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福建省上杭县第一中学2015-2016学年高二上学期期末考试(理)数学试题


上杭一中高二理科数学期末试卷 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.每小题仅有一个选项是符合题目要求的). 1.命题“ ?x ? R, x2 ? 4x ? 5 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, x2 ? 4x ? 5 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 4 x ? 5 ? 0 )

B. ?x ? R, x2 ? 4x ? 5 ? 0 D.

?x ? R, x2 ? 4 x ? 5 ? 0

2.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a2 ? b2 ? 3bc,sin C ? 2 3sin B ,则

A ?(
A.30°

) B.60° C.120° D.150° )

3.等比数列 ?an ? 中, a4 ? 4 ,则 a2 ? a6 等于( A.4 B.8 C.16 D.32

5.下列各对双曲线中,既有相同的离心率,又有相同渐近线的是( A.



x2 x2 y 2 x2 x2 ? y 2 ? 1与 ? ? 1 B. ? y 2 ? 1与 y 2 ? ? 1 3 9 3 3 3
2

C. y ?

x2 y2 x2 y 2 x2 ? 1与 x 2 ? ? 1 D. ? y 2 ? 1与 ? ? 1 3 3 3 3 9
1 ? 1 ,则 ? q 是 ? p 的( 3? x


6.条件 p : x ? 1 ? 1 ,条件 q :

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 7.若椭圆

1 x2 y2 ? ? 1的离心率是 ,则 m 的值等于( 2 9 m?9
1 4
C. ?



A. ?

9 4

B.

9 1 或 3 D. 或 3 4 4

8.已知四面体 OABC 各棱长为 1, D 是棱 OA 的中点,则异面直线 BD 与 AC 所成角的余弦 值( )

A.

3 3

B.

1 4

C.

3 6

D.

2 8

9.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (0 ? b ? 2) 与 y 轴交于 A、B 两点,点 F 为该椭圆的一个焦点,则 4 b2


?ABF 面积的最大值为(
A.1 B.2 C.4 D.8

10.设 F1、F2 为椭圆的两个焦点, A 为椭圆上的点,且 AF2 ?F1F2 ? 0, cos ?AF1F2 ? 则椭圆的离心率为( A. ) C.

???? ? ???? ?

2 2 , 3

10 8

B.

10 4

2 4

D.

2 2

11.如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面为正方形, SD ? 底面 ABCD ,则下列结论中不正确的 是( )

A. AC ? SB

B. AB / / SCD

C. SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D. AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 12.已知函数 f ( x) ? cos x , a, b, c 分别为 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边,且

3a 2 ? 3b2 ? c2 ? 4ab ,则下列不等式一定成立的是(
A. f (sin A) ? f (cos B) C. f (sin A) ? f (sin B) B. f (sin A) ? f (cos B) D. f (cos A) ? f (cos B)



二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分. ) 13.已知空间四点 A(0,3,5), B(2,3,1), C (4,1,5), D( x,5,9) 共面,则 x ? ________. 14.已知 ?ABC 是以 B 为直角顶点的等腰直角三角形,其中

??? ? ??? ? BA ? (1, m, 2), BC ? (2, m, n) (m, n ? R) ,则 m ? n ? ________.

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 , 15.椭圆 点 P 在椭圆上, 若 PF 则 PF2 ? ________; S?PF1F2 1 ? 4, 9 2
的大小为________. 16.把长度 AB 和宽 AD 分别为 2 3 和 2 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折成 60°的二面角, 则 BD 等于________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知命题 p :方程

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 q :关于 x 的方程 2 m

x2 ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 无实要,若“ p ? q ”为假命题, “ p ? q ”为真命题,求实数 m 的取
值范围. 18.(13 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 3, an?1 ? 2an ?1(n ? 1) , (1)设 bn ? an ?1(n ? 1,2,3 L) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式; (3)设 cn ?

1 2n ,求证:数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n ? . 3 an ?an?1

19.已知 ?ABC 中,角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,已知 c ? 2, C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

?
3



2 2 20.已知曲线 C 的方程为 x ? ay ? 1(a ? R) . (1)当 a ? ? 时,是否存在以 M (1,1) 为中点

1 3

的弦,若存在,求出弦所在直线的方程;若不存在,请说明理由. (2)讨论曲线 C 所表示的 轨迹形状; (3)若 a ? ?1 时,直线 y ? x ? 1 与曲线 C 相交于两点 M , N ,且 MN ? 曲线 C 的方程. 21.如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形, ?ABC ? 面 ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点.

