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含参的一元二次不等式1


含参的一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式时,需根据参数的取值范围进行分类讨论,引起分类讨论的 原因有以下几种: 1.二次项系数的 . 2 2.方程 ax +bx+c=0 中 Δ 与 的关系. 2 3.方程 ax +bx+c=0 两根的 . 因此,我们在解决以上问题时,最优的处理次序是:先看二次项系数的 , 其次 考虑 ,最后分析两根 . 题型一 求含参的一元二次不等式 例 1.解关于 x 的不等式 x2-(a+a2)x+a3>0(a∈R)

练习 1:解关于 x 的不等式(x-2)(ax-2)>0(a∈R).

练习 2:解关于 x 的不等式 2 x 2 ? kx ? k ? 0

题型二 不等式恒成立问题 例 2.已知 f ( x ) ? x 2 ? 2( a ? 2) x ? 4 , (1)如果对一切 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x ? [ ? 3,1] , f ( x ) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

练习 3:设函数 f(x)=mx2-mx-6+m. (1)若对于 m∈[-2,2],f(x)<0 恒成立,求实数 x 的取值范围; (2)若对于 x∈[1,3],f(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

练习 4:已知函数 y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3 对任意实数 x,函数值恒大于零,求实数 m 的取值范围

练习 5:如果不等式 <1 对一切实数 x 均成立,则实数 m 的取值范围是 ________. 总结:一元二次不等式恒成立情况小结:
ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ?
2

ax ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ?
2



题型三 方程根的讨论 例 3 实数 m 取何范围的值时, 方程 x2+(m-3)x+m=0 的两根满足: (1)都是正数; (2)都在(0,2) 内.

总结: a > 0 (1)方程 ax2+bx+c=0 有实根,有两不等实根,无实根 (2)方程 ax2+bx+c=0 有两正根 (3)方程 ax2+bx+c=0 有两负根

(4)方程 ax2+bx+c=0 有一正根、一负根

(5)方程 ax2+bx+c=0 有两个大于 n 的根

(6)方程 ax2+bx+c=0 有两个小于 k 的根

(7)方程 ax2+bx+c=0 一根大于 k,另一根小于 k

(8)方程 ax2+bx+c=0 两根都在(m、n)内.

(9)方程 ax2+bx+c=0 一根在(m、n)内,另一根在(n、p)内

(10)方程 ax2+bx+c=0 一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内

练习 6:关于 x 的方程 2ax2-2x-3a-2=0 的两根一个小于 1,另一个大于 1,求实数 a 的取 值范围.


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