的解集为{x|x>1}. 解一元二次不等式的一般步骤是:(1)化为标准形式;(2)确定判别式 Δ

的符号;(3)若 Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程的根,若 Δ<0,则对应的 二次方程无根;(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集.特别地,若一元二 次不等式的左边的二次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集. 【训练 1】 函数 f(x)= 2x2+x-3+log3(3+2x-x2)的定义域为________.
2 ?2x +x-3≥0, 解析 依题意知? 2 ?3+2x-x >0,

3 ? ?x≤- 或x≥1, 2 解得? ? ?-1<x<3. ∴1≤x<3. 故函数 f(x)的定义域为[1,3). 答案 [1,3) 考向二 含参数的一元二次不等式的解法 【例 2】?求不等式 12x2-ax>a2(a∈R)的解集. [审题视点] 先求方程 12x2-ax=a2 的根,讨论根的大小,确定不等式的解集. 解 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0, a a 得:x1=-4,x2=3.
? a a? a a ①a>0 时,-4<3,解集为?x|x<-4或x>3?; ? ?

②a=0 时,x2>0,解集为{x|x∈R 且 x≠0};
? a a? a a ③a<0 时,-4>3,解集为?x|x<3或x>-4?. ? ? ? a a? 综上所述:当 a>0 时,不等式的解集为?x|x<-4或x>3?; ? ?

当 a=0 时,不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠0};
? a a? 当 a<0 时,不等式的解集为?x|x<3或x>-4?. ? ?

解含参数的一元二次不等式的一般步骤: (1)二次项若含有参数应讨论是等于 0,小于 0,还是大于 0,然后将不等式转化 为二次项系数为正的形式.

(2)判断方程的根的个数,讨论判别式 Δ 与 0 的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系, 从而确定解集形式. 【训练 2】 解关于 x 的不等式(1-ax)2<1. 解 由(1-ax)2<1,得 a2x2-2ax<0,即 ax(ax-2)<0, 当 a=0 时,x∈?. ? 2? 当 a>0 时,由 ax(ax-2)<0,得 a2x?x-a?<0, ? ? 2 即 0<x< . a 2 当 a<0 时,a<x<0. 综上所述:当 a = 0 时,不等式解集为空集;当 a > 0 时,不等式解集为
? ? ? 2 ?x?0<x< a ? ? ? ? ? ?;当 ? ? ? ? ? ?2 ? a<0 时,不等式解集为?x?a <x<0?. ? ? ? ? ?

考向三 不等式恒成立问题 【例 3】?已知不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取 值范围. [审题视点] 化为标准形式 ax2+bx+c>0 后分 a=0 与 a≠0 讨论.当 a≠0 时, ?a>0, 有? 2 ?Δ=b -4ac<0. 解 原不等式等价于(a+2)x2+4x+a-1>0 对一切实数恒成立, 显然 a=-2 时, 解集不是 R,因此 a≠-2, ?a+2>0, 从而有? 2 ?Δ=4 -4?a+2??a-1?<0, ?a>-2, ?a>-2, 整理,得? 所以? ??a-2??a+3?>0, ?a<-3或a>2, 所以 a>2. 故 a 的取值范围是(2,+∞). 不等式 ax2+bx+c>0 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 a=0 时,

?a>0, b=0,c>0;当 a≠0 时,? 不等式 ax2+bx+c<0 的解是全体实数(或恒 ?Δ<0; ?a<0, 成立)的条件是当 a=0 时,b=0,c<0;当 a≠0 时,? ?Δ<0. 【训练 3】 已知 f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当 x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a 恒成立, 求 a 的取值范围. 解 法一 f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对称轴为 x=a.

①当 a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增, f(x)min=f(-1)=2a+3.要使 f(x)≥a 恒成立, 只需 f(x)min≥a, 即 2a+3≥a,解得-3≤a<-1; ②当 a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2, 由 2-a2≥a,解得-1≤a≤1. 综上所述,所求 a 的取值范围为[-3,1]. 法二 令 g(x)=x2-2ax+2-a,由已知,得 x2-2ax+2-a≥0 在[-1,+∞)上 恒成立,

?Δ>0, 即 Δ=4a -4(2-a)≤0 或?a<-1, ?g?-1?≥0.
2

解得-3≤a≤1. 所求 a 的取值范围是[-3,1]. 规范解答 12——怎样求解含参数不等式的恒成立问题 【问题研究】 含参数的不等式恒成立问题越来越受高考命题者的青睐,且由于 新课标对导数应用的加强,这些不等式恒成立问题往往与导数问题交织在一起, 在近年的高考试题中不难看出这个基本的命题趋势.对含有参数的不等式恒成立 问题,破解的方法主要有:分离参数法和函数性质法. 【解决方案】 解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化,使之转化为 函数的最值问题. 【示例】?(本题满分 14 分)(2011· 浙江)设函数 f(x)=(x-a)2ln x,a∈R. (1)若 x=e 为 y=f(x)的极值点,求实数 a;