2 ,求

?
4

, OA ? 底

(1)证明:直线 MN / / 平面 OCD ; (2)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (3)求点 B 到平面 OCD 的距离. 22.抛物线 C : y ? 2 px ( p ? 0) 的准线 l1 : x ? ?
2

p 1 2 2 过双曲线 x ? y ? 的一个焦点. 2 2

(1)求抛物线 C 的方程; (2)设 M 为抛物线 C 上任意一点. ①设 l2 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,求 M 到 l1 与 l2 距离之和的最小值; ②以 M 为切点的抛物线的切线 l 与 l1 交于点 N ,试问 x 轴上是否存在定点 Q ,使 Q 在以 MN 为直径的圆上.若存在,求出点 Q 坐标,若不存在,说明理由.

参考答案 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

题号 答案

1 C

2 A

3 C

4 B

5 A

6 B

7 C

8 C

9 D

10 A

11 D

12 A

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.-6 14.-1 15.2, 4 3 16. DB ? 7

三、解答题: (本大题共 80 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. ) 17.解:因为方程 分 因为关于 x 的方程 x ? 2mx ? 2m ? 3 ? 0 无实根,所以 4m2 ? 4(2m ? 3) ? 0 ,
2

x2 y 2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,所以 m ? 2 ; . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2 m

“ p 假 q 真”等价于 ? 分

? m?2 ,即等价于 ?1 ? m ? 2 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 ??1 ? m ? 3

所以,实数 m 的取值范围是 ? ?1, 2? ? ?3, ??? . 分

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

18.解: (1)由 an?1 ? 2an ?1 得 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) 即

an?1 ? 1 ?2, an ? 1

又 bn ? an ? 1 ,故

bn?1 ? 2 所以数列 ?bn ? 是等比数列. bn

(2)由(1)知 ?bn ? 是 b1 ? 3 ? 1 ? 2 , q ? 2 的等比数列, 故 bn ? b1q
n?1

? 2? 2n?1 ? 2n ? an ?1 ,∴ an ? 2n ? 1.

2n 2n (2n?1 ? 1) ? (2n ? 1) 1 1 (3) cn ? ? n ? ? n ? n?1 , n ?1 n n ?1 an an?1 (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1
∴ sn ? (

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ??? ( n ? n ?1 ) ? ? n ?1 ? . 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 3 2 ?1 3
1

19.试题解析: (1)∵ c ? a ? b ? 2ab cos C , c ? 2, C ?
2 2 2

?

3 1 ∵ ?ABC 的面积等于 3 ,∴ S ? ? ab sin C ? 3 ,∴ ab ? 4 ,② 2
∴①②结合解得: a ? 2, b ? 2 .

,∴ ab ? a ? b ? 4 ,①
2 2

(2)∵ sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,∴ cos A(sin B ? 2sin A) ? 0 , ∴ cos A ? 0或 sin B ? 2sin A ? 0 ,∴ A ? 90 或b ? 2a ,
0

当 A ? 90 时,b ?
0

4 2 3 2 3 2 3 2 2 2 ;当 b ? 2a 且 ab ? a ? b ? 4 时,a ? ,∴ S ? , ,S ? 3 3 3 3

∴S ?

2 3 . 3

20. (1) 3x ? y ? 2 ? 0 ,不存在; (2)当 a ? 0 时,曲线 C 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线; 当 a ? 0 进,曲线 C 的轨迹是两条平行的直线 x ? 1 和 x ? ?1 ; 当 0 ? a ? 1 时,曲线 C 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆;
2 2 当 a ? 1 时,曲线 C 的轨迹是圆 x ? y ? 1;

当 a ? 1 时,曲线 C 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆. (3)由 ?

? y ? x ?1 ,得 (a ? 1) x2 ? 2ax ? a ? 1 ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .① 2 2 x ? ay ? 1 ?
2

因为 a ? ?1 ,所以方程①为一元二次方程, ? ? 4a ? 4(a ? 1)(a ?1) ? 4 ? 0 , 所以直线 l 与曲线 C 必有两个交点. 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 , x2 为方程①的两根,所以

x1 ? x2 ?
所以

2a a ?1 , x1 x2 ? , a ?1 a ?1

MN ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 2( x1 ? x2 )2 ? 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 2 ? (

2a 2 a ?1 ) ? 4? ? 2 a ?1 a ?1

所以 a ? 2a ? 3 ? 0 ,解得 a ? 1或a ? ?3 .
2

因此曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1或 x2 ? 3 y 2 ? 1 . 21. (1)取 OB 中点 E ,连接 ME , NE

QME / / AB, AB / /CD ,∴ ME / / CD ,
又 QNE / /OC ,∴平面 MNE / / 平面 OCD , ∴ MN / / 平面 OCD , (2) QCD / / AB , ∴ ?MDC 为异面直线 AB 与 MD 所成的角(或其补角) 作 AP ? CD 于 P ,连接 MP ,∵ OA ? 平面 ABCD ,∴ CD ? MP , ∵ ?ADP ?

?
4

,∴ DP ?

2 , MD ? MA2 ? AD2 ? 2 , 2

∴ cos ?MDP ?

DP 1 ? ? ? , ?MDC ? ?MDP ? ,所以 AB 与 MD 所成角的大小为 . MD 2 3 3

(3)∵ AB / / 平面 OCD ,∴点 A 和点 B 到平面 OCD 的距离相等,连接 OP ,过点 A 作

AQ ? OP 于点 Q ,∵ AP ? CD, OA ? CD ,∴ CD ? 平面 OAP ,∴ AQ ? CD ,
又∵ AQ ? OP ,∴ AQ ? 平面 OCD ,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的距离, ∵ OP ? OD ? DP ? OA ? AD ? DP ?
2 2 2 2 2

4 ?1?

1 3 2 2 , ? , AP ? DP ? 2 2 2

2 2g OAgAP 2 ? 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 2 . ? ∴ AQ ? 3 OP 3 3 2 2
方法二(向量法)

作 AP ? CD 于点 P ,如图,分别以 AB, AP, AO 所在直线为 x, y , z 建立坐标系,

A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,

2 2 2 2 2 ,0), D(? , ,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1) N (1 ? , ,0) , 2 2 2 4 4

(1) MN ? (1 ?

2 2 2 2 2 , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 设平面 OCD 的法量 4 4 2 2 2

为 n ? ( x, y, z ) ,则 ngOP ? 0, ngOD ? 0 ,

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即? 取 z ? 2 ,解得 n ? (0, 4, 2) , 2 2 ?? x? y ? 2z ? 0 ? ? 2 2
∵ MNgn ? (1 ?

2 2 , , ?1) g (0, 4, 2) ? 0 ,∴ MN / / 平面 OCD , 4 4 2 2 , , ?1) , 2 2

(2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1, 0, 0), MD ? (?

∴ cos ? ?

? ? 1 ? ,∴ ? ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ; 3 3 AB ?MD 2
ABgMD

(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, 由 OB ? (1, 0, ?2) ,得 d ?
2

OB?n n
2

?

2 2 ,所以点 B 到平面 OCD 的距离为 . 3 3

1 p 的两个焦点分别为 F ,过 1 (?1,0), F 2 (1,0) ,直线 x ? ? 2 2 1 p 2 2 2 双曲线 x ? y ? 的一个焦点,∴ ? ? ?1 ? p ? 2 ,∴抛物线 C 的方程为 y ? 4 x ; 2 2
22.解: (1)∵双曲线 x ? y ? (2)①:如下图所示,

AM ? BM ? MF ? BM ? FB ? FH ,故所示最小值即为 F 到 l2 的距离,即所求最小值为

4 ?1 ? 3 ? 0 ? 6 42 ? (?3) 2

? 2;

a2 ②: M ( , a) ,显然 a ? 0 ,则过 M 的切线 l 的方程: 4
ay ? 2(
2 1 2 1 a2 2 1 ? x) ? y ? x ? a ,令 x ? ?1, y ? ? ? a ,即 N (?1, ? ? a) ,设以 MN a 2 a 2 4 a 2

为直径的圆与 x 轴的交点为 Q ( x, 0) ,∴ MQ ? ( x ?

a2 2 1 , ?a), NQ ? ( x ? 1, ? a) , 4 a 2

MQ?NQ ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 2 ?

a2 ) ? 0 ? x ? 1 ,∴存在定点 Q ,其坐标为 (1, 0) . 4


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