2014届高三数学(人教理科A版)课时训练卷《第16讲 定积分与微积分基本定理(精细解析)

[第 16 讲 基础热身

定积分与微积分基本定理] (时间：35 分钟

分值：80 分)

π 1．∫ 0(x－sinx)dx 等于( 2 π2 A. － 1 4 π2 B. －1 8

) π2 C. 8 ) π2 D. ＋1【来源：全,品…中&高*考*网】 8

2．下列各命题中，不正确的是(

2 af（x）dx A．若 f(x)是连续的奇函数，则?a f(x)dx＝0 B．若 f(x)是连续的偶函数，则?a f(x)dx＝ ? ?

?－ a

?－ a

0

C．若 f(x)在[a，b]上连续且恒正，则?bf(x)dx>0 D．若 f(x)在[a，b]上连续，且?bf(x)dx>0，则 f(x)在[a，b]上恒正

?a

?a

?x2，0≤x<1， ? 3．设函数 f(x)＝? 则定积分?2f(x)dx＝( ? ?0 ?1，1<x≤2，

)

8 A. 3

B．2

4 C. 3

1 D. 3 )

4．曲线 y＝x3 与直线 y＝x 所围成图形的面积为( 1 A. 3 能力提升 1 B. 2 C．1 D．2

π π 5．[2013· 湖南卷] 由直线 x＝－ ，x＝ ，y＝0 与曲线 y＝cosx 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 1 A. 2 B．1 C. 3 2 D. 3 )

)

6．由曲线 y＝x2，y＝x3 围成的封闭图形面积为( 1 A. 12 1 B. 4 1 C. 3 7 D. 12

7．如果 1 N 的力能拉长弹簧 1 cm，为了将弹簧拉长 6 cm，所耗费的功为( A．0.18 J B．0.26 J C．0.12 J D．0.28 J

)

8．若 y＝?x(sint＋costsint)dt，则 y 的最大值是(

?0

)【来源：全,品…中&高*考*网】

A．1

B．2

7 C．－ 2

D．0

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8 9．[2013· 东北名校二模] ?1?π ? ?
0

1－x2＋6x2?dx＝________．

?

?lgx，x>0， ? 10．[2013· 陕西卷] 设 f(x)＝?x＋ a3t2dt，x≤0，若 f(f(1))＝1，则 a＝________． ? ? ? ? 0
11．[2013· 漳州模拟] 由曲线 y＝2x2，直线 y＝－4x－2，直线 x＝1 围成的封闭图形的面积为________． 12．(13 分)计算下列定积分： 1 dx； 2 ?0x ＋3x＋2 2 2 ? x－ 1 ? dx； (4) 1(ex－e－x) dx. ? x? ?1? ?0

(1)?3π 1－cos2xdx；

?0

(2)?1

(3)?2

【来源：全,品…中&高*考*网】

难点突破 13．(12 分)已知点 P 在曲线 y＝x2－1 上，它的横坐标为 a(a>0)，由点 P 作曲线 y＝x2 的切线 PQ(Q 为切点)． (1)求切线 PQ 的方程； (2)求证：由上述切线与 y＝x2 所围成图形的面积 S 与 a 无关．

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课时作业(十六) 【基础热身】 π π2 π 1 2 x2＋cosx?? 0＝ －1. [解析] ∫ 0(x－sinx)dx＝ ? ?2 ?? 8 2 [解析] 根据定积分的几何意义可得． 1 [解析] ?2f(x)dx＝?1x2dx＋?21dx＝ x3 3 ? ? ?
0 0 1

1．B 2．D

3．C 4．B

?1 ?) 0＋x ?

?2 4 ?) 1＝3. ?

[解析] 如图，所围图形面积

1 2 1 4??1 ?1 1 1 x － x ? ＝2 － －0?＝ . A＝2?1(x－x3)dx＝2? 2 4 2 4 ? ? ? ? 2 ? 0 ?0

【能力提升】 5．D [解析] 根据定积分的简单应用的相关知识可得到：由直线 x＝－ π π ，x＝ ，y＝0 与曲线 y＝cosx 所 3 3

围成的封闭图形的面积为：

? π ? S＝?∫ 3 －π cosx dx?＝ 3 ? ?
故选 D. 6．A 1 1 ＝ . 4 12

)

? ?)sinx ?

? 3 π ?) － 3 ?

