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2014届高三数学(人教理科A版)课时训练卷《第16讲 定积分与微积分基本定理(精细解析)


[第 16 讲 基础热身

定积分与微积分基本定理] (时间:35 分钟

分值:80 分)

π 1.∫ 0(x-sinx)dx 等于( 2 π2 A. - 1 4 π2 B. -1 8

) π2 C. 8 ) π2 D. +1【来源:全,品…中&高*考*网】 8

2

.下列各命题中,不正确的是(

2 af(x)dx A.若 f(x)是连续的奇函数,则?a f(x)dx=0 B.若 f(x)是连续的偶函数,则?a f(x)dx= ? ?

?- a

?- a

0

C.若 f(x)在[a,b]上连续且恒正,则?bf(x)dx>0 D.若 f(x)在[a,b]上连续,且?bf(x)dx>0,则 f(x)在[a,b]上恒正

?a

?a

?x2,0≤x<1, ? 3.设函数 f(x)=? 则定积分?2f(x)dx=( ? ?0 ?1,1<x≤2,

)

8 A. 3

B.2

4 C. 3

1 D. 3 )

4.曲线 y=x3 与直线 y=x 所围成图形的面积为( 1 A. 3 能力提升 1 B. 2 C.1 D.2

π π 5.[2013· 湖南卷] 由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 1 A. 2 B.1 C. 3 2 D. 3 )

)

6.由曲线 y=x2,y=x3 围成的封闭图形面积为( 1 A. 12 1 B. 4 1 C. 3 7 D. 12

7.如果 1 N 的力能拉长弹簧 1 cm,为了将弹簧拉长 6 cm,所耗费的功为( A.0.18 J B.0.26 J C.0.12 J D.0.28 J

)

8.若 y=?x(sint+costsint)dt,则 y 的最大值是(

?0

)【来源:全,品…中&高*考*网】

A.1

B.2

7 C.- 2

D.0

第 1 页 共 5 页

8 9.[2013· 东北名校二模] ?1?π ? ?
0

1-x2+6x2?dx=________.

?

?lgx,x>0, ? 10.[2013· 陕西卷] 设 f(x)=?x+ a3t2dt,x≤0,若 f(f(1))=1,则 a=________. ? ? ? ? 0
11.[2013· 漳州模拟] 由曲线 y=2x2,直线 y=-4x-2,直线 x=1 围成的封闭图形的面积为________. 12.(13 分)计算下列定积分: 1 dx; 2 ?0x +3x+2 2 2 ? x- 1 ? dx; (4) 1(ex-e-x) dx. ? x? ?1? ?0

(1)?3π 1-cos2xdx;

?0

(2)?1

(3)?2

【来源:全,品…中&高*考*网】

难点突破 13.(12 分)已知点 P 在曲线 y=x2-1 上,它的横坐标为 a(a>0),由点 P 作曲线 y=x2 的切线 PQ(Q 为切点). (1)求切线 PQ 的方程; (2)求证:由上述切线与 y=x2 所围成图形的面积 S 与 a 无关.

第 2 页 共 5 页

课时作业(十六) 【基础热身】 π π2 π 1 2 x2+cosx?? 0= -1. [解析] ∫ 0(x-sinx)dx= ? ?2 ?? 8 2 [解析] 根据定积分的几何意义可得. 1 [解析] ?2f(x)dx=?1x2dx+?21dx= x3 3 ? ? ?
0 0 1

1.B 2.D

3.C 4.B

?1 ?) 0+x ?

?2 4 ?) 1=3. ?

[解析] 如图,所围图形面积

1 2 1 4??1 ?1 1 1 x - x ? =2 - -0?= . A=2?1(x-x3)dx=2? 2 4 2 4 ? ? ? ? 2 ? 0 ?0

【能力提升】 5.D [解析] 根据定积分的简单应用的相关知识可得到:由直线 x=- π π ,x= ,y=0 与曲线 y=cosx 所 3 3

围成的封闭图形的面积为:

? π ? S=?∫ 3 -π cosx dx?= 3 ? ?
故选 D. 6.A 1 1 = . 4 12

)

? ?)sinx ?