(2)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x∈(0,3e],恒有 f(x)≤4e2 成立. 注:e 为自然对数的底数. 本题对于(1)问的解答要注意对于结果的检验,因为 f′(x0)=0,x0 不一 定是极值点;对于(2)问的解答可以采用分离参数求最值的方法进行突破,这样 问题就转化为单边求最值,相对分类讨论求解要简单的多. ?x-a?2 a [解答示范] (1)求导得 f′(x)=2(x-a)ln x+ x =(x-a)(2ln x+1- x).(2 分) a? ? 因为 x=e 是 f(x)的极值点,所以 f′(e)=(e-a)?3-e?=0,解得 a=e 或 a=3e. ? ? 经检验,符合题意,所以 a=e 或 a=3e.(4 分) (2)①当 0<x≤1 时,对于任意的实数 a,恒有 f(x)≤0<4e2 成立.(5 分) ②当 1<x≤3e 时,由题意,首先有 f(3e)=(3e-a)2ln(3e)≤4e2, 解得 3e- 2e 2e ≤a≤3e+ (6 分) ln?3e? ln?3e?

a? ? 由(1)知 f′(x)=x-a?2ln x+1-x?.(8 分) ? ? a 令 h(x)=2ln x+1-x ,则 h(1)=1-a<0,h(a)=2ln a>0, a 且 h(3e) = 2ln(3e) + 1 - 3e≥2 ln(3e) + 1 - 分) 又 h(x)在(0,+∞)内单调递增,所以函数 h(x)在(0,+∞)内有唯一零点,记此零 点为 x0,则 1<x0<3e,1<x0<a. 从而,当 x∈(0,x0)时,f′(x)>0;当 x∈(x0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞) 时,f′(x)>0.即 f(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,a)内单调递减,在(a,+∞) 内单调递增. 所以要使 f(x)≤4e2 对 x∈(1,3e]恒成立,只要
2 2 ?f?x0?=?x0-a? ln x0≤4e ,?1? ? 成立.(11 分) 2 2 ?f?3e?=?3e-a? ln?3e?≤4e ,?2?

3e+

2e 1 ? ln?3e? ? ?ln 3e- ? > 0.(9 = 2 3e 3 ln 3e? ?

a 由 h(x0)=2ln x0+1-x =0,知 a=2x0ln x0+x0.(3)
0 3 2 将(3)代入(1)得 4x2 注意到函数 x2ln3x 在(1, +∞)内单调递增, 0ln x0≤4e .又 x0>1,

故 1<x0≤e. 再由(3)以及函数 2xln x+x 在(1,+∞)内单调递增,可得 1<a≤3e. 由(2)解得,3e- 所以 3e- 2e 2e ≤a≤3e+ . ln?3e? ln?3e?

2e ≤a≤3e.(13 分) ln?3e? 2e ≤a≤3e.(14 分). ln?3e?

综上,a 的取值范围为 3e-

本题考查函数极值的概念,导数的运算法则,导数的应用,不等式的 基础知识,考查学生推理论证能力.分析问题,解决问题的能力.难度较大,做 好此类题目,一要有信心,二要结合题意进行恰当地转化,化难为易,化陌生为 熟悉. 【试一试】 设函数 f(x)=ax3-3x+1, 若对于任意 x∈[-1,1], 都有 f(x)≥0 成立, 求实数 a 的值. [尝试解答] (1)若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)=1>0 恒成立.

3 1 3 1 (2)若 x>0, 即 x∈(0,1]时, f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≥x2-x3.设 g(x)=x2-x3, 则 g′(x)= 3?1-2x? x4 ,

1? ? ?1 ? ?1? ∴g(x)在区间?0,2?上单调递增,在区间?2,1?上单调递减.∴g(x)max=g?2?=4, ? ? ? ? ? ? 从而 a≥4. 3 1 (3)若 x<0,即 x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≤x2-x3. 3?1-2x? 3 1 设 h(x)=x2-x3,则 h′(x)= x4 , ∴h(x)在[-1,0)上单调递增. ∴h(x)min=h(-1)=4,从而 a≤4. 综上所述,实数 a 的值为 4.


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