π

π ?? ? ? π ＝ 3， ?)＝?sin 3 －sin? － 3 ?? ? ?

2 ? ?y＝x ， 1 3 1 4??1 1 x－ x ? ＝ － [解析] 由? 得交点为(0，0)，(1，1)．所以所求图形的面积 S＝?1(x2－x3)dx＝? 3 3 4 ??0 3 ? ?y＝x ?0 ?

7．A

[解析] 由物理知识 F＝kx 知，1＝0.01k，∴k＝100，则 W＝?0.06100xdx＝50x2

?0

? 0.06 ?) 0＝0.18(J)． ? ?x ?) 0 ?

8．B

1 [解析] y＝?x(sint＋cost·sint)dt＝?xsintdt＋ ?xsin2tdt＝(－cost) 2? ? ?
0 0 0

? x 1? 1 ?) 0＋2?－2cos2t? ? ?

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1 1 1 ＝－cosx＋1－ cos2x＋ ＝－ (cosx＋1)2＋2，故当 cosx＝－1 时，ymax＝2. 4 4 2 8 [解析] 根据定积分的性质?1?π ??
0

9．4 ＝4.

8 1 2 8 π 1－x2＋6x2?dx＝π ? 1－x dx＋2?13x2dx＝ × ＋2×x3 ?0 4 ? π ?
0

?1 ?) 0 ?

x>0， ? ?lgx， 10．1 [解析] 由 f(x)＝?x＋ a3t2dt， x≤0得 ?

? ?

?0

? ?lgx， f(x)＝? 3 ?x＋a ， ?

x>0， x≤0，

f(1)＝lg1＝0，

f(f(1))＝f(0)＝a3＝1，∴a＝1.

11.

16 3

[解析] 联立直线方程与抛物线方程得 x2＋2x＋1＝0，解得 x＝－1，即直线 y＝－4x－2 为抛物线 y＝

2 2x2 的一条切线(如图)，因此所求的面积为定积分?1 (2x2＋4x＋2)dx＝ (x＋1)3 3 ?
－1

?1 16 ?) －1＝ 3 . ?

12．解：(1)?3π 1－cos2xdx＝?3π 2sin2xdx＝ 2?3π ? ? ?
0 0 0

? ?)sinx ?

? ?)dx ?

＝ 2?π sinxdx－ 2?2π sinxdx＋ 2?3π sinxdx

?0

?π

? 2π

＝－ 2cosx

?π ?) 0＋ 2cosx ?

? 2π ?) π － 2cosx ?

? 3π ?) 2π ＝2 2＋2 2＋2 2＝6 2. ? ?1 ?) 0 ?

(2)?1

1 1 1 dx＝?1 － dx＝ln(x＋1)－ln(x＋2) 2 ?0x ＋3x＋2 ?0x＋1 x＋2

＝(ln2－ln3)－(ln1－ln2)＝2ln2－ln3.
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(3)?2
1

2 ? x－ 1 ? dx＝ 2?x－2＋1?dx ? x? x? ?? ??
1

1 ＝?2xdx－2?21dx＋?2 dx ? ? ?x
1 1 1

1 ＝ x2 2

?2 ?) 1－2x ?
－

?2 ?) 1＋lnx ?
－

? 2 ? 1? 1 ?) 1＝?2－2?－(4－2)＋(ln2－ln1)＝ln2－2. ?
－

(4)?1(ex－e x)dx＝?1(ex＋e x)′dx＝(ex＋e x)

?0

?0

?1 1 ?) 0＝e＋ e－2. ?

【难点突破】 【来源：全,品…中&高*考*网】 13．解：(1)点 P 的坐标为(a，a2－1)， 设切点 Q 的坐标为(x，x2)， a2－1－x2 a2－1－x2 由 kPQ＝ 及 y′＝2x 知 ＝2x， a－x a－x 解得 x＝a＋1 或 x＝a－1. 所以所求的切线方程为 2(a＋1)x－y－(a＋1)2＝0 或 2(a－1)x－y－(a－1)2＝0. 2 (2)S＝?a [x2－2(a－1)x＋(a－1)2]dx＋?a＋1[x2－2(a＋1)x＋(a＋1)2]dx＝ . 3 ? ?
a－1 a

2 故所围成的图形面积 S＝ ，此为与 a 无关的一个常数． 3

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