? 3 π ?) - 3 ?

π

π ?? ? ? π = 3, ?)=?sin 3 -sin? - 3 ?? ? ?

2 ? ?y=x , 1 3 1 4??1 1 x- x ? = - [解析] 由? 得交点为(0,0),(1,1).所以所求图形的面积 S=?1(x2-x3)dx=? 3 3 4 ??0 3 ? ?y=x ?0 ?

7.A

[解析] 由物理知识 F=kx 知,1=0.01k,∴k=100,则 W=?0.06100xdx=50x2

?0

? 0.06 ?) 0=0.18(J). ? ?x ?) 0 ?

8.B

1 [解析] y=?x(sint+cost·sint)dt=?xsintdt+ ?xsin2tdt=(-cost) 2? ? ?
0 0 0

? x 1? 1 ?) 0+2?-2cos2t? ? ?

第 3 页 共 5 页

1 1 1 =-cosx+1- cos2x+ =- (cosx+1)2+2,故当 cosx=-1 时,ymax=2. 4 4 2 8 [解析] 根据定积分的性质?1?π ??
0

9.4 =4.

8 1 2 8 π 1-x2+6x2?dx=π ? 1-x dx+2?13x2dx= × +2×x3 ?0 4 ? π ?
0

?1 ?) 0 ?

x>0, ? ?lgx, 10.1 [解析] 由 f(x)=?x+ a3t2dt, x≤0得 ?

? ?

?0

? ?lgx, f(x)=? 3 ?x+a , ?

x>0, x≤0,

f(1)=lg1=0,

f(f(1))=f(0)=a3=1,∴a=1.

11.

16 3

[解析] 联立直线方程与抛物线方程得 x2+2x+1=0,解得 x=-1,即直线 y=-4x-2 为抛物线 y=

2 2x2 的一条切线(如图),因此所求的面积为定积分?1 (2x2+4x+2)dx= (x+1)3 3 ?
-1

?1 16 ?) -1= 3 . ?

12.解:(1)?3π 1-cos2xdx=?3π 2sin2xdx= 2?3π ? ? ?
0 0 0

? ?)sinx ?

? ?)dx ?

= 2?π sinxdx- 2?2π sinxdx+ 2?3π sinxdx

?0



? 2π

=- 2cosx

?π ?) 0+ 2cosx ?

? 2π ?) π - 2cosx ?

? 3π ?) 2π =2 2+2 2+2 2=6 2. ? ?1 ?) 0 ?

(2)?1

1 1 1 dx=?1 - dx=ln(x+1)-ln(x+2) 2 ?0x +3x+2 ?0x+1 x+2

=(ln2-ln3)-(ln1-ln2)=2ln2-ln3.
第 4 页 共 5 页

(3)?2
1

2 ? x- 1 ? dx= 2?x-2+1?dx ? x? x? ?? ??
1

1 =?2xdx-2?21dx+?2 dx ? ? ?x
1 1 1

1 = x2 2

?2 ?) 1-2x ?


?2 ?) 1+lnx ?


? 2 ? 1? 1 ?) 1=?2-2?-(4-2)+(ln2-ln1)=ln2-2. ?


(4)?1(ex-e x)dx=?1(ex+e x)′dx=(ex+e x)

?0

?0

?1 1 ?) 0=e+ e-2. ?

【难点突破】 【来源:全,品…中&高*考*网】 13.解:(1)点 P 的坐标为(a,a2-1), 设切点 Q 的坐标为(x,x2), a2-1-x2 a2-1-x2 由 kPQ= 及 y′=2x 知 =2x, a-x a-x 解得 x=a+1 或 x=a-1. 所以所求的切线方程为 2(a+1)x-y-(a+1)2=0 或 2(a-1)x-y-(a-1)2=0. 2 (2)S=?a [x2-2(a-1)x+(a-1)2]dx+?a+1[x2-2(a+1)x+(a+1)2]dx= . 3 ? ?
a-1 a

2 故所围成的图形面积 S= ,此为与 a 无关的一个常数. 3

第 5 页 共 5 页


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